4.2.1等差数列的概念 第1课时 课件 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的概念、等差中项及通项公式，通过篮球运动员一周投球个数的情景引入，结合复习回顾数列定义、通项公式和递推公式，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以情景引入培养数学眼光，通过判断数列是否为等差数列的练习、“知三求一”的通项公式应用等探究活动训练数学思维，课堂小结用数学语言系统梳理知识点与思想方法。学生能深化概念理解与应用，教师可依托清晰流程提升教学效率。

4.2.1等差数列的概念 第一课时 学习目标 1、理解并掌握等差数列、等差中项的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列 2、经历由等差数列的递推公式推导通项公式的过程，掌握等差数列的通项公式，并掌握其与一次函数的关系 3、对等差数列的通项公式进行简单应用，体会函数与方程的思想在研究等差数列时的重要意义 复习回顾 1.数列的定义 2.数列的通项公式的定义 3.数列的递推公式的定义 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子称为递推公式. 【情景引入】 下面是一位篮球运动员一周训练时投球的个数: 第一天3000,第二天3500,第三天4000,第四天4500,第五天5000,第六天 5500,第七天6000. 得到数列:3000,3500,4000,4500,5000,5500,6000. 你发现这个数列有什么特点? 【知识梳理】 一、等差数列  　　　　　　　　　　　　　　　 顺序不能颠倒 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示. 等差数列概念的理解 (1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项. (2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征). (3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒. (4)公差可以是正数、负数、零. (5)等差数列的单调性与公差d的关系:当d>0时,是递增数列;当d<0时,是递减数列;当d=0时,是常数列. 练习 判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d. ①1,3,5,7,9,…; ②9,6,3,0,-3,…; ③1,3,4,5,6,…; ④7,7,7,7,7,…; 解 ①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是. 二、等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, A 叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式 2A=a+b .   　　任意两个数均有等差中项且唯一 思考 在数列{an}中,当n≥2时,an是an-1和an+1的等差中项,那么数列{an}是等差数列吗?为什么? 提示 是.因为an是an-1和an+1的等差中项,所以an-an-1=an+1-an,由等差数列的定义知数列{an}是等差数列. 三、等差数列的通项公式 首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d . 评析 (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1,d和n的表达式,所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 练习 (1)等差数列{an}:5,0,-5,-10,…的通项公式是　　　　　.  (2)若等差数列{an}的通项公式是an=4n-1,则其公差d=　　　　　.  答案 (1)an=10-5n　(2)4 解析 (1)易知首项a1=5,公差d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n. (2)公差d=an-an-1=(4n-1)-[4(n-1)-1]=4. 探究一 等差数列的通项公式及其应用 例1(1)已知数列{an}是首项为2,公差为4的等差数列,若an=2 022,则n=(　　) A.504 B.505 C.506 D.507 (2)在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是(　　) A.第13项 B.第14项 C.第15项 D.第16项 (3)在等差数列{an}中,若a3=12,a6=27,则其通项公式为　　　　　.  分析(1)(2)可先求通项公式,再利用通项公式解决相应问题;(3)可根据已知条件建立关于a1和d的方程组,求得a1和d即可得到通项公式. 答案 (1)C　(2)C　(3)an=5n-3 解析 (1)根据题意,数列{an}是首项a1=2,公差d=4的等差数列, 则an=a1+(n-1)d=4n-2,若an=2 022,则有4n-2=2 022,解得n=506. (2)首项a1=40,公差d=-3,所以an=40-3(n-1)=43-3n. 令an=43-3n<0,解得n> . 因为n∈N*,所以n≥15,即第一个负数项是第15项. 等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差. (2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”. (3)通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量为n的一次函数. 训练 1在等差数列{an}中,求解下列各题: 探究二 等差中项及其应用 例2(1)若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2 020项. (2)在-1和7之间插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这三个数. 