2026年高考数学模拟试题(六)-《中学生数理化》高考数学2026年7～8月刊

中学生表理化资整薇学提热然的实硫月 2026年高考数学模拟试题（六 -e之a●●p吸a别●aP为 ■河南省许昌市教育科学研究中心 胡银伟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分， 0,且对任意x1,x∈（一∞，0)，x1≠x2,都有 共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 f:)-/x)<0,则不等式f3x-D≥0 一项是符合题目要求的。 x2一x1 1.设集合A={x|x2-2x一3<0}，B= 的解集为( )。 {x|一2<x<1},则A∩B=()。 A[号u(哈) A.(-2,1) B.(-1,1) C.(-2,-1) D.(一2,3) [-是u层》) 2.已知复数之在复平面内对应的点为 c【号u[g] (4,3),则之= )。 B.5+5 n.(-号u(g剖 43 8.在等比数列{am}中，a1十a2=2+ D.+ 4V2,a2十ag=16+4√2，若不等式log:a1- 1og:a2十log:a3-1og:a:+…十(-1)"+1· 3.已知点M(2,4)在抛物线C:y°=2px log:a.>19成立，则n的最小值为( )。 上，则点M到抛物线C的焦点的距离为 A.24B.25C.26D.27 ()。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， A.2 B.2√2 C.4D.6 共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 4.已知sin(a-吾）+cos&= 1 3，则 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分。 cos(2e+）=( )。 9.若(3-2.x)=a。十a1x十…十a6x,则 )。 A.-日 C.一25 7 0. 7 A,展开式中的二项式系数最大项为第3 项和第4项 5.已知向量a,b满足a|=1,|b=2, B.a1十a2十ag+a:+a:十a6=-728 |a一b|=√7，则a+b在b方向上的投影向 C.a1+2a2+3ag+…+6aa=-12 量是( ）。 D.当x=5时，(3一2x)除以8的余数 A.B C.D. 为1 6.某校社团为了调查本校学生对新上映 10.已知函数f(x)=4 tsin eo(x+于) 电影的喜好程度，对该校学生进行了满意度 十√3，则( )。 调查，其中男生共调查了600人，女生共调查 A函数f(x)的最小正周期为π 了400人，男生平均给分为4分，方差为1，女 生平均给分为3分，方差也为1，则调研对象 B[Q,]是两数f)的一个增区间 总体的方差为()。 A站 B岩 c号 D. C,函数f(x)的图像向左平移至个单位 长度后得到一个偶函数的图像 7.已知函数f(x)的定义域是R,f(x一 D.函数f(x)在区间(0，π)上有2个零 1)的图像关于点(1,0)中心对称，若f(3)= 点和4个极值点 40 为簧草突臂中学生款理化 1.已知PF:是稀圆C:+六-】 (m>0)的两个焦点，点Q(兮)在C上， M是C上的动点，MN⊥x轴，垂足为N,且 点P满足MP=PN(当点M在x轴上时， 规定点M与点N重合)，则()。 A.稀圆C的离心率为 16.(15分)如图1，在菱形ABCD中， 9 ∠A=60°，AB=2,E为AD的中点。如图 B.MFT+MF:的最小值为8 2,将△ABE沿着BE折起，使得点A到达点 C.点P的轨迹方程为x+y=1 P处。 D,△P0Q面积的最大值为I3 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， 共15分。 12.设S。是公差不为0的等差数列{an} 的前n项和，若S1=7(a:十a11十ak),则k= 图1 图2 (1)当PD=√2时，证明：平面PBC⊥平 13.若函数f(x)=e-号ax在(0， 面PBE; 十∞)上不单调，则实数a的取值范围为 (2)当PD=1时，求平面PBC与平面 PCD所成角的余弦值。 14.