“概率与统计”试题精选-《中学生数理化》高考数学2026年6月刊

学核心青室黄管中学生表理化 “概率与统计”试题精选 ■四川省成都经济技术开发区实验中学校杜海洋 1.英国数学家贝叶斯(1701一1763年) 3.电影《哪吒2》以精美的画面、震撼的 在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯 特效、流畅的动作设计创造了158亿的票房 统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做 神话，名列全球票房榜第五位。在电影最后 出了重要贡献。贝叶斯公式就是他的重大发 哪吒与无量仙翁的决战中，假设无量仙翁的 现，它用来描述两个条件概率之间的关系。 生命值为1000，哪吒每次攻击造成的伤害为 该公式：设A1,A2,…,A是一组两两互斥的 随机变量100Y,P(Y=k)=1k=0,1,2.… 事件，A1UA:U…UA。=2,且P(A:)>0, i=1,2,…,n,则对任意的事件B三2， 10。当无量仙翁生命值小于等于0时，哪吒 获胜（假设莲花化身的哪吒具有不死之身，不 P(B)>0,有P(A,|B)= P(A)P(BA) P (B) 会被击败)。 P(A)P(B1A）,i=1,2,…n。现有 (1)求哪吒恰好在第2次攻击后战胜无 ∑P(AE)P(BIAE) 量仙翁的概率： (2)求哪吒战胜无量仙翁需要攻击次数 三台车床加工同一型号的零件，第1台加工 的期望： 的次品率为6%，每加工一个零件耗时35分 (3)求哪吒恰好在第n次攻击后可战胜 钟，第2,3台加工的次品率均为5%，每加工 无量仙翁的概率。 一个零件分别耗时32分钟和30分钟，加工 4.DeepSeek是由中国杭州的Deep Seek 出来的零件混放在一起。已知第1,2,3台车 公司开发的人工智能模型，其技术在多领域 床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 进行应用：智能客服实现高效人机交互，企业 45%。 场景中赋能数据分析与决策优化，教育领域 (1)任取一个零件，计算它是次品的概 支持个性化学习，医疗场景辅助诊断与知识 率； 管理，跨模态模型驱动图像、文本、视频的智 (2)如果取到的零件是次品，计算加工这 能生成与创作工具开发。其开源模型被开发 个零件耗时X分钟的分布列和数学期望。 者广泛集成，降低A1应用门槛，推动金融、科 2.将一个平面n边形AA,…A,的每个 研、工业等行业的智能化升级，以高性能技术 顶点赋值0或1两个数中的一个，同时染红 加速产业创新与效率提升。为了提高 或蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶 DeepSeek的应用能力，某公司组织A,B两 点的数字或颜色中至少有一个相同，称边 部门的全体员工参加DeepSeek培训l。 形A1A…A“点亮”。 (1)此次DeepSeek培训的员工中共有5 (1)在△A1A,A,中，已知A1赋值0且染 名部门负责人参加，恰有2人来自A部门。 红色，求△A1A2A:所有“点亮”的方法个数； 从这5名部门负责人中随机选取2人，记X (2)现对四边形A1A2AA,的每个顶点 表示选取的2人中来自A部门的人数，求X 随机赋值0或1，同时随机染红色或蓝色，求 的分布列和数学期望。 四边形A1AA,A,“点亮”的概率； (2)在培训闭幕式上，公司举行了一次 (3)求n边形的所有“点亮”的方法个数 DeepSeek专业知识竞答活动，规则如下：两 (结果用n表示)。 人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若 43 演练篇核心考点演练 中学生数理化高数学核202年6月 小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利。 {am}满足：对任意n∈N”,am=f(n)-f(n 已知甲、乙两名员工组成一组，甲、乙答对每 1),则称数列{a.}是关于f(x)的“可差数 道题的概率分别为p1、p。假设甲、乙两人 列”，记数列{an}的前n项和为Sm。 每次答题相互独立，且互不影响。当p1十p: (1)若{am}是关于f(x)=(x十1)·2 -言时，求甲、乙两名员工在每轮答题中取胜 的“可差数列”，求{am}的通项公式及Sn。 (2)已知{am}满足：对任意n∈N,am= 的概率的最大值。 (3n2+2n十1)·（一2）m+D,若{a.}是关于 5.在平面直角坐标系中，若点P(x,y) f(x)的“可差数列”。 的横、纵坐标均为整数，则称P(x,y)为格 ①试求一个满足条件的f(x)的解析式； 点，若曲线工上存在3个格点构成三角形，则 ②证明：对于任意给定的正数M,总存在 称下为“3格曲线”。 <M。 1)若椭圆C:+,=1(1<b<2为“3 正整数N,使得当n>N时， 8.如图1，一张3×3的棋盘， 格曲线”，求椭圆C的离心率； 横行编号1,2,3；竖排编号a,b,c。 （②)者椭周C行+若 =1(0<b2)上存 一颗棋子目前位于棋盘的(c,1) 在n(n≥4)个格点，且从中任取3个格点构 处，它的移动规则：每次移动到与 图1 成三角形，设该三角形的一个顶点为椭圆C 自身所在格不相邻的异色格中。 的左顶点的概率为P(n),求P(n); 例如，该棋子第一次移动可以从(c,1)移动到 (3)若直线l:y=x+2上存在2个格点 (a,2)或(b,3)。棋子每次移动到不同目的地 M,N,使得|MK|+|NK|=2,其中K为曲 1 的概率均为2。 线D:x十头16≥0)与y轴正半轴的交 (1)①列举两次移动后，该棋子所有可能 的位置： 点，求b的值。 6.2024年新高考I卷数学卷面分值进 ②假设棋子两次移动后，最终停留到第 行了调整，其中第9题到第11题为多项选择 1,2,3行时，分别能获得1分，2分，3分，设 题，每题分值为6分，若正确选项有2个，则 得分为X,求X的分布列和数学期望。 选对2个得6分，选对1个得3分，有选错的 (2)现在于棋盘左下角(a,3)处加入一颗 或不选择得0分：若正确选项有3个，则选对 棋子，它们的移动规则相同，并且每次同时移 3个得6分，选对2个得4分，选对1个得2 动。移动n次后，两棋子位于同一格的概率 分，有选错的或不选择得0分。已知甲、乙两 为Pm,求Pm的通项公式。 位同学各自独立作答第11题，设第11题正 参考答案： 1.(1)设B=“任取一个零件为次品”，A 确答案是2个选项的概率为】 =“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),则 (1)已知甲同学随机（等可能）选择了2 2=AUA2UA,且A1,A2,Aa两两互斥。 个选项作答，求他既选出正确选项也选出错 由题意得，P(A1)=0.25,P(A:)=0.3, 误选项的概率。 P(A3)=0.45,P(BA)=0.06,P(B|A,) (2)若乙同学在作答第11题时，除确定 =P(B|A3)=0.05。 B,D选项不能同时选择外没有答题思路，只 由全概率公式得，P(B)=P(A!)P(B 能随机选择若干选项作答。求乙同学在答题 A1)+P(A:)P(B|A:)+P(A,)P(B|Ag)= 过程中使得分期望最大的答题方式，并写出 0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05= 得分的最大期望。 0.0525。 7.已知f(x)为一个连续函数，若数列 (2)由题意知，X的所有可能取值为35， 44 学核心青室黄管中学生表理化 32,30,则P(X=35)=P(A1|B)= P(AB) 方法，其余的边标记c,由乘法原理知共有 P(B) CC种标记方法。 P(A1)P(B|A1)_0.25×0.06-2 对i、j求和，“点亮”的方法数为f(n)= P(B) 0.0525 :P(X =32)=P(A1B)三二，P(X=30)=P(A (C:∑C)。 ① =0 i=0 B-号 当n为奇数时，n一2i>0,此时， 所以X的分布列为表1： C=2-1。 ② 表1 [] 35 32 30 代入①式得f(n)=4 之2-C= P 2 [幻 7 7 2 2”-C=∑2C+∑2*(-1)C i=0 k=0 k=0 故E(X)=35× 7+32× 7+30× 3 (2+1)”+(2一1)”=3”+1。 7 32(分钟)。 当”为偶数时若i<名，则巴式仍然成 2.(1)设r表示染红色，t表示染蓝色，则 满足条件的“点亮”为(0r,0r,0r),(0r,0r, 立：若i=艺，则n边形的所有边都标记α，此 0t),(0r,0r,1r),(0r,0t,0r),(0r,0t,0t), 时只有一种标记方法。 (0r,1r,0r),(0r,1r,1r),共7种。 所以能“点亮”的方法数f(n)=4(1- (2)对四边形A1A:A:A:的每个顶点随 机赋值0或1，同时随机染红色或染蓝色，每 2"--+C)=2+4∑2"-C”=3”+3。 个顶点有4种方法，则四边形A1A,AA,共 综上，“点亮”的方法数：当n为奇数时， 有4‘=256（种）方法，其中能“点亮”的有84 有3”+1种：当n为偶数时，有3”十3种。 种，故所求概率P-器器 3.(1)第一次伤害为0时，第二次为 1000;第一次伤害为100时，第二次为900， (3)对于n边形A1A2…A.,若相邻两个 1000;…;第一次伤害为900时，第二次为 顶点上所赋值的数字不同，则在它们所在的 100,200,…,1000,共55种情况。故哪吒恰 边上标上a;若颜色不同，则标上b;若数字和 好在第2次攻击后战胜无量仙翁的概率为 颜色都相同，则标上c。 55-5 于是，对于给定的点A,上的设置（共有 12111° 4种)，按照边上的字母可以依次确定点A2, (2)设无量仙翁生命值为100n时，哪吒 Ag,…,Am上的设置。 战胜需要攻击的次数为X。,则E(X,)=1× 为了使得最终回到点A,时的设置与初始 +方[EX)+1+E(X,)+1++ 相同，标有α和b的边都是偶数条，所以“点 1 亮”的方法数等于在边上标记a,b,c使得标 E(X.)+1]=1+[E(X)+E(X:)+…+ 有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍。 设标有a的边有2：(0≤i≤[受]）条，标 E(X,小，所以E(X)=1+E(X)十 E(X2)十…十E(X。-1)门]，两式相减得E(Xm) 有6的边有2（≤≤2]）条。 iE(X.-). 选取2i条边标记a的有C:种方法，在 余下的边中取出2j条边标记b的有C:种 故E(X.) 10 E(X1)。 45 中学生款理化黄整盛学核心黄座满等 又EX)=1×号+E(X)+,所 10 令=p则p≤(P古）=专即 以E(X)= 放E(X.) 11 ,且t>0,当且仅当p,=p:时，取等号。 所以当n=10时，E(X1o)= 故P(A)=-+,其中0<<音 (3)设第n次攻击造成的伤害为100Y。, 则恰在第n次击败需满足： 其对称轴为1=专，所以当1=专，即p: Y1+Y2+Yg+…+Ym-≤9；① p2= 时，P(A)取得最大值，且P(A)m= 3 Y1+Y2+Y,+…+Ym≥10。 ② 设Y+Y,+Y。+…+Y。-1+Z=9,Z≥ -8×(信)+8×告-品 1。③ 5.(1)由题意知，C的左顶点A1(一2， 所以③的非负整数解有C”+{=C+8 0),右顶点A2(2,0)是两个格点。 (组)，即①的非负整数解有C+#组。 因为1<b<2,所以C的上顶点和下顶 从而前一1次哪吒未获胜的概率为 点不为格点。又C为“3格曲线”，则C上至 一，前”一1次获胜的概率为1一C+ 110 少存在一个异于左顶点和右顶点的格点 n,t∈Z, 前n次获胜的概率为1一C。,第”次恰 0<1m<2,得{1-1。 1lm=1, H(n,t),则 n 由4 好获胜的概率为C一_C 0<|t|<b, 11"-1110 若-1，可得子+片=1：部得6=专：则稀 4.(1)由题意知，X的所有可能取值为 0,1,2,则P(X=0)= C 10P(X=1)= 3 圆C的离心率e三二=力-么=Y6 a a=3。 CC_6=3 C1 (2)由(1)可知，当1<b<2时，H(m,t) 10=1 :P(X=2)= C-10。 /m=1, 此时C上有 所以X的分布列为表2： 是C上的格点，且=1， 表2 (-2,0),(2,0),(1,1),(1,-1),(-1,1), X 0 12 (一1，一1)，共6个格点，则P(6)= C_1 3 3 1 C42 10 510 当b=1时，易知C上有(-2,0)，(2,0)， 3 +2 3 4 故E(X)=0× +1× 0,1),(0,一1)，共4个格点，则P(4)=二= 10 105 (2)设甲、乙答对题数分别为M、N,则 3 M一B(2,p1),NB(2,p)。 设事件A表示甲、乙两名员工在每轮答 当0<b<1时，易知C上有(-2,0)，(2， 题中取胜，则P(A)=P(M=1)P(N=2)+ 0),共2个格点，不符合题意。 P(M=2)P(N=1)+P(M=2)P(N=2)= 4,n=4, C:p1(1-p1)·Cpi+Cpi·C2p,(1-p:) 所以P(n)= 1 +Cpi·Cp=2p1(1-p1)p+2p2(1 2n=6。 p:)pi+pip=-3pip+2p1p2(p1十p)。 (3)因为M,N是直线l:y=x+2上的 又因为，十P=合所以P(A) 两个格点，所以|MN|=√2|xM一xN|。 显然|MK|+|NK|≥|MN|,所以2≥ 8 -3pipi+3pip:. √2|xM-xN,即|xM一xN≤√2。 46 高数学核营察清情中学生教理化 演练篇核心考点演练 又因为xM,xN∈Z,所以xM一xN|=1。 ×2X2=1器（分）.(B)=E(D)=3×3× 1 29 1 不妨设xM>xN,xN=k(k∈Z)。 当/2w=6+1, 时，M(k+1,k+3), 2+言×1×2=分： xN=k ②双选，则E(AB)=E(AD)=E(BC)= N(k,k+2),且K(0,b),所以|MK|+|NK|= √(k+1)+(k+3-b)产+√k+(k+2-b) E(CD)-> ×4-（分）.E(AC) 6+1 >√(+1)+√2=|k+1|+||,则|k+ 1 1 46 5×6+3×2X4=15(分)： 1|十|k|<2。又k∈Z,所以k=-1,0。 当k=一1时，|MK|+|WK|= ③三选，则E(ABC)=E(ACD)=号×6 3 √(2-b)+√1+(1-b)F=2。若b≥2，则 =2(分)。 1+1-07-4-6:解得6=名：若0<6< 经比较，当乙同学选择双选AC时，得分 2,则√1+(1一b)=b,解得b=1。 期型最大，最大值为铝分。 当k=0时，|MK|+NK|= 7.(1)因为f(x)=(x十1)·2，所以 √1+(3-b)F+√(2-b)F=2。若b≥2，则 a。=(n+1)·2”-(n-1+1)·2"-1=(n+ 2)·2m-1。 √个+(3-b)7=4一b,解得b=3:若0<b< 因为对任意n∈N',a,=(n十1)·2” 2则1+3一6)=6，解得6=号· n·2"-1,所以S,=2·2-1·2°+3·22-2· 综上山的值可能为了或1或3或号 2+…十(n+1)·2"-n·2”-1=(n+1)·2 -1。 6.(1)设事件A为“该题的正确答案是2 (2)①已知对任意n∈N',a,=(3n2+2n 个选项”，则A为“该题的正确答案是3个选 +1)·(-2)-m+",a.=f(n)-f(n-1)。 项”，所以P(A)=言，P(A)= 1 3 令f(n)=An+Bn+C (一2)+1 则3n+2n+1 (一2)”+1 设事件B为“甲同学既选出正确选项也 =An+Bn+C_A(n-1)2+B(n-1)+C 选出错误选项”，则p(BA)一CC=子 (-2)"+1 (一2)” C 即3n2+2n+1=3An+(3B-4A)n+3C+ P(BA)= CC1 3A=3, c=2 2A-2B,所以3B-4A=2, 解得A= 故P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)· 3C+2A一2B=1, P(A)=号×3+乞= 211.25 1,B=2,C=1。 (2)由题意知，选项B,D不能同时选，则 所以f(n)=”+2n+1_(n+1) （一2)”+1 （一2)+1，即 乙同学可以选择单选、双选、三选，正确答案 f(x)=(x十1)2·(-2)x+ 是2个选项的可能情况为AB,AD,BC,AC, 12 ②由①可知，S。= 22 CD,每种情祝出现的概率均为号×号-： 1 （-2)-(-2)+ 32 2 正确答案是3个选项的可能情况为ABC, （-2)3 (-2)+…+ (n+1)2 n (一2)+T一 (-2)= ACD,每种情况出现的慨率为号×号子 (n+1) 1 (2)+2 若乙同学做出的决策是： 因为小s引- (n+1)2 (n+1)2 20+1一， 1 (-2)+ ①单选，则E(A)=E(C)=3×5×3+ 所以当n≥3时，2"+1=2×(1十1)"≥2(C+ 47 中学生数理化 演练篇核心考点演练 高三数学2026年6月 Ci+C+C)= 2n3+10n+12 4一3一8一1。依次类推，可以串联 ≥ 6 成环状回路：一4一3一8一1一6 n3+3n2+10n+12 n3十3n2+3n+1 7一2一9一4一，如图4所示，则棋子 6 等价于在这个环状回路中运动。 图3 (n+1) 放s (n+1)26 2 20+ n+1 所以问题可以转化为将两个棋©⊙。 对任意M>0,取N,=6([]+1),则 子放在环状回路中的3号、7号位。 置，每回合3号、7号棋子有四种运 0o0 6 N,≥，取N=max{18,N,,当n>N时， 动模式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，图4 恒有 1 6 6 6 顺)，（递，逆），发生概率均为子 s.-2<n+ N+16 M+1 为了转化问题，现规定：d=“两0@Q 棋子之间的最短节点数”，如图5、图。 6=M,结论成立。 00 6所示，特别规定两棋子重合时，d= d=3 M 0。 图5 8.(1)①两次移动的所有路径可能为(c, 统计四种运动模式下d会如何 1)(a,2)→(c,1):(c,1)→(a,2)(c,3); 变化。 o (c,1)→(b,3)>(a,1)；(c,1)>(b,3)(c, 假设3号棋子顺时针走过x个 1)。所以两次移动后，该棋子的所有可能位 节点可以与7号棋子重合；或逆时 ®00 d=1 置为(a,1),(c,1),(c,3)。 针走过y个节点也可以与之重合。 图6 ②棋子两次移动后，最终停留在(a,1) 为了简化问题，不妨假设x≤ 时，得1分，对应概率为（合）-} 1 y,于是有表4： 表4 棋子两次移动后，最终停留在(c,1)时， 顺，顺)（顺，逆）( 逆，顺)水逆，逆〉 得1分，对应概率为2× 公)= d=0 d=0 d=1 d=1 d=0 棋子两次移动后，最终停留在(c,3)时， d=1 d=1 d=0 d=3 d=1 得3分，对应概率为 d=3 d=3 d=1 d=1 d=3 所以P(X=1)= 113 设p.=“n回合后，d=0的概率”，qm= 2十4=4 “n回合后，d=1的概率”，R。=“n回合后， d=3的概率”。 P(X=3)= 1 4 1 故最终得分X的分布列为表3： 表3 1 1 1 P 4 4 R.=1 9-1十 R。-1。 2 3 1 所以E(X)=1X4+3×4 =1.5。 所以p。= 2p-1+ (2)将棋盘按如图2所示编号。 123 2(-）,显然1=0p- 将棋子可以去的区域用箭头连 456 接起来，如图3，若从3可以连接到4 789 所以p.- ,所以p= 或8，记做4一3-8；从8可以连接3 图2 1 1 或1，记做3一8一1；然后将它们串联起来： 420+1。 (责任编辑王福华) 48