22.3.4相似三角形的应用 课件 2026——2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形在实际生活中的应用，通过乐山大佛、红杉树等现实物体导入，先回顾相似三角形性质与判定作为学习支架，引导学生探究测量物体高度和宽度的实际问题。 其亮点在于情境贴近生活，结合测量金字塔高度、河宽等实例，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理相似关系、用数学语言建立比例模型的能力。课堂小结分类梳理方法，助力学生提升应用意识，也为教师提供清晰教学流程。

22.3.4 第1课时 相似三角形在实际生活中的应用 第22章 图形的相似 例题讲解 随堂演练 情景导入 知识回顾 获取新知 课堂小结 相似三角形的性质 对应边的比等于相似比 对应角相等 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 对应高的比等于相似比 对应中线的比等于相似比 对应角平分线的比等于相似比 知识回顾 本次教学过程是对本章理论和概念性知识进行系统全面的回顾， 2 相似三角形判定方法： 1、平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似． 2、两角分别相等的两个三角形相似. 3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 4、三边成比例的两个三角形相似． 教学过程中不仅要引导学生认真归纳总结，进行知识点的系统梳理，更为重要的是及时有效地帮助学生解决知识的疏漏，打下坚实的基础. 3 情景导入 乐山大佛 世界上最高的树 —— 红杉 台湾最高的楼 ——台北101大楼 怎样测量物体的高度？ 世界上最宽的河 ——亚马逊河 怎样测量河流的宽度？ 从下面实例中可以学到测量的方法。 一、测量物体高度 利用阳光下的影子： 如图，一名同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长. 根据测量数据，你能求出旗杆的 高度吗？ 说明你的理由. D A C B E 获取新知 Administrator (A) - 利用平行投影的平行性特点很容易得到相似三角形，也是解决测高问题的常用方法，表达式阐述的就是相似三角形对应边成比例 表达式：表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测量方法：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 数据：需要测量人的高度，影长和旗杆的影长 优点：只需要皮尺就行；不受阳光的限制 缺点：计算量比较大 测量原理：在同一时刻，物体与影长构造的直角三角形相似. 例题讲解 例1 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图,为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒O'B',比较木棒的影长A'B'与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O'B'= 1 m, A'B' = 2 m，AB= 274 m，求金字塔的高度OB. 解：∵太阳光线是平行光线， ∴∠OAB=∠O'A'B'. ∵∠ABO= ∠A'B'O' =90°， ∴△OAB∽△ O'A'B' （两角分别相等的两个三角形相似）， 答: 金字塔的高度OB为137 m. 通过例题的教学，让学生掌握解决实际问题的方法.进一步检验数学的应用价值. 胡123 (胡123) - 借助古代难题,引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义 Administrator (A) - 测量AB的长可以通过计算金字塔影子构成的三角形的过顶点A的高，再加上金字塔的边长的一半，可得AB的长. 还有其他测量方法吗？ A F E B O ┐ ┐ 平面镜 OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF Administrator (A) - 在说明两个直角三角形相似时，要用到光线“反射角=入射角”的知识，可向学生说明。 测量物体高度的方法 利用相似求物体的高度是相似三角形的一种常见应用。 9 例2 如图, 为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C,使AB丄BC，然后，再选定点E，使EC丄BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD =118 m， DC = 61 m，EC = 50 m，求河的宽度AB.(精确到0.1 m） 解：∵∠ADB=∠EDC,∠ABD=∠ECD=90°, ∴△ABD∽△ECD (两角分别相等的两个三角形相似)， 答：河的宽度AB约为96.7 m. 二、测量物体宽度 获取新知 通过例题的教学，让学生掌握解决实际问题的方法.进一步检验数学的应用价值. 测量方法：测量不能直接到达的两点间的距离时，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解．常见的测量方式如下： ② 构造“X”型相似，如图.  ① 构造“A”型相似，如图： 随堂演练 1.小明在测量楼高时,测出楼房落在地面上的影长BA为15 m,同时在A处竖立一根高2 m的标杆,测得标杆的影长AC为3 m,则楼高为(　　) A.10 m B.12 m C.15 m D.22.5 m A 2.如图，身高为1.6 m的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0 m，BC＝8.0 m，则旗杆的高度是(　　) A．6.4 m B．7.0 m C．8.0 m D．9.0 m C 3. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看 到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长度为 . 