第16讲 等可能条件下的概率（知识点+题型精讲）暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第16讲 等可能条件下的概率 目录 知识点1 事件的分类与概率取值 2 知识点2 等可能试验（古典概型） 2 知识点3 概率常用求解方法 2 知识点4 几何概率 2 知识点5 游戏公平性判定 3 题型 1 列举随机实验的所有可能结果 3 题型 2 根据概率公式计算概率 5 题型 3 根据概率作判断 7 题型 4 已知概率求数量 9 题型 5 几何概率 10 题型 6 列举法求概率 12 题型 7 列表法或树状图法求概率 14 题型 8 游戏的公平性 18 题型 9 概率在转盘抽奖中的应用 21 题型10 概率的应用 25 1. 知识目标：掌握随机事件、等可能试验的概念，熟记古典概率、几何概率公式，熟练掌握列举法、列表法、树状图法三种概率求解方法。 2. 能力目标：能完整列举随机试验所有结果，熟练计算各类基础概率，可逆向由概率求数量，能判断游戏公平性、解决生活类概率应用问题。 3. 素养目标：建立概率模型思维，区分有限等可能与几何概率模型，提升数据分析、逻辑列举与实际应用解题能力。 知识点1 事件的分类与概率取值 1. 不可能事件：一定不会发生的事件，概率 ； 2. 必然事件：一定发生的事件，概率 ； 3. 随机事件：可能发生也可能不发生的事件，概率范围 ； 规律：事件发生可能性越大，概率越接近1；可能性越小，概率越接近0。 知识点2 等可能试验（古典概型） 满足两个核心条件：①所有可能结果个数有限；②每一个结果出现机会均等。 通用概率公式： ：所有等可能的总结果数；：事件A包含的有效结果数。 知识点3 概率常用求解方法 1. 直接列举法：结果数量较少时，逐一写出所有可能结果； 2. 列表法：两步随机试验，清晰罗列所有组合结果，不重不漏； 3. 树状图法：两步及以上试验，适用范围更广，分层列举所有结果。 知识点4 几何概率 试验结果为无限个且等可能，概率为对应几何区域的比值，常用公式： 知识点5 游戏公平性判定 若游戏中各方获胜概率相等，游戏公平；若概率不相等，游戏不公平，可通过修改规则调整公平性。 题型 1 列举随机实验的所有可能结果 解题技巧（有序列举、分类枚举、不重不漏） 1. 遵循有序原则：按从小到大、先后顺序、分类顺序依次列举，杜绝杂乱罗列； 2. 区分有无放回：有放回试验结果可重复，无放回试验结果不可重复； 3. 两步试验优先列表，三步及以上优先树状图，结果较少直接手写列举； 4. 最后统计总结果数，确保无重复、无遗漏。 1．班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】本题考查列举法，通过列举法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，他的选法有：文学类、历史类；文学类、哲学类；文学类，自然类；历史类、哲学类；历史类、自然类；哲学类、自然类，共6种； 故选：C． 2．我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 【答案】C 【分析】此题考查了列举法求随机事件的可能性，根据题意表示出所有可能的情况求解即可． 【详解】解：根据题意得，可能出现的情况有： 语文，数学，外语，物理，化学，生物； 语文，数学，外语，物理，化学，思想政治； 语文，数学，外语，物理，化学，地理； 语文，数学，外语，物理，生物，思想政治； 语文，数学，外语，物理，生物，地理； 语文，数学，外语，物理，思想政治，地理； 语文，数学，外语，历史，化学，生物； 语文，数学，外语，历史，化学，思想政治； 语文，数学，外语，历史，化学，地理； 语文，数学，外语，历史，生物，思想政治； 语文，数学，外语，历史，生物，地理； 语文，数学，外语，历史，思想政治，地理； ∴最多出现12种情况． 故选：C． 3．小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 【答案】 【分析】本题要求小王最终获胜且小李全程未领先，按比赛结束的不同局数分类，计算每类符合条件的情况数再求和即可得到结果． 【详解】解：由题意，小王最终胜4局，小李胜局不超过3局，且任意时刻小李胜场数不超过小王胜场数，分情况讨论： ①比赛4局结束：小王连胜4局，符合条件，共1种情况； ②比赛5局结束：第5局小王胜，前4局小王胜3局，小李胜1局，第一局必须为小王胜（否则小李开局领先），剩余3局选1局小李胜即可，共种，均满足条件，共种情况； ③比赛6局结束：第6局小王胜，前5局小王胜3局，小李胜2局，第一局必须为小王胜，若第二局小李胜，则第三局小王胜，第四、五局小李选1局胜即可，共2种情况；若第二局小王胜，则第三、四、五局小李选2局胜即可，共3种情况；因此，一共有5种情况； ④比赛7局结束：第7局小王胜，前6局小王胜3局，小李胜3局，第一局必须为小王胜，在剩余五局中，小李可以胜第二、四、六局，或第二、五、六局或第三、五、六局或第三、四、六局或第四、五、六局，共5种情况； 综上所述， 总情况数为：． 4．从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 【答案】 【分析】根据题意，选出3个不同数字后，按百位、十位、个位从左到右依次增大的要求排列，仅有唯一一种排列方式．因此所求三位数的个数等于从6个数字中任选3个不同数字的选法总数． 【详解】解：由题意，要得到满足条件的三位数，只需从个数字中选出个不同数字，选出的数字按从小到大排列后对应唯一满足条件的三位数分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个． 题型 2 根据概率公式计算概率 解题技巧（数清nm、直接套公式、规范作答） 1. 先判定是否为等可能试验，不满足等可能则不可用古典概率公式； 2. 准确数出总结果数n、事件有效结果数m； 3. 代入 计算，结果化为最简分数； 4. 避坑：区分“恰好、至多、至少、全部”等关键词，精准筛选有效结果。 5．在一个不透明的口袋中装有3个白球和4个黄球，这些球除颜色不同外其他完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵口袋中装有3个白球和4个黄球， ∴球的总个数为， ∴摸到白球的概率为. 6．小明要钉一个三角形木框，已有两根长度为、的木棒．如图所示的桌上有长度不同的4根木棒，他从中随机取一根，加上原有的两根木棒，能钉成一个三角形木框的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，从而找出符合条件的木棒根数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 已有两根木棒长度分别为、， 根据三角形三边关系可得：，即， 桌上的4根木棒长度分别为、、、， 满足的木棒有和这2根， 能钉成一个三角形木框的概率为． 7．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，则三辆车都直行的概率是______． 【答案】 【分析】通过列举所有等可能结果，利用概率公式计算所求概率，概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：每辆汽车都有左转、直行、右转3种等可能的选择，三辆汽车的所有选择结果可通过树状图列举得到． ∵总共有种等可能的结果，三辆车都直行的结果只有1种， ∴三辆车直行的概率是． 8．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是红灯的概率为________． 【答案】/0.5 【分析】根据概率公式，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数，本题用红灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，即可求出抬头看信号灯时是红灯的概率． 【详解】解：抬头看信号灯时，是红灯的概率为 ． 题型 3 根据概率作判断 解题技巧（凭概率大小、判可能性高低） 1. 概率越接近1，事件发生可能性越大；概率越接近0，可能性越小； 2. 概率为1是必然事件，概率为0是不可能事件； 3. 随机事件概率在0~1之间，只能判断可能性大小，不能确定是否一定发生； 4. 答题规范：先算概率，再对比数值，最后给出可能性判断。 9．一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，解题关键在于利用概率进行分析． 三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 【详解】解：∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每种球的概率均相等， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 10．某超市在一个不透明盒子中装了个小球，其中个小球上写着过桥米线，个小球上写着鲜花饼，个小球上写着普洱茶，个小球上写着宣威火腿，每个小球除文字外其它完全相同．凡是在该超市消费满元的客户就可以从盒中随机摸出一个小球，根据小球上的文字，免费领取一盒对应的礼品．小智摸出一个球后，最有可能领取的礼品是（    ） A．过桥米线 B．普洱茶 C．宣威火腿 D．鲜花饼 【答案】A 【分析】本题主要考查概率的基本意义，通过比较不同礼品对应小球的数量，最有可能领取的礼品对应小球数量最多的那种，因为概率与数量成正比． 【详解】解：∵小球总数为，过桥米线小球数为，鲜花饼为，普洱茶为，宣威火腿为， ∴过桥米线的小球数量最多，概率最大，为． 故选：A． 11．下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 【答案】C 【分析】根据事件的类型及概率的意义找到正确选项即可． 【详解】A选项：不一定，属随机事件，不符合题意； B选项：不一定，摸出白球的概率为 ，不符合题意； C选项：朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等，均为，符合题意； D选项：不一定，属随机事件，不符合题意． 12．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点处往点处的壶内投箭矢，要想获胜的可能性最大，则应站在的位置是点________． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短判断获胜概率大小． 【详解】解：根据垂线段最短可知是四条线段中最短的一条，即点离最近，故站在点投中的概率最大，获胜概率最大． 题型 4 已知概率求数量 解题技巧（公式逆推、列方程求解、验算取值） 1. 设未知数量为未知数，明确总数量、有效数量的表达式； 2. 根据 列一元一次方程； 3. 解方程求出未知量，结果必须为正整数； 4. 反向验算：代入结果重新计算概率，确保与题干一致。 13．在一个不透明的布袋中装有2个红球和8个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是红球的概率是，需要向袋子里添加红球的个数为（     ）个 A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】设需要向袋子里添加个红球，则红球个数为个，球的总数为个，据此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设需要向袋子里添加个红球， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴需要向袋子里添加红球的个数为10个． 14．在一个不透明的口袋里装有若干个只有颜色不同的球，如果口袋里装有6个红球，从中任意摸取一个，且摸出红球的概率是，那么袋中共有球（     ） A．6个 B．12个 C．18个 D．24个 【答案】C 【分析】根据概率公式，已知红球个数和摸出红球的概率，列式即可求出总球数． 【详解】解： 摸出红球的概率 = 红球个数总球数， 已知红球个数为，摸出红球的概率为， 可得总球数为 （个） 即袋中共有18个球． 15．一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中有5个红球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，若要使摸出红球和白球的概率一样，且保持白球个数不变，则需要再放入红球的个数是_____． 【答案】10 【分析】先根据红球个数和摸出红球的概率求出原有总球数，再计算出白球个数，根据摸出两种球概率相等得出红球个数需等于白球个数，结合白球个数不变，即可求出需要放入红球的个数． 【详解】解：设布袋中原有总球数为个， 由题意得 ，解得 ， 原有白球个数为 （个）， 要使摸出红球和白球的概率一样，且布袋中只有红球和白球， 红球个数需要等于白球个数， 白球个数保持不变，仍为个， 需要再放入红球的个数为 （个）． 16．在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 【答案】24 【分析】利用白球的频率和个数求出总数，即可得出黑球的个数． 【详解】解：根据题意可知白球的概率为， （个）， （个）， ∴估计游戏中黑球的个数为24个． 题型 5 几何概率 解题技巧（区域比值、数形结合、统一单位） 1. 