分析(1)先根据条件由等差中项概念列方程求a,然后求出通项公式,再代入n=2 020求解;(2)先根据等差中项求出b,再依次利用等差中项求出a,c. (2)(方法1)这五个数构成的等差数列是{an},依题意知a1=-1,a5=7,设公差为d,则-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4项即a,b,c的值分别为 a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5. (方法2)依题意,得-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1和7的等差中项,即 等差中项的应用策略 (1)求两个数x,y的等差中项,根据等差中项的定义得 (2)证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列. 变式训练 2(1)等差数列1,2a,4a2,…的第五项等于(　　) 答案 (1)B　(2)等边三角形 探究三 等差数列的判断与证明 一、等差数列的判断 例3判断下列数列是不是等差数列. (1)在数列{an}中,an=3n+2; (2)在数列{an}中,an=n2+n. 分析根据等差数列的定义,判断an+1-an是不是常数. 解 (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),故该数列为等差数列. (2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列. 方法技巧 用定义法判定数列{an}是等差数列的基本步骤: (1)作差an+1-an; (2)对差式进行变形; (3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列. 训练 3已知数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3). (1)判断数列{an}是不是等差数列,并说明理由; (2)求{an}的通项公式. 解 (1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2, 而a2-a1=0不满足an-an-1=2, ∴{an}不是等差数列. (2)由(1)得,当n≥2时,an是等差数列,公差为2, ∴an=1+2(n-2)=2n-3(n≥2), 又a1=1不适合上式, ∴{an}的通项公式为 二、等差数列的证明 (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 分析先用an表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列{an}的通项公式. 方法技巧证明等差数列的方法 (1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列. (3)通项公式法:数列{an}的通项公式an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}为等差数列. 易错警示 (1)通项公式法不能作为证明方法.(2)若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;若an+1-an=an-an-1(n≥2,且n∈N*)成立,则无法确定等差数列{an}的公差.(3)若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.(4)已知数列的递推公式求数列的通项时,要通过对递推公式进行合理变形,构造出等差数列求通项. 知识点 an=a1+(n-1)d 1.定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 公差：d=an-an-1 (n≥2，n∈N*) 2.通项公式: 推导公式: an=am+(n－m)d 3.等差中项：a，A，b成等差数列 2A=a+b 课堂小结 1.首项是a1，公差是d的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，在a1，d，n，an这四个量中可知三求一，体现方程思想； 2.等差数列的通项公式的推导方法——归纳法（由特殊到一般）和累加法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公式的常用方法。 思想方法 ⑤1,,…. (3)设首项为a1,公差为d,则 解得故an=2+5(n-1)=5n-3. (1)已知公差d=-,a7=8,则a1=　　　　　;  (2)已知a3=0,a7-2a4=-1,则公差d=　;  (3)已知公差为d,a3=,a7=-,则a15=　　　　.  答案 (1)10　(2)-　(3)- 解析 (1)由题意,得a1+6×=8, 解得a1=10. (2)依题意可得 解得d=-. (3)(方法1)由得解得 ∴a15=a1+(15-1)d=+14×(-)=-. (方法2)由a7=a3+(7-3)d, 得-+4d,解得d=-. ∴a15=a3+(15-3)d=+12×(-)=-. 解 (1)由等差中项公式可得2(2a-1)=a+(3-a),解得a=,所以首项为,公差为,所以数列的通项公式为an=+(n-1)·n+1,故其第 2 020项为a2 020=×2 020+1=506. b==3.同理,a是-1和b的等差中项,c是b和7的等差中项,所以a==1,c==5.故a,b,c的值分别为1,3,5. A=. A. B.1 C.5 D.16 (2)已知△ABC中三边a,b,c成等差数列,也成等差数列,则△ABC的形状为　　　　　.  解析 (1)因为1,2a,4a2,…成等差数列,所以4a=1+4a2,解得a=, 所以这个等差数列的每一项均为1.故选B. (2)因为a,b,c成等差数列,也成等差数列, 所以则4b=()2=a+c+2,即a+c=2, 所以()2=0,故a=c=b.所以△ABC为等边三角形. an= 例4已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n>1),记bn=. (1)证明 bn+1-bn=. ∵b1=, ∴数列{bn}是首项为,公差为的等差数列. (2)解 由(1)知bn=+(n-1)·n. ∵bn=,∴an=+2=+2. ∴数列{an}的通项公式为an=+2. $