在侧棱长为2的正三棱维A-BCD 中，棱BC上存在点E,使得AE⊥AD,以A 为球心的球与平面BCD相切，则该球被三棱 锥A-BCD截得的几何体的体积为一。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所 对的边分别是a,b,c,且acos B十bcos A= ceo(A-吾)· (1)求角A: (2)若a=√3，求△ABC的面积的最大 值。 17.(15分)人工智能是引领新一轮科技 革命与产业变革的战略技术，其研发过程融 合了算法创新与工程实践的深度智慧。某科 技公司计划开发三款不同的大语言模型A, B,C,每款模型的研发分为两个主要阶段：算 法设计评审和工程部署验收。只有算法设计 41 中学生表理化资整續学提数感助夹破月 评审通过后，才能进入工程部署脸收，两个阶 段相互独立。只有同时通过这两个阶段，模 型才能正式上线发布。已知A,B,C三款模 32 型通过算法设计评审的概率依次为，3， 号，通过工程郑署验收的概率依次为号，是， 23 3 。 (1)求A,B,C三款中恰有两款通过算 法设计评审的概率； (2)已知A,B,C三款中恰有一款通过 算法设计评审，求通过的模型为A的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收 两个阶段后，A,B,C三款模型能成功上线的 数量为随机变量X,求X的分布列及数学期 望E(X)。 19.(17分)已知函数f(x)=a.x+lnx, 直线2x一y一1=0与曲线y=f(x)相切。 (1)求a的值： (2)若对任意x∈[]，存在c [-e,0],使得不等式(x+1)f(x)≥x2+bx 十c成立，求b的最大值： (3)若p(x)=ef(x),求证：对任意s, t∈(1，+o∞)，有9(s十t)>9(s)十9(t)。 8.17分)已知双曲线C:?-是二1 (b>0),O为坐标原点，过C的右焦点的直 线l交C的右支于P,Q两点，当1⊥x轴时， |PQ|=2√2。 (1)求C的方程。 (2)过点P作直线x=1的垂线，垂足为 N。 ①证明：直线QN过定点： ②求△OQN面积的最小值。 (责任编辑王福华) 42中学生数理化贵整藏季与丽车7-8月 2026年高考数学模拟试题（六）： 参考答案 一、选择题 9|MF:1 1.B2.C3.C4.B5.A6.A7.C TMF.I MF+IMF:1=4,MF: 8.D提示：设{am}的公比为q,记Sm= =3,|MF1|=1时，等号成立，故B错误。设 log:a-log2 a:+log:a:-log2 a.+...+ 点P(x,y),M(x1,y1),N(x1,0),则M= (-1)+log2am。由a1十a2=2+4√2，a2+ (x-x1,y-y1),PN=(x1-x,-y)。由M2 a:=16+42,得g=aa=16+42 =PN,得 x-x=x一x即 x1=x, 又点 a1十a:2+4√2 y-y1=-y, y1=2y。 2√2。又因为a1=2,所以a,=2×(2√2)”- M(29,)在椭圆C上，所以i+学-1.即 2 。令bn=(一1)"+11og2a。,则b。= x+2)=1>x十y=1,所以点P的轨 4 （一1+13”21。当n为偶数时，6,1+b。三 迹方程为x2+y=1,故C正确。由OP|= 3m”-2=-2s,=-号×号 2 2 1.001=√月+8=5当or100时， >19,无正整数解：当n为大于2的奇数时， b。-1十bn= 3mp1+"2-子，由 △POQ面积的最大值为S=专OP1OQ 2 2 Sn=b1十(b2十b)+(b,十b)+…+(bw-1+ ×1X3-1 = 1 2 ,故D正确。 4 6.)=1+受×”号>19，解得m>25.又n 三、填空题 12.18 为奇数，所以n的最小值为27。 13.(e,+o∞) 二、选择题 9.BCD 14.83x 提示：如图1，取线段BC的中 27 10.AC 点为M,连接AM,DM。因 11.ACD 提示：因为点Q(兮)在椭 为△ABC为等腰三角形， 圆C上.所以片+是=1，解得m=2,所以 △BCD为等边三角形，所以 AM⊥BC,DM⊥BC。又 a=2,则c2=a2-b2=4一1=3，即c=√3， AM∩DM=M,AM,DMC 所以e=号-咨放A正确。因为1MF,十 平面AMD,所以BC⊥平面 AMD。因为ADC平面 图1 9 AMD,所以BC⊥AD。