核心逻辑：几何概率为有效区域与总区域的比值，与区域形状无关； 2. 常见模型：线段长度、平面面积、扇形、圆形、规则组合图形； 3. 先分别计算有效区域、总区域的长度或面积，再作比值化简； 4. 避坑：统一计算单位，优先化简再求值，避免复杂运算。 17．小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为． 18．内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得点落在投影的概率，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右， ∴点落在投影的概率约为， ∴估计玉龙投影的面积为． 19．如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 【答案】 【分析】利用阴影部分的面积除以正方形的面积，即可得出结果. 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形的面积为，以正方形各边为直径的半圆的半径为，四个半圆的面积和为 ， 阴影部分的面积等于四个半圆的面积和减去正方形的面积： ， ∴这个点取在阴影部分的概率是. 20．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是______． 【答案】 【分析】先求出区域对应的圆心角，用区域所在扇形圆心角度数除以周角度数即可． 【详解】解：区域对应的圆心角为：， ∴指针落在区域的概率是． 题型 6 列举法求概率 解题技巧（简单试验、直接枚举、快速计数） 1. 适用场景：单次试验、结果总数较少（10种以内）的概率题； 2. 按顺序逐一写出所有可能结果，再筛选符合题意的结果； 3. 套公式计算概率，最简分数作答； 4. 优势：步骤简洁，无需画图，适合基础快速解题。 21．某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用列举法计算随机事件概率，先求出所有等可能的结果总数，再找出两人抽到同一个项目的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记三个体验项目“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”分别为，，． 小晨和小明各随机抽取一个，所有等可能的结果为：，，，，，，，，，共种等可能结果． 其中两人恰好抽到同一个项目的结果有、、共种结果． 所求概率． 22．将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再根据概率公式计算得到结果． 【详解】解：∵本次试验为放回摸球，每次摸球都有2种等可能的结果， ∴两次摸球共有种等可能的结果，分别是：(热爱，热爱)，(热爱，奔赴)，(奔赴，热爱)，(奔赴，奔赴)；其中两次摸出词语都为“热爱”的结果只有1种， ∴根据概率公式可得，所求概率为． 23．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 【答案】二 【分析】先列举得到方案一和方案二的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠． 故答案为：二． 24．在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，1，2，2，3，4，5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为奇数的卡片的概率为____________． 【答案】 【分析】根据概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，即可求解． 【详解】解：一共有7张完全相同的卡片，其中数字为奇数的卡片为1，1，3，5，共4张， ∴抽出标有数字为奇数的卡片的概率为． 题型 7 列表法或树状图法求概率 解题技巧（两步列表、多步树状、精准计数） 1. 两步随机试验：优先列表法，行列清晰，不重不漏； 2. 三步及以上试验：必须用树状图，分层列举各级结果； 3. 严格区分有放回、无放回，无放回需剔除重复组合； 4. 数清总结果数与有效结果数，代入公式计算概率。 25．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽取的两个球数字之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有10种情况， ∴抽取的两个球数字之和大于6的概率是：． 26．在盒子里放有分别写有整式2，，，的四张卡片，从中随机抽取两张把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是_________ 【答案】/ 【分析】根据分式定义确定能组成分式的条件，计算所有等可能结果数和符合条件的结果数，代入概率公式计算． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能结果， ∵分母中含有字母的式子是分式，和是常数，和是含字母的整式， ∴只有分母为或时，能组成分式，因此能组成分式的结果共种， ∴能组成分式的概率为． 27．今年猪肉价格受疫情影响，有较大幅度的上升．为了解某地区养殖户受疫情影响的情况，现从该地区建档的养殖户中随机抽取了部分养殖户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：影响非常严重；B级：严重；C级：一般；D级：没有影响），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题： (1)本次抽样调查的养殖户的总户数是____________； (2)把图2条形统计图补充完整； (3)若该地区建档的养殖户有1500户，求影响非常严重与严重的养殖户一共有多少户？ (4)某调研单位想从4户建档养殖户（分别记为，，，，）中随机选取两户，进一步跟踪后续的情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中养殖户和的概率． 【答案】(1)60； (2)补充条形统计图如下： (3)750户； (4) 【分析】（1）利用B级的人数除以其所占百分比，即可得到本次抽样调查的养殖户的总户数； （2）先算出C级的人数，再将条形统计图补充完整即可； （3）用乘以样本中影响非常严重与严重的养殖户所占比，再计算求解即可； （4）用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而即可求出概率． 