指数函数、对数函数中的含参数问题&平面几何中的向量方法-《中学生数理化》高一数学2026年7～8月刊

高一数学想8组种与药骨中学生款理化 指数函数、对数函数中的含参数问题 ■刘纪元 题型三：函数的图像恒过定点问题 指数函数、对数函数中的含参数问题是 例3函数f(x)=1og.(2-1)(a>0, 一种常见题型，求参数的值或取值范围的关 且a≠1)恒过的定点是。 键是准确理解参数所起的作用。 解：令2一1=1，解得x=1,此时f(1) 题型一：函数的定义域问题 =log.1=0,所以函数f(x)=1og.(2-1)(a 例1若函数f(x)=√2-r+3-2的定 >0,且a≠1)恒过的定点是(1,0)。 义域为R,则实数a的取值范围为一。 评注：对数函数的图像恒过定点，不要忘 解：由题意得22-2+3-2≥0，即22-a+ 记1og.1=0。 题型四：函数的单调性问题 ≥2对任意x∈R恒成立。由y=2在R上 例4已知函数f(x)=2-m(m为常 为增函数，可得x2-2a.x十3≥1，所以x2 数)，若f(x)在区间[2，十∞)上是增函数，则 2ax+2≥0对任意x∈R恒成立，所以△= m的取值范围是。 4a2一80，解得一√2≤a√2，所以实数a 解：令t=2.x一nl,则t=|2x一m|在 的取值范围为[一√2，√2]。 区间 评注：二次根式的被开方数不能为负数。 [受+)上单调递增，在区间 题型二：函数的值域问题 上单调递减。已知y=2为R上 例2若函数f(x)=loga'(a>0,且 的增函数，要使函数f(x)=22m在区间 a≠1)在[一1,2]上的值域为[m,2],则m的 值为一。 [2,+∞)上单调递增，需满足 2,即m 2 解：已知函数y=logx在(0，十∞)上单 4,所以m的取值范围是（一©∞，4]。 调递增，结合函数y=a,x∈[一1,2]，下面 评注：复合函数的单调性遵循“同增异 对底数a分情况讨论。 减”的法则。 当0<a<1时，y=a在[-1,2]上单调 递减，其值域为[a2,a1门，此时f(x)在[一1， 感悟与 2]上单调递减，其值域为m,2],所以 函数y=f(x)和y=f(一x),若两函数 flogsa=m, 1og3a1=2,解得a、1 在区间[m,n]上的单调性相同，则把区间 9 [m,n]叫作y=f(x)的“稳定区间”。已知区 0a<1, m=-4。 当a>1时，y=a在[-1,2]上单调递 间[1,2025]为函数y= ()广+a的“稳定 增，其值域为[a,a门，此时f(x)在[一1,2] 区间”，则实数a的取值范围是 上单调递增，其值域为[n,2],所以 提示：实数a的取值范围是 flog:a=m, [-2-] fa=3, log3a2=2,解得 说明：本文系保定市教育科学“十五五” m=-1。 a>1, 规划课题“县域高中数学教联体教研路径研 综上可得，m=一4或m=一1。 究”（课题编号：2604057）的研究成果之一。 评注：复合函数中内层函数的值域是外 作者单位：河北省保定市徐水区第一中学 层函数的定义域。 (责任编辑王琼霞) 13 知识结构与拓展 中学生教理化高数学2026年7-8月 平面几何中的向量方法 ■胡贵平 用平面向量方法解决几何问题的难点是 如何将几何问题转化为向量问题，分析与求 由向量的模得AM √+ 解这类问题有助于培养直观想象、数学建模、 数学运算和逻辑推理等核心素养。 A'+AC'+A店1A花 4 题型一：用向量证明线段垂直 。因为N-号花时-耐- W19 例1如图1，在平行四边形ABCD中， M,N分别在BC,CD上，且满足BC= 号C-A,所以1B时1=，√（居C-a) 3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则 △AMN的形状是( =√合1C+A-专ACA×专 D =2,所以AM.BN=(2A+2心)： (径A心-A)=-2A+号1AC 图1 A.锐角三角形 B.钝角三角形 名A店IaC×号-合所以cos∠MPN= C.直角三角形 D.等腰三角形 cos(AM,BN)= AM.BN √19 分析：由图可猜测AN与MN垂直，因 AM·BN138 此需验证AN·M示是否为零。 题型三：用向量解决线段的长度问题 解：因为AN·MN=(AD+DN)· 例3某景区的部分道路如 (M心+C)=(a市+是A)·(3Ad 图3所示，AB=30m,BC= 40√2m,CD=50m,∠ABC= A)=专AD-是A=-子×9-音 ∠BCD=45°，要建设一条从点 图3 ×16=0,所以AN⊥MN,即AN⊥MN,所 A到点D的空中长廊，则AD= m 以△AMN是直角三角形。应选C。 分析：由题设条件得ABCD,AD=AB 题型二：用向量解决夹角问题 +B亡+CD,利用向量的数量积的运算法则， 例2如图2，在 计算AD即得结果。 △ABC中，已知AB=2, 解：由题设条件知∠ABC=∠BCD= AC=3,∠BAC=60°，M 45°，所以AB∥CD。由AD=AB+BC+ 是BC的中点，AN= CD,可得AD1=1AB1+BC12+1C元1 +2AB.BC+2AB·CD+2BC·CD。 号AC,设AM与BN相 图2 因为AB·BC=1AB11BC1cos135°= 交于点P,则cos∠MPN= -1200,AB·CD=|AB1ICD|cos0°= 分析：用AB和AC表示AM和BN,由 1500,BC·CD=1BC11CD|cos135°= cos∠MPN=cos〈AM,BN)及AB=2,AC -2000,所以1AD12=900+3200+2500 =3,∠BAC=60即可求得结果。 2400+3000-4000=3200,所以|AD1= 解：因为M是BC的中点，所以AM 40√2(m)。 2+2花. 作者单位：甘肃省白银市第一中学 (责任编辑王琼霞) 14