12 cm 4.如图,小明设计了两个直角三角形来测量河宽DE,他量得AD=20 m,BD=15 m,CE=45 m,求河宽DE. 解:∵∠CEA=∠BDA=90°,∠A=∠A, ∴△ABD∽△ACE, ∵AD=20 m,BD=15 m,CE=45 m, 解得DE=40(m). 答:河宽DE为40 m. 课堂小结 测高度： 方法1：利用阳光下的影子（物高与影长成正比） 方法2：利用标杆 方法3：利用镜子的反射（反射角=入射角） 相似三角形在实际生活中的应用 测长度： 构造“A”型和“X”型相似三角形 $22.3.4 第2课时 相似三角形在几何证明中的应用 随堂演练 获取新知 例题讲解 知识回顾 第22章 图形的相似 课堂小结 相似三角形的性质 对应边的比等于相似比 对应角相等 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 对应高的比等于相似比 对应中线的比等于相似比 对应角平分线的比等于相似比 知识回顾 本次教学过程是对本章理论和概念性知识进行系统全面的回顾， 2 相似三角形判定方法： 1、平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似． 2、两角分别相等的两个三角形相似. 3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 4、三边成比例的两个三角形相似． 教学过程中不仅要引导学生认真归纳总结，进行知识点的系统梳理，更为重要的是及时有效地帮助学生解决知识的疏漏，打下坚实的基础. 3 例题讲解 知识点1 利用相似三角形证明线段的乘积关系 例1 如图,在△ABC中,∠ACB=90°，CD为边AB上的高. 求证:CD2=AD·BD. 证明：∵ ∠ACD=90°-∠CAD=∠B， ∠CDA=∠BDC=90°, ∴△ACD∽△CBD. ∴, ∴CD2=AD·BD. 你还能找出其他类似的结论吗？ 胡123 (胡123) - 要找出其他类似的结论，首先需引导学生分析线段的平方项表示的含义，即两个三角形存在共线段的情况，由此，再找出其他两个三角形共线段的情况，进而猜想类似的结论。 例1 如图,在△ABC中,∠ACB=90°，CD为边AB上的高. 求证: 证明：∵ ∠ACB=∠ADC=90°， ∠A=∠A, ∴△ACB∽△ADC. ∴, ∴AC2=AD·AB. 还可以证明： AC2=AD·AB；BC2=BD·AB. AC2=AD·AB. 胡123 (胡123) - 发现：AC是△ACD和△ABC的公共线段；BC是△BCD和△ABC的公共线段。 例1 如图,在△ABC中,∠ACB=90°，CD为边AB上的高. 求证: 证明：∵ ∠BDC=∠BCA=90°， ∠B=∠B, ∴△CBD∽△ABC. ∴, ∴BC2=BD·AB. 还可以证明： AC2=AD·AB；BC2=BD·AB. BC2=BD·AB. 胡123 (胡123) - 发现：AC是△ACD和△ABC的公共线段；BC是△BCD和△ABC的公共线段。 利用相似三角形可以证明线段之间的乘积关系，通常是先证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质进行推导. 获取新知 知识点2 三角形重心的概念和性质 例2 如图，在△ABC 中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G. 求证: A E G B C D 证明：连接DE. ∵ D、E分别是边BC、AB的中点， ∴DE∥AC，, ∴△DEG∽△ACG. ∴, ∴. 胡123 (胡123) - 引导学生思考：根据图形的构造和现有的条件，表面 上找不到存在的相似三角形，需要添加辅助线构造出相似三角形，连接DE，能得到△ABC的中位线，进而得到平行线，构造出了相似三角形. 如图，在△ABC 中，如果取边AC的中点F，中线AD、BF相交于点G' . 还能得到类似的结论吗？ A F G' B C D 连接DF. ∵ D、F分别是边BC、AC的中点， ∴DF∥AB，, ∴△DFG'∽△ABG'. ∴, ∴. ∴. 即: 两图中的点G与点G'是重合的. 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 符号语言： 如图，△ABC的三条中线AD、CE、BF相交于点G， 则，． 归纳总结 A F E B C D G 拓展: 三角形的重心将中线分成的两条线段中，较短线段是较长线段的的． 全品文教初中 1. 已知D、E分别是∆ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE=∠C. 求证：AD·AB=AE·AC. A B C D E 证明：∵∠ADE=∠C，∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB（两角 分别相等的两个三角形相似）. ∴AD·AB=AE·AC. 随堂演练 2. 如图，在△ABC 中，已知AB=AC,∠A=36°,BD是∠ABC 的平分线.求证：BC²=AC·CD. A B C D 证明：∵AB=AC,∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=(180°-36°)=72°. ∵BD是∠ABC 的平分线, ∴∠CBD=36°,∴∠CBD=∠A， ∴△CBD∽△CAB. ∴ BC²=AC·CD. 3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上，连接BD，点E在BD上，连接AE，CE，且∠DAE＝∠DBA．求证：AD2＝BD•DE. 证明：∵∠DAE＝∠DBA，∠ADE＝∠BDA， ∴△DAE∽△DBA， ∴AD：BD＝DE：AD， ∴AD2＝BD•DE. 课堂小结 证明线段的乘积关系： 先证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质进行推导 相似三角形在几何证明中的应用 三角形的重心： 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 $