【详解】（1）解：（户）， （2）解：（户），补充条形统计图见答案； （3）解：（户）， 答：影响非常严重与严重的养殖户一共有户； （4）解：根据题意列表如下： a b c d a a，b a，c a，d b b，a b，c b，d c c，a c，b c，d d d，a d，b d，c 由表格可知，共有12种不同的情况，其中恰好选中养殖户和的情况有2种， 恰好选中养殖户和的概率为． 28．为了激发学生对理化学科的研究兴趣，某校在初三年级开展了理化实验操作测试，要求每名学生每科只操作一项，题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目，以两次抽签的结果作为理化实验测试的题目，物理、化学实验操作内容如表所示． 理化实验操作内容 物理 化学 实验一：用托盘天平测固体和液体的质量 实验一：氧气的制取 实验二：探究并联电路中电流的规律 实验二：溶液酸碱性的检验 实验三：探究杠杆的平衡条件 实验三：粗盐提纯 (1)求小李同学抽到化学实验一的概率． (2)请你用列表或画树状图法求出理化实验题目的所有可能的结果，并求出小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率． 【答案】(1)小李同学抽到化学实验一的概率为． (2)列表如下： 物理实验化学实验 物理实验一 物理实验二 物理实验三 化学实验一 （物理实验一，化学实验一） （物理实验二，化学实验一） （物理实验三，化学实验一） 化学实验二 （物理实验一，化学实验二） （物理实验二，化学实验二） （物理实验三，化学实验二） 化学实验三 （物理实验一，化学实验三） （物理实验二，化学实验三） （物理实验三，化学实验三） 共有9种等可能的结果，其中小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的结果有1种， 小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率为． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有9种等可能的结果，其中小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：化学共有三个实验可选，每个实验被选到的可能性都相同， 小李同学抽到化学实验一的概率为； （2）略． 题型 8 游戏的公平性 解题技巧（双率对比、判等求值、优化规则） 1. 分别计算游戏中所有参与者的获胜概率； 2. 概率相等→游戏公平，概率不等→游戏不公平； 3. 不公平题型：可通过增减道具、修改得分规则调整为公平游戏； 4. 答题步骤：算概率→比大小→下结论→可补充修改方案。 29．小军和姐姐用抛掷骰子的方法决定谁打扫房间，姐姐规定，掷到素数姐姐打扫，否则小军打扫．你觉得姐姐的规定对小军__________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】根据概率公式计算双方获胜的概率，比较概率是否相等即可得出结论． 【详解】解：抛掷骰子，共有这种等可能的结果， 其中素数为，共种结果， 因此姐姐打扫的概率为， 不是素数的结果为，共种结果， 因此小军打扫的概率为， 双方概率相等，因此规定对小军公平． 30．小海、小华和张老师一起进行掷骰子游戏．骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字．骰子由张老师掷出，如果朝上的数字是6的因数，小海胜；否则就是小华胜．你认为这个规则公平吗？_____________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查游戏公平性的判断． 判断游戏公平性需要计算双方获胜的概率． 概率相等则规则公平，否则不公平． 分别求出双方获胜的概率，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵骰子六面的数字为1，2，3，4，5，6． 其中6的因数为1，2，3，6，共4个． ∴小海获胜的概率为，小华获胜的概率为， ∵双方获胜的概率不相等，所以这个规则不公平． 31．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代具有代表性的数学典籍．某数学兴趣小组开展以“古代数学典籍”为主题的读书分享会，上台的每位成员均要从这四部典籍中随机选择一部典籍进行分享．（每位成员选择每部典籍的可能性相同，且相互之间不受影响） (1)“上台的成员甲选择典籍《海岛算经》进行分享”是 事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)已知成员乙和成员丙只有一人能上台分享，两人通过掷骰子游戏来确定谁上台．规则如下：小组组长随机掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是奇数，则成员乙上台；向上一面的点数是偶数，则成员丙上台．这个游戏是否公平？请通过计算说明理由．（骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体） 【答案】(1)随机 (2)公平，理由如下： ∵骰子的六个面上刻有1，3，5个小圆点的面有三个， ∴成员乙上台的概率为， ∵骰子的六个面上刻有2，4，6个小圆点的面有三个， ∴成员丙上台的概率为， ∵， 这个游戏公平． 【分析】（1）首先明确必然、随机、不可能事件的定义，因为甲从四部典籍中选择，选择《海岛算经》的结果具有不确定性，所以对应事件类型可根据定义判断． （2）首先确定掷骰子所有等可能的基本事件总数，再分别计算点数为奇数、点数为偶数的事件数，因为概率公式为（为总基本事件数，为事件包含的基本事件数），所以可分别求出乙、丙上台的概率，比较两者概率即可判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：∵甲从四部典籍中选择，选择《海岛算经》的结果具有不确定性， ∴对应事件类型随机． （2）略 【点睛】 32．在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是 ； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 【答案】(1) (2)游戏对双方公平，理由如下： 共有种等可能的结果，其中摸到蓝球的有种，摸到红球的有种， ∴（小明获胜）；（小亮获胜）； 又∵， ∴游戏对双方公平． 【分析】（1）大量重复试验下摸到蓝球的频率可以估计摸到蓝球的概率，据此求解； （2）确定摸到蓝球的有种，摸到红球的有种，然后根据概率公式计算并比较后即可作出判断． 