高中数学单元测试——第三章函数（适中版01）

**基本信息** 本卷为高中数学第三章函数单元复习卷，以基础巩固与能力提升为导向，通过分层题型与现实情境设计，全面覆盖函数定义、性质及应用，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|定义域、同一函数、奇偶性等|聚焦概念辨析，夯实数学抽象基础| |多选题|3/18|函数图象、新定义函数性质|考查逻辑推理，培养批判性思维| |填空题|3/15|值域、二分法、函数性质|强化运算能力，落实数学思维| |解答题|5/77|零点证明、利润模型、单调性证明等|融合现实情境（如工厂利润问题），发展模型意识与创新应用能力|

高中数学单元测试 —— 第三章 函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 【答案】B 【分析】代入运算得解. 【详解】. 故选：B. 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式，可得函数的定义域. 【详解】由，可得，所以函数的定义域为. 故选：D. 3．（本题5分）下列函数中，与函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】函数定义域为，值域为， 对于A，函数的定义域为，且，与的对应法则相同，A是； 对于B，函数的定义域为，值域为，与的值域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，与的定义域不同，C不是； 对于D，函数的定义域为，与的定义域不同，D不是. 故选：A 4．（本题5分）函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质即可求解. 【详解】根据题意，函数在上是减函数，则有，解得， 故选：B． 5．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据奇函数性质可得，再结合奇函数的定义运算求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 则，解得， 可得当时，， 所以. 故选：B. 6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数的最值计算求参. 【详解】因为函数的最小值为0，且当时，， 所以当时，的最小值为0． 在上单调递增，所以． 故选：A. 7．（本题5分）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可. 【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 8．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的单调性，然后解不等式、，分、两种情况解不等式即可. 【详解】当时，，则函数在上为增函数，且， 由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且， 当时，由，可得；由，可得； 当时，由，可得；由，可得. 接下来解不等式， 当时，即当时，则可得或，可得； 当时，即当时，则可得或，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）下列四个图形中，是函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】由函数的定义可知，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值， 对于A：同一值可有两个值，所以该图象不是函数图象； 对于B：同一值有唯一一个值，所以该图象是函数图象； 对于C：同一值可有两个值，所以该图象不是函数图象； 对于D：同一值有唯一一个值，所以该图象是函数图象； 故选：BD． 10．（本题6分）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（　　） A．函数是偶函数 B．方程有三个解 C．函数有3个单调区间 D．函数有最大值为2，无最小值 【答案】ABD 【分析】由题意写出解析式，后画出图像，据此可得答案. 【详解】当，即或时，， 当，即时，， 则，画出图象如下： 对于A选项，因，且，则函数是偶函数，故A正确； 对于B选项，由图可得有三个解，故B正确； 对于C选项，由图可得有4个单调区间，故C错误； 对于D选项，由图可得有最大值为2，无最小值，故D正确. 故选：ABD. 11．（本题6分）若函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．当时， C．当时，的单调递增区间为和 D．当时，的单调递增区间为和 【答案】ABD 【分析】对于A，由奇函数的性质即可得解；对于B，运用函数的奇偶性即可得解；对于C，运用对勾函数的单调性即可得解；对于D，由与在上单调递增，再结合的奇偶性，即可判断. 【详解】对于A：因为函数为奇函数，且定义域为，所以，所以，所以，故A正确； 对于B：当时，，，故B正确； 对于C：当时，由对勾函数图象的性质得，的单调递增区间为和，故C错误； 对于D：当时，对于，易知与在上单调递增， 故在上单调递增， 进一步由奇函数的图象关于原点对称，在区间上也单调递增，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）函数的值域为___________． 【答案】 【分析】分别求出分段函数和时的函数值的取值范围，取并集可得答案. 【详解】由于函数，当时，,当时，， 所以函数的值域为 故答案为： 13．（本题5分）用“二分法”求方程在区间内的实根，第一次应取点___________进行判断. 【答案】1 【分析】由二分法的概念即可求解. 【详解】由二分法的操作步骤可知：第一次应取区间的中点， 即， 故答案为：1 14．（本题5分）已知函数满足，若，则______. 【答案】76 【分析】先由题意得到，从而利用函数的对称性与的值即可得解. 【详解】由题可知，， 令，则， 所以. 故答案为：76. 四、解答题 15．（本题13分）设函数. (1)证明：在区间（-1,0）内有一个零点； (2)借助计算器，求出在区间（-1,0）内零点的近似解.