因为 IMF:=2a=4,所以MF,+MF AE⊥AD,AE∩BC=E,AE,BCC平面ABC, 1 9 (IMF,I+IMF:I) MF,I+IME:=1× 所以AD⊥平面ABC。又AB,ACC平面 4 4 ABC,所以AD⊥AB,AD⊥AC。因为AB= 10+ IMF: MF 9ME）≥子（0 MF: AC=AD=2,所以BC=CD=BD=2√2，所以 MF2、9MF1T |MF,| AB⊥AC。过点A作AF⊥平面BCD,垂足为 2√MF,XTMF:T =4,当且仅当MF, F,则F∈MD。因为MD=√6，所以DF= 76 高三数学参烧与提香中学生数理化 2w6 4+1一BE 3 MF √6 3 则AF=AD-DF= 2×2×1,解得BE=V3, 242V3 所以PE2+BE2=PB2,即 14 ,即以A为球心的球的半径为 9 3 PE⊥BE。 23 ,所以该球的体积为誓×(2) 因为PD=√2，所以 3/ PE+DE=PD,即PE 图2 32√3π ⊥ED。又因为EB∩ED 27 则该球被三棱锥A-BCD截得的几何 =E,EB,EDC平面BCDE,所以PE⊥平面 体的体积为×2，-88 BCDE。又BCC平面BCDE,所以PE⊥ 27 27 BC。在菱形ABCD中，有BD=CD=AB= 四、解答题 2,∠C=∠A=60°，F为BC的中点，DF⊥1 15.(1)已知a cos B+bcos A=c· BC且DF=√5，所以四边形BFDE为平行 cos(A-否）由正弦定理得sin Acos B十 四边形，即∠BED=∠CBE=90°，所以BC ⊥BE。因为BE∩PE=E,BE,PEC平面 sin Bcos A=sin Ccos(A),sin(A+ PEB,所以BC⊥平面PEB。因为BCC平 面PBC,所以平面PBC⊥平面PBE。 B)=inCcos(A-8)· (2)取ED的中点为O,连接PO,在平面 因为A+B=π一C,所以sin(A+B)= BCDE内，过O作Ox∥EB。 sinC=in Ceos(A-若）又C∈0，x),所 因为PD=1,所以△PED为正三角形。 由(1)知Ox⊥ED,故 P(A) 以sinC>0,则eos(A-若）=1. 以O为坐标原点，建立如 图3所示的空间直角坐标 因为A∈(0，元，所以A-吾∈ 系，则P6o,号）B(5 (石）放A-若=0，即A=云 是oc(,2o (2)由题意及)知，a=5,A=若，结合 图3 D(o,2o). 余弦定理得a2=6十c2-2bcc0s若-3，所以 所以成=(5，-之，-）元 b2+c2=3+√3bc。 因为b2+c≥2bc,所以3+√3bc≥2bc, 得bcs3 =3(2十√3)，当且仅当b=c时 设平面PBC的一个法向量为m=(x, 2-√3 取等号。 m时y 2=0, y,),则 取 所以△ABC的面积S-号csin π 元-+号yg= 子bc≤2(2+g)=6+3E x=1,则m=(1,0,2)。 4 同理，设平面PCD的一个法向量为n= 故△ABC的面积的最大值为6+33 40 16.(1)如图2，取BC的中点为F,连接 (a,b,c),则 取 DF。 n元-a+2b- 2c=0, 在△PBE中，由余弦定理得cos60°= b=√3，则n=(-1,√3,1)。 77 中学生款理化舞整翠与提秀年7-8月 所以平面PBC与平面PCD所成角的 所以X的分布列为表1： 余弦值为|cos(m,n〉|= |m·nl|-1+2 表1 5×√5 X 0 1 2 3 13 19 37 3 5。 100 50 100 25 17.(1)设A,B,C三款模型通过算法设 13 19 37 计评审为事件M,N,T:A,B,C三款中恰有 故E(X)=0×100+1×50+2×100+ 两款通过算法设计评审为事件D,则P(D) 337 3× -P(MNT)+P(MNT)+P(MNT)-x 2525 18.(1)由直线1⊥x轴时，1PQ|=2√2， 号×(0-)+(0-)×号×台+ 可令P).代人双商线得亏-是-1，结 1-)×号品 合c2=2十b,可得b=2,故双曲线C的方 (2)设A,B,C三款中恰有一款通过算 程为女y 2-21。 法设计评审为事件E,则P(E)=P(MNT) (2)①设P(x1y1),Q(x2,y2),则N(1, +P(MNT)+P(MNT)-是×(1-)× y1)。 