离散型随机变量及其分布-《中学生数理化》高二数学2026年7～8月刊

中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高三数学2026年7-8月 离散型随机变量及其分布 ■深圳市观澜中学 刘平平 离散型随机变量及其分布的考查通常以 解：(1)由题意知，甲工厂生产的m件零 实际问题为背景，要求同学们根据实际构造 件的合格件数为0.85m,乙工厂生产的n件 数学模型，并且以概率与统计的视角灵活分 零件的合格件数为0.95n。 析、解决问题。这类问题主要考查数学建模、 混合后总零件数为m+n,合格品率为 数据分析和数学运算核心素养。下面列举三 89%,则混合后合格零件数0.89(m十n)= 类问题，供同学们参考。 0.85m+0.95n,解得0.06n=0.04m,即2m= 一、变量服从超几何分布 3n。 如果有N件产品，其中M件是次品，从 (2)设甲工厂生产的这批零件数为m,乙 N件产品中不放回地随机抽取n件，抽取n 工厂生产的这批零件数为n,由(1)可知m:n 件产品中的次品数为X,那么X的分布列为 =3：2,故抽取的5个零件中有3个来自甲工 P(X=k)= Cycx's,k-m.m+1,m 厂，2个来自乙工厂，X可能取值为0,1,2。 P(X=0)= P(X=1D=CC CC_1 2,…,r,其中n,N,M∈N,M≤N,n≤N, C m=max{0,n一N+M},r=min(n,M}。若 10=5,P(X=2)= 63 CC3 C=10 随机变量X的分布列具有上式的形式，则称 随机变量X服从超几何分布，且E(X)=np 所以X的分布列如表1所示。 =M 表1 0 2 例1甲、乙两个工厂共同生产一种零 分 5 10 件，经过抽样调查，质检人员发现：甲工厂生 产的一批零件的合格品率为85%；乙工厂生 1 +2×品=8 3 E(X)=0×10+1X 5 产的另一批零件的合格品率为95%：若将这 ,点评：本题主要考查超几何分布的分布 两批零件混合放在一起，则合格品率为 列和均值。超几何分布的概率计算公式从古 89%。 典概型的角度更易理解记忆：P(X=k)= (1)设甲工厂生产的这批零件有m件， 乙工厂生产的这批零件有n件，证明：2m= CC,即恰取了k件次品的概率= CN 3n; 次品中取了k件×正品中取了n一k件 (2)按照分层随机抽样的方法从两个工 N件产品中任取n件 厂生产的零件中随机抽取5个，再从这5个 二、变量服从二项分布 零件中抽取3个，记这3个零件中来自乙工 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试 厂的个数为X,求X的分布列和数学期望。 验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用 分析：(1)求出甲、乙合格件数及混合后 X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 合格件数，从而得到方程，即可证明：(2)写出 P(X=k)=Cb(1一p)”-,k=0,1,…,n。 X的可能取值，利用超几何分布求出对应概 若随机变量X的分布列具有上式的形式，则 率值，最后得到期望值。 称随机变量X服从二项分布，记作X一 52 草经费破方清中学生教理化 B(n,p)。 p)”+Cp(1一p)”-1十Cp2(1一p)"-2+…+ 例2某电于零部件代加工工厂生产 Cp”,[(1-p)-p]”=Cp°(1-p)”-Cp· 的零部件次品率为10%，现进行多批次抽 (1一p)"-1+Cp(1一p)"-2十…十C”(一p)"。 检，假设各零部件是否为次品相互独立。 以上两式相减得1一(1一2p)”=2p.,所 (1)从一批产品中随机抽取4件，求抽到 以力，=1-(1-2p) 2 =0.5×(1-0.8")。 的零部件中正品数多于次品数的概率。 (2)若从另一批产品中随机抽取3件，记 由pm<0.495,得1一0.8”<0.99，所以 抽到的零部件中正品数与次品数的差的绝对 0.8">0.01,即n(3lg2一1)>一2，解得n 值为X,求X的分布列与期望。 2 2 (3)若从某一批次的产品中随机抽取n 1-31g2≈1-3×0.30≈20.6，所以n的最 大值为20。 件，记抽到的零部件中次品数为Y,且Y为奇 点评：本题主要考查二项展开式的应用、 数的概率为pm,求使p。<0.495的n的最大 独立重复试验的概率问题、二项分布的分布 值。注：1g2≈0.301。 列和均值。求解二项分布问题应牢固学握以 分析：(1)利用二项分布的概率公式可求 下两，点： 解；(2)由题意可得X的取值为1,3，利用二 (1)若在每一次试验中，事件发生的概率 项分布的概率公式可求分布列，进而可求数 相同，各次试验中的事件是相互独立的，且在 学期望；(3)由题意得Y~B(n,0.1),Y为奇 每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生 数的概率为pm,则Y为偶数的概率为1一p, 与不发生，则该随机变量服从二项分布。 利用二项式的展开式可求得p,=0.5×1一 (2)若X~B(n,p),则X的分布列为 0.8”),进而计算即可。 P(X=k)=Cp*(1-p)"-,k=0,1,…,n, 解：(1)由该批零部件次品率为10%，得 且E(X)=np,D(X)=np(1-p)。 正品率为1-10%=90%。 三、变量服从一般分布 因为从该批零部件中随机抽取4件，抽 此时，离散型随机变量的取值和对应概 到的零部件中正品数多于次品数，所以次品 率的计算没有固定的规律可遵循，因此必须 数为0或1，故所求概率为C×0.9十C× 依据题意，具体问题具体分析，才能准确解答 0.1×0.93=0.9477。 此类实际应用问题。 (2)设抽取的零部件次品数为，则X的 例32026年第23届男于足球世界 可能取值为1,3，一B(3,0.1)。 杯赛，由美国、加拿大和墨西哥三国联合承 P(X=1)=P(=1)+P(=2)=C× 办。赛制如下：第一阶段为小组赛，先将48 0.1×0.9+C×0.12×0.9=0.27: 支球队分为12个小组，每组4支球队；同一 P(X=3)=P(=0)+P(=3)=C9× 小组中，每两支球队均要踢一场球，根据赛制 0.93+C×0.13=0.73。 选出32支球队出线，参加第二阶段比赛。第 所以X的分布列如表2所示。 二阶段为淘汰赛，根据赛制将出线的32支球 表2 队分成16组，每组2支球队踢一场球，胜者 X 1 3 晋级：晋级的16支球队又分成8组，每组2 0.270.73 支球队踢一场球，胜者晋级，依次类推，直至 产生前四名。第三阶段为排位赛，进入前四 E(X)=1×0.27+3×0.73=2.46。 名的球队分成2组，每组的2支球队踢一场 (3)由题意得Y一B(n,0.1),Y为奇数的 球，胜者晋级决赛，再踢一场球，争夺冠军：而 概率为pm,则Y为偶数的概率为1一pm。 失败的2支球队也要踢一场球，争夺季军。 记p=0.1,则[(1-p)十p]”=Cp°(1 (1)第23届男于足球世界杯总共进行多 53 中学生数理化离数学经2年”8月 解题篇经典题突破方法 少场比赛？ P(X=1)= 11上×x (2)一球队为了在比赛中变换阵型，将原 4 4 本在左边锋、左前卫、左后腰和左后卫位置的 1 1 1 3 ×2=12 4名球员交换位置，则这4名球员至少有3名 P(X=2)=4×3× 1 不在自已对应位置上的概率为多少？ 2 (3)假定A、B、C、D四支球队被分至同 1 115 一小组，依据过往比赛记录可得，A球队战胜 4 3 ×248 B球队的概率为子，踢成平局的概率为子：A P(X=3)= 1 23431 4 球队战胜C球队的概率为子，踢成平局的概 率为子：A球队成胜D球队的概率为子，踢 21 2 成平局的概率为2。按照积分规则，获胜可 1 1 积3分，平局可积1分，失败则积0分，试求 1 111 × A球队在小组赛结束后的积分X的分布列 3×4=48: 和数学期望。 1 1 1 1 P(X=5)= 2 32 3十 2 分析：(1)分小组赛、淘汰赛及排位赛运 1 117 算求解；(2)分有3名球员不在自己对应位置 K3×4=48 上和有4名球员不在自已对应位置上，结合 11 ×1+1 古典概型运算求解；(3)积分X的可能取值 P(X=6)=2×347 3 4 为0,1,2,3,4,5,6,7,9，结合题意求相应概 1、.115 率，即可得分布列和期望。 4×3×年=48 解：(1)第一阶段12个小组，每组4支球 11,.1,1 1 1 P(X=7)= 2×3×2+2 3 队两两比赛，共有12C=72(场)比赛； 1 1..17 第二阶段从32支球队淘汰到产生前四 ×3×4=48: 名，共有16+8十4=28（场）比赛： 1.1,11 第三阶段共有2十2=4（场）比赛。 P(X=9)= 2×3×4=24 所以共有72十28十4=104（场）比赛。 所以X的分布列如表3所示。 (2)若有3名球员不在自已对应位置上， 表3 则有C×2=8(种)换法； 0 2 3 4 5 6 7 9 若有4名球员不在自已对应位置上，则 5 1 11 7 5 7 1 有CC=9(种)换法。 48 12 488 484848 4824 故4名球员至少有3名不在自已对应位 B(X)=1×2+2×最+3×g+4×品 1 1 .11 置上的概率p=8+9-17 A249 ×+6×+7x+5x7。 113 (3)A球队在小组赛结束后的积分X的 可能取值为0（三负），1（一平两负），2（两平 ,点评：当变量服从一般分布时，应严格按 一负)，3（一胜两负或三平），4（一胜一平一 照求离散型随机变量的分布列的步骤求解。 负)，5（一胜两平），6（两胜一负），7（两胜一 先写出随机变量X的所有可能取值，注意不 平)，9（三胜）。 要遗漏，再根据随机事件的概率计算方法分 P(X=0)=1×1×1=1 别求出X的对应概率，然后以表格形式写出 4×3×4=48 X的分布列。 (责任编辑赵倩) 54