22.3.4 相似三角形的应用 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，涵盖利用影长测高、构造相似测距、证明线段乘积关系及中位线与重心等核心内容。通过复习相似三角形性质与判定方法导入，搭建前后知识联系，形成学习支架。 其亮点在于结合实际问题与逻辑推理，如测量金字塔高度、估算河宽培养数学眼光，证明CD²=AD·BD及重心推导发展推理思维，课堂总结分类清晰助力数学语言表达。学生能提升应用能力，教师可高效开展教学。

22.3.4 相似三角形的应用 22.3.4 相似三角形的应用 第1课时 相似三角形的应用1 1.利用影长测量高度；利用相似测量宽度；借助标杆或直尺测量物 体的高度.（重点） 2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点） 学 习 目 标 复 习 导 入 性质1 相似三角形性质 对应高，中线，角平分线的比等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 性质2 性质3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 合 作 探 究 例1 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法 : 如图 ,为了测量金字塔的高度 OB ,先竖一根已知长度的 木棒O' B' , 比较木棒的影长A' B' 与金字塔的影长AB, 即可近似算出金字塔的高度OB. 如果O' B' =1m , A' B' =2m ,AB=274m,求金字塔的高度OB. 金字塔的影长AB为露在外面的影长AC与金字塔底边的一半CB的长度的和. 典 例 精 析 解：∵太阳光线是平行光线， ∴∠OAB =∠O′A′B′. ∵ ∠AB O=∠A′B′ O′= 90°， ∴△OAB∽△O′A′B′(两角分别相等的两个三角形相似)， ∴= , ∴OB===137（m）. 答：金字塔的高度OB为 137 m. 典 例 精 析 分层设计 数学 HS 九年级 全 例2 如图 ,为了估算河的宽度 ,我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和C,使 AB⊥BC,然后,再选定点E,使EC⊥BC,用视线 确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=118m, DC=61m ,EC=50m,求河的宽度AB.(精确到 0.1m) 典 例 精 析 解：∵∠ADB =∠EDC， ∠ABD =∠ECD=90°， ∴△ABD∽△ECD (两角分别相等的两个三角形相似)， ∴= , 解得AB== ≈96.7（m）. 答：河的宽度AB约为 96.7 m. 典 例 精 析 分层设计 数学 HS 九年级 全 1．如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB的长是( ) A．2 m B．3 m C. D. A 2．如图，是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E.已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8.则ED的长为________． 13 随 堂 练 习 3．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB. 随 堂 练 习 解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴CB∥ED， ∴△ABC∽△ADE， 答：河宽AB为17 m. 随 堂 练 习 分层设计 数学 HS 九年级 全 4．如图， 某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们经过调整测量地点，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一条直线上，已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝20 m，求旗杆的高度． 随 堂 练 习 分层设计 数学 HS 九年级 全 解：由题意可得△DEF∽△DCA，则 ∵DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，DC＝20 m， ∴ ，解得AC＝10 m， 故AB＝ AC＋BC＝AC＋DG＝10＋1.5＝11.5(m)． 答：旗杆的高度为11.5 m. 随 堂 练 习 分层设计 数学 HS 九年级 全 测高 相似三角形的应用1 在同一时刻物高与影长成比例 测距 测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解 课 堂 总 结 22.3.4 相似三角形的应用 .第2课时 相似三角形的应用2 1. 利用相似三角形证明线段之间的乘积关系；（重点） 2. 利用三角形中位线证相似比及重心的推导过程.（难点） 学 习 目 标 复 习 导 入 相似三角形的判断方法有哪几种？ 1、两个角对应相等的两个三角形相似 2、两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似 3、三边对应成比例的两个三角形相似 合 作 探 究 例1 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,CD为边AB上的高. 求证：CD2=AD∙BD.你还能找出其他类似的结论吗？ 证明：∵∠ACD=90°-∠CAD=∠B， ∠CDA=∠BDC=90°, ∴△ACD∽△CBD. ∴= 即CD2=AD∙BD. 利用相似三角形，可以证明几条线段之间的关系 还可以证明 CA2=AD∙AB， CB2=BD∙BA. 典 例 精 析 证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点， ∴DE∥AC，= . (三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半)， ∴△ACG∽△DEG， ∴= = =， ∴== . A B C D G E 例2 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.求证： = = . 典 例 精 析 如果在例2图中取AC的中点 F，假设BF与AD相交于点G′，如下图，那么我们同理可得 = = ，所以 = =，即两图中的点G 与点G是重合的. A B C D G E A C D G' F B 合 作 探 究 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 . 于是，我们有以下结论： 数学上的“重心”与物理上的“重心”是一致的. 新 知 小 结 1.如图，在△ABC中，点D和点E分别是BC和BA的中点，若AC＝4，则DE＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 B 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是BC的中点，若OE＝3，则AB的长为(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 B 随 堂 练 习 3．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是(　　) A．点D B．点E C．点F D．点G A 4．如图，点G为△ABC的重心，连结CG、AG并延长分别交AB、BC于点E、F，连结EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为(　　) A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4 A 随 堂 练 习 5．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3. (1)求证：BN＝DN；(2)求△ABC的周长． 解：（1）证明：∵AN平分∠BAC， ∴∠1＝∠2. ∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°. 在△ABN和△ADN中， ∴△ABN≌△ADN(A.S.A.)， ∴BN＝DN. 随 堂 练 习 5．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3. (1)求证：BN＝DN；(2)求△ABC的周长． （2）解：∵△ABN≌△ADN， ∴AD＝AB＝10. ∵BN＝DN，M是BC边的中点， ∴MN是△BDC的中位线， ∴CD＝2MN＝6， ∴△ABC的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41. 随 堂 练 习 相似三角形的应用2 利用中位线证相似比 重心 三角形三条边上的中线交于一点 中位线 课 堂 总 结 m m ∴＝，∴＝，∴AB＝17 m. ＝. ＝ $