由(1)知F:(2,0),又直线1的斜率不为 (1-号)+1-)×(1-子)×号 0,所以可设1：x=my十2。 (1-)×号×(1-)=0 x=my+2, 联立x-y=2… 消去x整理得(m2 由条件概率公式可得P(M|E)= 1)y2+4my+2=0,则m2-1≠0，△=8n2+ 是×-)×-) Am 2 P(ME) 1 8>0,y1+y2= m-I'yiy:-m-1 P(E) 高 3 由1直线NQ:9-产红-1 (3)设A,B,C三款模型能成功上线为 十y1,根据双曲线的对称性可知，直线NQ所 事件Q.w,R.则P(Q》=号×号= ,P(W) 过定点必在x轴上。 令y=0即子一1D+y,=0解得 由题意知，X的所有可能取值为0,1,2， 工=y:二y。因为，=my:十2，所以x y:yI 3,则P(x=o)=(1-2)×(1-2)× y:-myiy:-2y (1-号)=0品P(x=1D=g×(1-2)× y:-yI 又因为y十y: =-2m,所以y十y 1-)+(1-)×专×1-)+ yiy: 2 :+y十-23 (1-2)×01-》×号-品：P(X=2) 一my1y2,则x= 2 y:一y 29 名×号×1-)+0-2)×台×号+ 所以NQ过定点M(径，0)： ×-)×号-=品P(X=3)=× @Sww=21OM11-y:1= 4 √y1+y:)-4y1y= 32 m2+1 2 V(m-1)2 78 高三数学02生与提万中学生教理化 参考答案与提示 〔m2-1≠0， 1-1-x-1 由①得，8(m+1)>0, x 解得0 2 m-1<0, y1y:= 放当x∈（日，1）时，'(x)<0,则A(x) n2<1。 在（合1）上单调递减：当x∈(1，)时， 令1=m-1∈[-1,0)，则Sa3y2 h'(x)>0,则h(x)在(1，e)上单调递增。 2 +2-3E ·层+- 因为()=。+2-e<0,h1)=2- 2 t 2 √(+)-石 <0,h(e)=0,所以当x∈（日c)时，a(x)< 因为t∈[-1,0)，所以1∈(-0，-1门， 0,即g(x)<0,则g(x)在（合c)上单调递 减；当x∈(e,e)时，h(x)>0,即g'(x)>0, 则S4w0≥3y2 ,当1=-1时取等号。 则g(x)在(e,e)上单调递增。 所以S4mo的最小值为3y区 所以6≤g(x)。=8e)=3+。,即b的 2 19.(1)设直线2x一y一1=0与曲线y 最大值为3+工 f(x)相切于点(x。,2x。一1)处。 (3)由已知得9(x)=ef(x)=e(x+ 因为f'(r)=a+是，所以/()=a十 In x)(z)=c(z+In x)+e(1+ 是=2，则a=2- =c(e+1nx+1+） 又2x。-1=ar。十1n,将a=2-1代 令p)=x+1nx+1+(x>1).则 入得x。=1,则a=1。 (2)由(1)得f(x)=x+lnx。 )=1+-子=1+→>0，所以 p(x)在(1，+∞)上单调递增。 对任意x∈[片心]存在∈[-e,0, 又函数y=e在(1，十∞)上单调递增且 使得不等式(x十1)f(x)≥x2+bx十c成立， 恒为正，所以'(x)在(1，十∞)上单调递增且 等价于对任意xe[日]，(x+1Df) 恒为正，所以p(x)在(1，十∞)上单调递增。 令F(x)=9(x+t)-9(x)-9(t),x, x2一bx≥cmm=一e成立，即当x∈ t>1,则F'(x)=p'(x+t)-p'(x)。 [日c]时，6<红+Df+成立. 因为x+t>x>1,所以F'(x)=p'(x+t) 一(x)>0,故F(x)在(1，十∞)上单调递增。 8(x)-(+Df(a)-zite-In x 所以对任意s>1,有F(s)>F(1)=(1 十t)-p(1)-p(t)。 十1十lnx十C,只需b≤g(x)即可。 又当t>1时，p(1+t)-9(1)-9(t)= 求导得g(x)=1+1-lnx-e e+[(1+t)+ln(1+t)]-e-e'(t+lnt)= x (te+-te)+Le+In(1+t)-e'In t]+(e+ x+1-In x-e 一e)>0,所以F(s)=p(s+t)-p(s)-9(t) x >0,即p(s十t)>p(s)十p(t),结论得证。 令h(x)=x+1-lnx-e,则h'(x)= (责任编辑王福华) 79