【详解】（1）解：观察折线统计图发现随着摸球次数的增多摸出蓝球的频率逐渐稳定在附近， 估计袋子中蓝球的个数是：（个）； （2）略 题型 9 概率在转盘抽奖中的应用 解题技巧（扇形分区、面积占比、对应概率） 1. 转盘属于几何概率模型，概率对应扇形圆心角或面积占比； 2. 公式：； 3. 均分转盘：直接数分区数量占比；不均分转盘：按角度占比计算； 4. 可逆向根据中奖概率设计转盘分区。 33．如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 【答案】② 【分析】获胜概率大即为方案发生的概率大，因此需要分别计算三种方案发生的概率，这10个数字中有5个奇数，3的倍数为3，6，9，不小于5的数为5，6，7，8，9，10，据此计算概率即可． 【详解】解：分别计算三种方案发生的概率： ①奇数的概率为； ②3，6，9是3的倍数，故不是3的倍数的概率为， ③大于等于5的数共有6个，故不小于5的概率为， ， 获胜概率最大的方案为方案②． 34．如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 【答案】 【分析】转盘被平均分成9等份，共有9种等可能结果，小于7的数字有6个，利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字， ∴共有9种等可能的结果， ∵小于7的数字有1，2，3，4，5，6，共6个， ∴小明转出的数字小于7的概率为． 35．暑假期间，某书城为了招揽顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成份），并规定：读者每购买元图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得元、元、元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． (1)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ； (2)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ； (3)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：转盘均分12份，红色占1份，故任意转动一次转盘获得元的概率为； （2）解：转盘均分12份，黄色占2份，故任意转动一次转盘获得元的概率为； （3）解：转盘均分12份，绿色占3份，故任意转动一次转盘获得元的概率为. 36．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高． 【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式； （2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可； （3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。 【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为． （2）设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个． （3）摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益： ， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益： ， ∵ ， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高． 题型10 概率的应用 解题技巧（模型归类、公式适配、实际求解） 1. 生活通用场景：抽奖、比赛、抽样、决策判断等，先归类概率模型； 2. 有限等可能用古典概率公式，区域类用几何概率公式； 3. 大量重复试验：可用概率估算事件发生总次数； 4. 综合解题：结合列举、列表、树状图，分步拆解复杂实际问题。 37．如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字即为转出的数字（若指针落在分割线上，则重新转动转盘，直到指针指向标有数字的区域为止）． (1)转出的数字为8是__________（填“不确定事件”“必然事件”或“不可能事件”）． (2)转动转盘，转出的数字不大于2的概率是多少？ 【答案】(1)“不可能事件” (2) 【分析】本题考查事件的分类：必然事件、不可能事件和随机事件，求解一步概率问题，熟记必然事件、不可能事件和随机事件的定义，简单概率公式是解决问题的关键． （1）由各个事件的定义，在一定条件下，一定发生的事件叫必然事件；在一定条件下，一定不发生的事件叫不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，根据三种事件的定义判断即可得到答案． （2）读懂题意，分别求出转动转盘所有等可能的结果及满足条件的结果数，再由简单概率公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：转盘被平均分成六等份，分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字，则转出的数字为8是“不可能事件”， 故答案为：“不可能事件”； （2）解：转动转盘会有6种等可能的结果，其中转出的数字不大于2的结果有1，2两种结果， 转动转盘，转出的数字不大于2的概率是． 38．一个不透明的盒子中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． (1)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则 ． (2)在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸出一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【答案】(1)4 (2)解：公平，理由： （小颖获胜），（小英获胜） ， 公平． 【分析】本题考查了根据概率公式求解，游戏的公平性的判断，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）利用概率公式直接计算即可； （2）根据概率判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解， 所以； 故答案为：4； （2）略 39．某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加A：足球，B：象棋，C：羽毛球，D：舞蹈这四项社团活动的学生（每人必选且只能选修一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有_______人．并将条形统计图补充完整； (2)若该校共有1000学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； (3)在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛、用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】(1)200，图见解析 (2)这名学生中有人参加了羽毛球社团； (3) 【分析】本题考查的是概率，统计图的应用，熟练掌握统计图和树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）根据扇形统计图得出足球所占的比，再用即可确定总人数，用调查总人数减去各个社团人数即可，然后补全统计图即可； （2）用1000乘以羽毛球人数所占的百分比即可求解； （3）根据题意利用列表法或树状图法求概率即可． 【详解】（1）解：类有人，所占扇形的圆心角为， 这次被调查的学生共有：（人）； 故答案为； ∴项目对应人数为：（人）； 补充如图． （2）（人） 答：这名学生中有人参加了羽毛球社团； （3）画树状图得： 共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种， （选中甲、乙）． 40．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为_______度，并将条形统计图补充完整． (2)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【答案】(1)72，图见详解 (2) 【分析】（1）由360度乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心角度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可； （2）画出树状图，由概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：72； 全年级总人数为（人）， “良好”的人数为（人）， 将条形统计图补充完整，如图所示： （2）解：画树状图，如图所示： 共有12个等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个， ∴P（选中的两名同学恰好是甲、丁）． 【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估计总体，解题的关键是从统计图表中获取信息． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 等可能条件下的概率 目录 知识点1 事件的分类与概率取值 2 知识点2 等可能试验（古典概型） 2 知识点3 概率常用求解方法 2 知识点4 几何概率 2 知识点5 游戏公平性判定 3 题型 1 列举随机实验的所有可能结果 3 题型 2 根据概率公式计算概率 3 题型 3 根据概率作判断 4 题型 4 已知概率求数量 5 题型 5 几何概率 6 题型 6 列举法求概率 7 题型 7 列表法或树状图法求概率 8 题型 8 游戏的公平性 9 题型 9 概率在转盘抽奖中的应用 11 题型10 概率的应用 13 1. 知识目标：掌握随机事件、等可能试验的概念，熟记古典概率、几何概率公式，熟练掌握列举法、列表法、树状图法三种概率求解方法。 2. 能力目标：能完整列举随机试验所有结果，熟练计算各类基础概率，可逆向由概率求数量，能判断游戏公平性、解决生活类概率应用问题。 3. 素养目标：建立概率模型思维，区分有限等可能与几何概率模型，提升数据分析、逻辑列举与实际应用解题能力。 知识点1 事件的分类与概率取值 1. 不可能事件：一定不会发生的事件，概率 ； 2. 必然事件：一定发生的事件，概率 ； 3. 随机事件：可能发生也可能不发生的事件，概率范围 ； 规律：事件发生可能性越大，概率越接近1；可能性越小，概率越接近0。 知识点2 等可能试验（古典概型） 满足两个核心条件：①所有可能结果个数有限；②每一个结果出现机会均等。 通用概率公式： ：所有等可能的总结果数；：事件A包含的有效结果数。 知识点3 概率常用求解方法 1. 直接列举法：结果数量较少时，逐一写出所有可能结果； 2. 列表法：两步随机试验，清晰罗列所有组合结果，不重不漏； 3. 树状图法：两步及以上试验，适用范围更广，分层列举所有结果。 知识点4 几何概率 试验结果为无限个且等可能，概率为对应几何区域的比值，常用公式： 知识点5 游戏公平性判定 若游戏中各方获胜概率相等，游戏公平；若概率不相等，游戏不公平，可通过修改规则调整公平性。 题型 1 列举随机实验的所有可能结果 解题技巧（有序列举、分类枚举、不重不漏） 1. 遵循有序原则：按从小到大、先后顺序、分类顺序依次列举，杜绝杂乱罗列； 2. 区分有无放回：有放回试验结果可重复，无放回试验结果不可重复； 3. 两步试验优先列表，三步及以上优先树状图，结果较少直接手写列举； 4. 最后统计总结果数，确保无重复、无遗漏。 1．班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 2．我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 3．小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 4．从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 题型 2 根据概率公式计算概率 解题技巧（数清nm、直接套公式、规范作答） 1. 先判定是否为等可能试验，不满足等可能则不可用古典概率公式； 2. 准确数出总结果数n、事件有效结果数m； 3. 代入 计算，结果化为最简分数； 4. 避坑：区分“恰好、至多、至少、全部”等关键词，精准筛选有效结果。 5．在一个不透明的口袋中装有3个白球和4个黄球，这些球除颜色不同外其他完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（     ）． A． B． C． D． 6．小明要钉一个三角形木框，已有两根长度为、的木棒．如图所示的桌上有长度不同的4根木棒，他从中随机取一根，加上原有的两根木棒，能钉成一个三角形木框的概率为（   ） A． B． C． D． 7．