（精确到0.1） 【答案】(1)令， 则， 令， 在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：    因为，即， 所以在区间（-1,0）内有零点， 再由图象知在区间（-1,0）内有一个零点. (2) 【分析】（1）令，转化为函数的交点问题，利用数形结合法证明； （2）利用函数零点存在定理，根据（1）的建立求解. 【详解】（1）略 （2）由； 由； 由； 由， 所以. 16．（本题15分）某工厂生产一批产品，在生产过程中会产生一些次品，其合格率与日产量（万件）之间满足如下函数关系：已知每生产1万件合格的产品该厂可以盈利15万元，但每生产1万件次品将亏损5万元．故厂方希望定出合适的日产量使得每天的利润最大（注：合格率）． (1)将生产这批产品每天的利润（万元）表示为日产量（万件）的函数（利润盈利-亏损）； (2)当日产量为多少万件时，该厂每天的利润达到最大？ 【答案】(1) (2)4万件 【分析】（1）分段讨论，利用“利润合格品次品”列式即可. （2）利用换元法并对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，. 综上所述. （2）当时，； 当，令， 则， 此时取等条件为，即． 因为，所以当日产量为4万件时，该厂每天的利润最大． 17．（本题15分）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)是奇函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义法代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，即可证明. 【详解】（1）设，则， 因为，所以，故，而， 故，所以是单调递增函数． （2）是奇函数． 证明如下：由， 所以， 由，令， 则，再令，解得， 所以， 所以 ， 故是奇函数． 18．（本题17分）已知函数． (1)若，求函数在上的最小值. (2)若函数在上既有最大值又有最小值，试探究、分别满足的条件（结果用表示）． (3)设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，最小值为；当时，最小值为. (2)， (3) 【分析】（1）根据二次函数的图象和性质求解即可； （2）按的不同取值，结合二次函数的图象和性质讨论的单调性，进而即可求解； （3）由题意可得在上函数的图象应在的下方，当或时，结合函数图象检验不满足条件，当时，有，由此求得的范围即可. 【详解】（1）由题意可得， 若，则由二次函数的图象和性质可知，在上单调递增，在上单调递减， 因为，，令解得， 所以当时，最小值为；当时，最小值为. （2）由（1）得当时，在上单调递增，在上既无最大值也无最小值. 当时， 在、上单调递减，在上单调递增， ，， 令，解得， 令，解得， 故在上既有最大值又有最小值，、需满足：，. （3）由（1）得， 不等式的解集为，若， 则在上函数的图象应在的下方， 当时，显然不符； 当时，的图象是把的图象向左平移个单位，结合图象可知其图象不可能在的图象下方； 当时，结合图象，要使在上，函数的图象应在的下方，只要即可， 即，化简得， 解得，故此时的范围为， 综上可得，的取值范围为. 19．（本题17分）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）根据函数的定义求出解析式； （2），数形结合求出最小值； （3）令，求出，根据两段函数在上的最值即可求解. 【详解】（1）根据已知， 可得. （2）由题可知， 由，解得或；由，解得， 故当或时；当时， 作出函数的图象： 由图可得； （3）令，解得， 所以 因为，所以． 因为恒过定点，所以，即， 所以， 所以实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列函数中，与函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C．18 D．20 6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 7．（本题5分）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列四个图形中，是函数图象的是（　　） A． B． C． D． 10．（本题6分）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（　　） A．函数是偶函数 B．方程有三个解 C．函数有3个单调区间 D．函数有最大值为2，无最小值 11．（本题6分）若函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．当时， C．当时，的单调递增区间为和 D．当时，的单调递增区间为和 三、填空题 12．（本题5分）函数的值域为___________． 13．（本题5分）用“二分法”求方程在区间内的实根，第一次应取点___________进行判断. 14．（本题5分）已知函数满足，若，则______. 四、解答题 15．（本题13分）设函数. (1)证明：在区间（-1,0）内有一个零点； (2)借助计算器，求出在区间（-1,0）内零点的近似解.（精确到0.1） 16．（本题15分）某工厂生产一批产品，在生产过程中会产生一些次品，其合格率与日产量（万件）之间满足如下函数关系：已知每生产1万件合格的产品该厂可以盈利15万元，但每生产1万件次品将亏损5万元．故厂方希望定出合适的日产量使得每天的利润最大（注：合格率）． (1)将生产这批产品每天的利润（万元）表示为日产量（万件）的函数（利润盈利-亏损）； (2)当日产量为多少万件时，该厂每天的利润达到最大？ 17．（本题15分）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 18．（本题17分）已知函数． (1)若，求函数在上的最小值. (2)若函数在上既有最大值又有最小值，试探究、分别满足的条件（结果用表示）． (3)设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围． 19．（本题17分）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $