椭圆概念整理知识清单-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆概念整理 1.概念：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆. 符号语言：|MF1|+|MF2|=2a 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 焦点坐标 (-c，0)，(c，0) (0，-c)，(0，c) 焦距 |F1F2|=2c a,b,c的关系 a2=b2+c2 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 长轴 |A1A2|=2a,其中a为长半轴长 短轴 |B1B2|=2b,其中b为短半轴长 顶点 (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 离心率 e = (0<e<1)  · 焦点在分母大的那条轴； · e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆。 3.椭圆的一般方程：mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，已知椭圆上两点，不确定焦点在哪条轴时可用。 4.焦点三角形x y O F1 F2 P Q θ α β ★★★常见题型： （1）△PQF2的周长为C=2a+2c； （2）△PQF2的周长为4a； ★★（3）设P(xP,yP),椭圆的焦点在x轴上，则=c|yP|=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2 b2=b2tan (r为内切圆半径） （4）当为椭圆上顶点时，最大，最大，最大； 4.点与椭圆的位置关系 设点P(x0，y0)及椭圆的方程+=1(a>b>0) (1)+>1⇔点P在椭圆外. (2)+<1⇔点P在椭圆内. (3)+＝1⇔点P在椭圆上. 5.直线与椭圆的位置关系 设直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0) 由消去y,得到一个关于x的一元二次方程 (1) (2) (3) 6.点差法求中点弦的斜率 已知椭圆+=1(a>b>0)上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2≠x1)，AB的中点为M(x0，y0)，则有 两式相减得+=0，即 + =0 中点坐标公式得 整理得k= = - ·= - ·，即直线AB的斜率k= - 6. 椭圆的弦长公式 已知椭圆+=1(a>b>0)与直线y=kx+b交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|= . · 椭圆上的点到焦点距离最大为a+c，最小为a-c，即长轴定点处。 · 椭圆上的点到原点距离最大为a，最小为b，即长、短轴顶点处。 · 经过焦点最短的弦为通径=（通径：过焦点且垂直于x轴的弦）. · 切点P(x0，y0)，椭圆C:+=1，则切线方程：+=1 6 学科网（北京）股份有限公司 $$