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，则三辆车都直行的概率是______． 8．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是红灯的概率为________． 题型 3 根据概率作判断 解题技巧（凭概率大小、判可能性高低） 1. 概率越接近1，事件发生可能性越大；概率越接近0，可能性越小； 2. 概率为1是必然事件，概率为0是不可能事件； 3. 随机事件概率在0~1之间，只能判断可能性大小，不能确定是否一定发生； 4. 答题规范：先算概率，再对比数值，最后给出可能性判断。 9．一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 10．某超市在一个不透明盒子中装了个小球，其中个小球上写着过桥米线，个小球上写着鲜花饼，个小球上写着普洱茶，个小球上写着宣威火腿，每个小球除文字外其它完全相同．凡是在该超市消费满元的客户就可以从盒中随机摸出一个小球，根据小球上的文字，免费领取一盒对应的礼品．小智摸出一个球后，最有可能领取的礼品是（    ） A．过桥米线 B．普洱茶 C．宣威火腿 D．鲜花饼 11．下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 12．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点处往点处的壶内投箭矢，要想获胜的可能性最大，则应站在的位置是点________． 题型 4 已知概率求数量 解题技巧（公式逆推、列方程求解、验算取值） 1. 设未知数量为未知数，明确总数量、有效数量的表达式； 2. 根据 列一元一次方程； 3. 解方程求出未知量，结果必须为正整数； 4. 反向验算：代入结果重新计算概率，确保与题干一致。 13．在一个不透明的布袋中装有2个红球和8个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是红球的概率是，需要向袋子里添加红球的个数为（     ）个 A．6 B．7 C．8 D．10 14．在一个不透明的口袋里装有若干个只有颜色不同的球，如果口袋里装有6个红球，从中任意摸取一个，且摸出红球的概率是，那么袋中共有球（     ） A．6个 B．12个 C．18个 D．24个 15．一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中有5个红球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，若要使摸出红球和白球的概率一样，且保持白球个数不变，则需要再放入红球的个数是_____． 16．在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 题型 5 几何概率 解题技巧（区域比值、数形结合、统一单位） 1. 核心逻辑：几何概率为有效区域与总区域的比值，与区域形状无关； 2. 常见模型：线段长度、平面面积、扇形、圆形、规则组合图形； 3. 先分别计算有效区域、总区域的长度或面积，再作比值化简； 4. 避坑：统一计算单位，优先化简再求值，避免复杂运算。 17．小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 18．内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 19．如图，四边形为正方形，以各边为直径在正方形内画半圆，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 20．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域B的概率是______． 题型 6 列举法求概率 解题技巧（简单试验、直接枚举、快速计数） 1. 适用场景：单次试验、结果总数较少（10种以内）的概率题； 2. 按顺序逐一写出所有可能结果，再筛选符合题意的结果； 3. 套公式计算概率，最简分数作答； 4. 优势：步骤简洁，无需画图，适合基础快速解题。 21．某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 22．将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 23．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 24．在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，1，2，2，3，4，5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为奇数的卡片的概率为____________． 题型 7 列表法或树状图法求概率 解题技巧（两步列表、多步树状、精准计数） 1. 两步随机试验：优先列表法，行列清晰，不重不漏； 2. 三步及以上试验：必须用树状图，分层列举各级结果； 3. 严格区分有放回、无放回，无放回需剔除重复组合； 4. 数清总结果数与有效结果数，代入公式计算概率。 25．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（     ） A． B． C． D． 26．在盒子里放有分别写有整式2，，，的四张卡片，从中随机抽取两张把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是_________ 27．今年猪肉价格受疫情影响，有较大幅度的上升．为了解某地区养殖户受疫情影响的情况，现从该地区建档的养殖户中随机抽取了部分养殖户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：影响非常严重；B级：严重；C级：一般；D级：没有影响），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题： (1)本次抽样调查的养殖户的总户数是____________； (2)把图2条形统计图补充完整； (3)若该地区建档的养殖户有1500户，求影响非常严重与严重的养殖户一共有多少户？ (4)某调研单位想从4户建档养殖户（分别记为，，，，）中随机选取两户，进一步跟踪后续的情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中养殖户和的概率． 28．为了激发学生对理化学科的研究兴趣，某校在初三年级开展了理化实验操作测试，要求每名学生每科只操作一项，题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目，以两次抽签的结果作为理化实验测试的题目，物理、化学实验操作内容如表所示． 理化实验操作内容 物理 化学 实验一：用托盘天平测固体和液体的质量 实验一：氧气的制取 实验二：探究并联电路中电流的规律 实验二：溶液酸碱性的检验 实验三：探究杠杆的平衡条件 实验三：粗盐提纯 (1)求小李同学抽到化学实验一的概率． (2)请你用列表或画树状图法求出理化实验题目的所有可能的结果，并求出小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率． 题型 8 游戏的公平性 解题技巧（双率对比、判等求值、优化规则） 1. 分别计算游戏中所有参与者的获胜概率； 2. 概率相等→游戏公平，概率不等→游戏不公平； 3. 不公平题型：可通过增减道具、修改得分规则调整为公平游戏； 4. 答题步骤：算概率→比大小→下结论→可补充修改方案。 29．小军和姐姐用抛掷骰子的方法决定谁打扫房间，姐姐规定，掷到素数姐姐打扫，否则小军打扫．你觉得姐姐的规定对小军__________．（填“公平”或“不公平”） 30．小海、小华和张老师一起进行掷骰子游戏．骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字．骰子由张老师掷出，如果朝上的数字是6的因数，小海胜；否则就是小华胜．你认为这个规则公平吗？_____________．（填“公平”或“不公平”） 31．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代具有代表性的数学典籍．某数学兴趣小组开展以“古代数学典籍”为主题的读书分享会，上台的每位成员均要从这四部典籍中随机选择一部典籍进行分享．（每位成员选择每部典籍的可能性相同，且相互之间不受影响） (1)“上台的成员甲选择典籍《海岛算经》进行分享”是 事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)已知成员乙和成员丙只有一人能上台分享，两人通过掷骰子游戏来确定谁上台．规则如下：小组组长随机掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是奇数，则成员乙上台；向上一面的点数是偶数，则成员丙上台．这个游戏是否公平？请通过计算说明理由．（骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体） 32．在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是 ； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 题型 9 概率在转盘抽奖中的应用 解题技巧（扇形分区、面积占比、对应概率） 1. 转盘属于几何概率模型，概率对应扇形圆心角或面积占比； 2. 公式：； 3. 均分转盘：直接数分区数量占比；不均分转盘：按角度占比计算； 4. 可逆向根据中奖概率设计转盘分区。 33．如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 34．如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 35．暑假期间，某书城为了招揽顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成份），并规定：读者每购买元图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得元、元、元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． (1)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ； (2)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ； (3)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ． 36．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 题型10 概率的应用 解题技巧（模型归类、公式适配、实际求解） 1. 生活通用场景：抽奖、比赛、抽样、决策判断等，先归类概率模型； 2. 有限等可能用古典概率公式，区域类用几何概率公式； 3. 大量重复试验：可用概率估算事件发生总次数； 4. 综合解题：结合列举、列表、树状图，分步拆解复杂实际问题。 37．如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字即为转出的数字（若指针落在分割线上，则重新转动转盘，直到指针指向标有数字的区域为止）． (1)转出的数字为8是__________（填“不确定事件”“必然事件”或“不可能事件”）． (2)转动转盘，转出的数字不大于2的概率是多少？ 38．一个不透明的盒子中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． (1)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则 ． (2)在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸出一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 39．某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加A：足球，B：象棋，C：羽毛球，D：舞蹈这四项社团活动的学生（每人必选且只能选修一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有_______人．并将条形统计图补充完整； (2)若该校共有1000学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； (3)在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛、用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 40．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为_______度，并将条形统计图补充完整． (2)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $