浅析四凸函数拐点与切线不等式-《中学生数理化》高二数学2026年7～8月刊

浅析凹凸函数拐 ■江苏省盐城市时 在数学中，函数的凹凸性是描述函数图形 弯曲方向的一个重要概念，而拐点则是指函数 凹凸性发生改变的点。具体来说，如果一个函 数在某区间内是凹的（即曲线位于其切线的上 方)，而在另一区间内是凸的（即曲线位于其切 线的下方)，那么这两个区间的分界点就是拐 点。凹凸函数的切线不等式是凹凸函数性质 的一种体现，它在不等式证明、函数最值求解、 范围估计等方面有着重要的应用。下面通过 例题分析凹凸函数拐点与切线不等式。 一、凹凸函数拐点 凹凸函数描述的是曲线的弯曲方向，而 拐点是曲线凹凸性发生改变的点。具体来 说，如果函数在某个区间内二阶导数大于零， 那么该区间内曲线是凹的；如果函数在某个 区间内二阶导数小于零，那么该区间内曲线 是凸的。拐点是指曲线由凹变凸或者由凸变 凹的分界点。 例1设函数f(x)的导函数为 f'(x),f'(x)的导函数为f"(x),f"(x)的导 函数为∫"(x)。若∫”(x。)=0,且∫"(x。)≠ 0,则(x。,f(x。)为曲线y=f(x)的拐点。 (1)判断曲线y=x是否有拐点，并说明 理由； (2)已知函数f(x)=axi一5x3,若 (停f停)》为曲线y=()的-个拐点. 求f(x)的单调区间与极值。 解析：(1)由函数y=x,可得y'=6x, y"=30x‘,y"=120x3。 由30x=0,得x=0。但由120x3=0,得 x=0,不满足定义，故曲线y=x没有拐点。 (2)由函数f(x)=axi一5x8,可得 f'(x)=5ax-15.x2,f"(x)=20ax3-30x= 10x(2a.x-3)。 因为（停f(停）)为曲线y=fx)的一 个拐点，所以了（号）=0。 解题篇经典题突破方法中学生数理化 高二数学2026年7一8月 点与切线不等式 杨中学 刘长柏 则2a×2 3=0,解得a=3。 经检验，当a=3时广（竖）≠0 故f'(x)=15x-15.x=15x(x2-1)。 当x<一1或x>1时，f'(x)>0,故 f(x)的单调递增区间为（一∞，一1）和(1， 十∞)； 当一1≤x≤1时，f'(x)≤0，且f'(x)= 0不恒成立，故f(x)的单调递减区间为 [-1,1]。 故当x=一1时，f(x)取得极大值，且极 大值为2： 当x=1时，f(x)取得极小值，且极小值 为一2。 点评：拐点的存在意味着二阶导数在该 ,点的值为零，并且二阶导数的符号在该，点两 侧发生变化。拐点的求法通常是找到函数二 阶导数为零的点，并检查这些点附近二阶导 数的符号是否发生变化。拐，点的几何特征是 该点的切线不是在曲线的一侧托着曲线而是 切线在切点处把曲线一分为二。 例2拐点，又称反曲点，指改变曲线 向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）。设 f'(x)是函数y=f(x)的导函数，f"(x)是函 数f'(x)的导函数，若方程f"(x)=0有实数 解x=xo,并且在(xo,f(xo))处左右两侧二 阶导数符号相反，则称(x。,f(x。))为函数 y=f(x)的“拐点”。 (1)经研究发现所有的三次函数f(x)= ax3+bx2十cx十d(a≠0)都有“拐点”，且该 “拐点”也是函数y=f(x)的图像的对称中 心。已知函数f(x)=x3十bx2一9x十a的图 像的对称中心为（一1,10），讨论函数f(x)的 单调性并求极值。 (2)已知函数g(.x)=2nx3+[6ln(n.x) 15]x+18-5 +1,n>0,求g(x)的拐点。 mm 解析：(1)易知f'(x)=3x2+2bx一9， 35 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高三数学2026年7-8月 f"(x)=6.x+2b。 由题意得f"(一1)=0，即一6+2b=0, 解得b=3。 且f(-1)=10,即(-1)3+3×(-1)2+ 9十a=10,解得a=一1。 故f(x)=x3+3x2-9x一1，f'(x)= 3.x2+6x-9。 令f'(x)>0,得x>1或x<-3: 令f'(x)<0,得-3<x<1。 故f(x)在(-∞，一3)，(1，十∞)上分别 单调递增，在（一3,1）上单调递减。 f(x)在x=一3处取得极大值，在x=1 处取得极小值。 极大值为f(-3)=一27+27+27一1= 26,极小值为f(1)=1+3一9一1=一6。 (2)g(x)=2n.x3+[6ln(n.x)-15]x2+ 18 m 品+1 由于m>0,mx>0,故x>0,即g(x)的 定义域为(0，十∞)。 g'(x)=6m.x2+6x+2[6ln(mx)-15]x n g"(x)=12n.x+6+12+2[6ln(m.x) 15]=12mx+12ln(m.x)-12。 令g"(x)=0,得mx-1+ln(mx)=0。 令h(x)=x+lnx-1,x>0,则h'(x) =1+1>0在0，十0)上恒成立。 故h(x)=x十lnx-1在(0，十∞)上单 调递增。 又h(1)=0,由零点存在性定理知，h(x) =x十lnx一1有唯一的零点x=1。 故mx=1,即当x=时，满足mx一1+ 777 ln(mx)=0。 当六时（）-是是+是 m+1=1。 5 故g)的拐点为（品1 二、切线不等式 当f(x)=e时，可以判断f(x)是凹函 36 数，故在函数图像上任意取一点P,则函数图 像位于过P点切线的上方，当取P(0,1)时， 切线方程为y=x十1，故e≥x十1。 当f(x)=lnx时，可以判断f(x)是凸 函数，故在函数图像上任意取一点P,则函数 图像位于过P点切线的下方，当取P(1,0) 时，切线方程为y=x一1，故lnx≤x一1。 例3已知函数f(x)=a(e+a)一x。 (1)讨论f(x)的单调性； (2证明：当a>0时fx)>2lna+受 解析：(1)已知f(x)=a(e2十a)一x,其 定义域为R,则f'(x)=ae一1。 当a≤0时，由于e>0,则ae≤0，故 f'(x)=ae一1<0恒成立，f(x)在R上单 调递减。 当a>0时，令f'(x)=ae一1=0，解得 x=-lna。 当x<一lna时，f'(x)<0,则f(x)在 (一o∞，一lna)上单调递减； 当x>-lna时，f'(x)>0,则f(x)在 (一lna,十o∞)上单调递增。 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递 减；当a>0时，f(x)在（一∞，-lna)上单调 递减，f(x)在（一lna,十∞）上单调递增。 (2)方法一：由(1)得，f(x)in=f(一lna) =a(e-h.+a)+In a=1+a'+In a. 安证c)>2na十名，即证1+a+na> 2na十号，需证。-号-lha>0恒成立. 3 由切线不等式可知lna≤a一1，故 -lna≥1-a。 1 所以a2lna≥a2三a+, (a-)广+>0. 4 从而原不等式得证。 方法二：易知e≥x+1,当且仅当x=0 时，等号成立。 f(x)=a(e+a)-x=ae*+a2-x= e+ma+a2-x≥x+lna+1十a2-x,当且仅 当x十lna=0,即x=-lna时，等号成立。 高二数学年夹破方清中学生教理化 解题篇经典题突破方法 要证fa)>2na+多，即证+lna十1十 所以当a>0时.f(x)>21na十号恒成 d->2na+号需证a-号-1ha>0, 立，证毕。 ,点评：对于本题的命制过程，我们从函数 令g(a)=a-2 1 -lna(a>0),则 凹凸性的角度可以一探究竟：设g(x)= 5'(a)=2a-1-2a2-1 a(e+a),a>0,可得g'(x)=g"(x)=ae, a 显然g"(x)>0,故g(x)是凹函数，其图像在 其任意一条切线的上方。不妨令g'(x)= 令g'(a)<0,则0<a< 2； ae=1,得x=l1n是，故可求函数g(x)在x 令g'(a)>0,则a> 2。 na处的切线方程y=x+a+1十lna 所以g(a)在(0，受）上单满递减，在 然后取一个在直线y=x十a2十1十lna下方 3 (停，+)上单调递增。 的直线y=x+2lna十之，则可得g(x)> x+2In a+3 因此g(a)mn=g ，从而完成本题的命制。 (责任编辑徐利杰) 号nV2>0,即g(a)>0恒成立 seaoocnoscnoocposcnoomnoscnoocnoscnoscnoocmoscnoocnoscnoocnoscnoomnoscnoscnoscnoocmoscnoscnoomnoscnoocnoscnoocnoscnoocnoscnoocnoscnoocnoscnoscnoocnoscnoocnoscnoocnoscnoocmo (上接第34页) (+)×g1-[2m-10+]×gr- Tm=1×2+2×22+3×23+…+n·2”。 2Tm=1×22+2×23+3×2+…+n· (位+）×8-号 49 2"+1。 因此，数列{b}的前n项和S。= 以上两式相减得： (2n+3)×3+1-9 T。=n·2+1-2-22一23一…-2” 4 =n·2+1 2-一2”+1 ,点评：裂项相消法解决等差乘等比北型数 1-2 列的关键是将其通项拆成两个等差乘等比型 =n·2”+1+2-2"+1 数列的差。结论：c。=(an十b)·q”-=（An =(n-1)·2+1十2。 +B)g”-[A(n-1)+B]q"-(q≠1)，其中 解法二：因为c。=(n一1)·2"+1一(n A=,日B=名数列求和公成为S, 2)·2”,所以： Tm=c1+c2+…+cn (An+B)·q”-B(q≠1)。 =(1-1)·22-(1-2)·21+(2-1)· 2,裂项求和向错位相减转化（可拆分项 22+1-(2-2)·22+…+(n-2)·2"-(n- 差·乘积型通项)。 1)·2m-1+(n-1)·2"+1-(n-2)·2m 适用条件：分式拆分型通项可通过“等比 =(n-1)·2+1+2。 数列求和公式逆用”，转化为“等差乘等比”的 ,点评：互化只是将同一种求和需求，通过 乘积型通项。 通项变形适配不同的消项逻辑。互化的基础 例4已知数列(cn}满足c。=(n一1)· 是“通项结构的等价变形”。 2+1一(n一2)·2”，求数列{cm的前n项和T。 (责任编辑徐利杰) 解析：解法一：由题意知c=n·2”, 37