条件等式求最值问题中的“一题多解”&共线向量的应用问题赏析-《中学生数理化》高一数学2026年7～8月刊

高一黄学想部鞋胸与奶骨中学生款理化 条件等式求最值问题中的“一题多解” ■张树山 1 题目：已知正数x,y满足x十y= 8-1(sin'0+cos 04sin'0+4cos'0 +8= 2 cos'0 sin6 4十8，则x十y的最小值为—。 1 (5+sing4cos'0 +8≥ 1 t cos'0 sin0 （5+ 方法1：整体消元法十基本不等式 2 sin04cos2θ 分析：利用整体消元，结合基本不等式进 +8= 十8，所以t2 sin0 行求解。 8t-9=(t-9)(t+1)≥0(t>8),所以t≥9， 解：由x+y=+4+8,可得1+4 故t的最小值为9，即x+y的最小值为9。 x y 方法4：权方和不等式 x+y一8，所以(x十y)(x+y-8)=(x+y)· 分析：利用条件等式，结合权方和不等式 (层+）=5+￥+号.因为x>0,y>0, 求解。 y 4 所以(x+y)(x+y-8)=5+义+4虹≥5+ 解：由题意得1 >0,x十y8。 y y 2 =9,所以(x十y)(x十y-8)≥9， 由权方和不等式得上十4=上十2≥ 即(x+y)一8(x+y)一9≥0。注意到x> (1+2)2 x+yx十、·所以x十y=8≥十、，即 0y≥0，所以x+y≥9，当且仅当之=，且 (x+y)-8(x+y)-9≥0，所以x+y≥9， 当且仅当x=3,y=6时等号成立，故x十y 十y=十+8，即x=3,y=6时上述不 y 的最小值为9。 等式取等号，所以x十y的最小值为9。 方法5：配凑系数十两次不等式法 方法2：引参消元法+判别式 分析：两次利用基本不等式，配凑系数， 分析：引入参数消元，结合判别式法计算 结合整体思想求解。 最值。 解：令x十y=t(t>8),则y=t一x,所 解：易得+手十（侵+）+8=x 以=+，产+8即4-8：-2)=4 +(+)=++y+华≥2+ x+4x,所以(t-8)x2-[t(t-8)一3]x+t= 2√4k=6√E(当且仅当x=√反，y=2√F,即 0,所以△=[t(t一8)-3]-4t(t一8)≥0，即 [t(t-8)]-10t(t-8)+9≥0，也即[t(t y=2x时等号成立)。代入x+y=1十4+ x y 8)-1][t(t-8)-9]≥0(t>8),所以t(t 8)-9=t2-8t-9=(t-9)(t+1)≥0(t> 8得3在一店+8解得-9：所以子+号 8),解得t≥9。故x十y的最小值为9。 (日+)+8=x++9(任+号)≥18，即 方法3：三角换元法十“1”的妙用 分析：令x=tcos0,y=tsin0,结合“1” 10(侵+号)+8≥18，所以+手≥1，所以 的妙用求解。 x+y≥9，即(x十y)in=9。 解：由题意令x=tcos9,y=tsin0,0∈ 作者单位：内蒙古赤峰市宁城县第二中学 (0,受）>8，则x十y=1 4 tcos isin (责任编辑王琼霞) 17 知识结构与拓展 中学生数理化高数学2026年7-8月 共线向量的应用问题赏析 ■叶瑜 共线向量也叫平行向量，共线向量是方 解：延长AB到点D,使AB=BD,则 向相同或相反的向量，共线向量是特殊的向 AB=BD,所以|AB-B元1=|BD-BC|= 量。下面举例说明共线向量的应用，供大家 1CD1。因为△ABC是边长为1的正三角 学习与参考。 形，所以∠ABC=60°，所以∠D=∠BCD= 一、求点的坐标 30°，所以△ACD为直角三角形，所以|DC 例1已知平行四边形ABCD的顶点 =√AD-AC下=3，所以1AB-BC A(-1,一2)，B(3,一1)，C(5,6),则顶点D =√3。应选D。 的坐标是」 点评：两个向量共起点时，差向量的方向 解：设点D(x,y),由AB=DC得(3 是由减向量的终点指向被减向量的终点。 (-1),-1-(-2))=(4,1)=(5-x,6- 四、求参数的值 x=1, y),所以 4=5一x·解得 所以 例4已知e1,e:是两个非零不共线的 1=6-y, y=5, 向量，a=2e1一e2,b=ke1十e2,若a与b是共 点D(1,5)。 线向量，则实数k的值为。 点评：与向量共线的坐标有关的问题，先 解：由a与b是共线向量知存在实数入， 将题目中的点坐标化，线段向量化，再利用向 使得a=λb,所以2e1一e2=入(e1+e2)= 量的关系，列方程（组）求解即可。 二、求角的大小 Ake1+ae2,所以 例2 已知向量a=(经sina)b k=一2。 点评：若向量a,b不共线，且xa十yb= (sina,日)，若a化，则锐角a是( ）。 0,则x=y=0。 A. B c D.2 五、证明三点共线 例5如图2，在平行四边形ABCD中， 解：因为ah,所以sina=之×6= 3 1 1 点M是AB的中点，点N在BD上，且BN 所以sna=士子，又因为。为经角，所以 =3BD,求证：M,N,C三点共线。 sin a= 所以。=吾。应选A 1 点评：设向量a=（x1,y1),b=(x,y:), a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y2一xy1=0。 图2 三、求向量的模的值 证明：设BA=a,BC=b,由向量减法的 例3如图1，在边 长为1的正三角形 三角形法则知Ci-BM-B心=？B-BC ABC中，|AB-BC1的 1 值为( )。 Za一b。因为点N在BD上，且BN= A.1 B.2 D,所以B函=吉BD=子(BC+C币) 1 c号 D.3 图1 号a+).所以N-B时-C=号a+b) 18 高一数学拟做构与骨中学生表理化 -6=言a-导6=号（分a-b小，所以成 号C.所以c示与c矿i其线.义C时与Gd 1.经过△OAB的重心G的直线与OA, OB分别交于点P,Q,设OP=mOA,O 有公共点C,所以C,M,N三点共线。 点评：解题时，先证向量共线，再由两向 Oim>0>0》.证明+为定值。 量有公共点，即得三点共线。 提示：设OA=a,OB=b。由题意得 六、求数量积 例6在△ABC中，点M是BC的中 店-=号×o+O丽)=a+b.Pd 点，AM=1,点P在AM上，且满足AP= 2PM,则PA·(PB+PC)等于()。 0d-oi=nb-ma,P元=Od-oi=号a A-号B-专 c.言 4 D. 十b)-ma= (号-m)a+号b.由P,G,Q 解：由题意知点P是△ABC的重心，所 三点共线得存在实数入，使得P=入PG,所 以PA+PB+PC=0,所以PA·(PB+ 以b-ma=A(号-m)a十号h,所以 P心)=-P=-(径M)--号M- m=(号-m): 9。应选A。 消去入得十1=3。 n m 3, 点评：若O是△ABC的重心，D为边 2.如图4，在△ABC中，点P满足2B户 BC的中点，则CO)A=2OD。 =PC,过点P的直线与AB,AC所在的直线 七、判断四边形的形状 例7如图3，正三角形ABC的边长为 分别交于点M,N,若AM=xAB,AN= yAC,x>0,y>0,求2x+y的最小值。 15,且A庐=号A店+号A心，B时=号A店+ 号AC,则四边形APQB是()。 图4 提示：由题意知AP=AB+BP=AB+ 号C=A店+吉-A店)=号A店+ 图3 号a花.因为成=正，时=花.所以 A.菱形 B.等腰梯形 C.直角梯形 D.梯形 A立=品Ai+A.因为M.P,N三点 解：因为P反=PA+AB+B反= 共线，所以2十1 =1。所以2x+y=(2x+ 君店-会A正+a店+君店+会A证 是A店.所以P成/A店.又店1=15，所以 (+)=号+器+≥8.当且仅当 1P反1=13，所以PQ≠|AB1,所以四边形 2义=，即x=y=1时等号成立，所以2x十 APQB为梯形。应选D。 y的最小值为3。 点评：向量P反∥AB表示直线PQ与 作者单位：重庆师范大学 AB平行。 (责任编辑王琼霞) 19