高中数学单元测试——第三章函数（较易版02）

**基本信息** 高中数学第三章函数单元复习卷（较易版02），聚焦函数核心知识，通过基础巩固与情境应用结合，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|定义域、奇偶性、二次函数单调性|基础概念辨析，如判断同一函数（第3题）| |多选题|3题18分|函数图像、分段函数性质|多选项分层考查，如分段函数单调性与根（第10题）| |填空题|3题15分|函数值域、二分法求根|结合数学方法，如二分法确定有根区间（第13题）| |解答题|5题77分|奇偶性证明、阶梯水价应用、拟轴对称图形|现实情境与创新设问，如阶梯水价函数建模（第16题）、拟轴对称图形探究（第19题）|

高中数学单元测试 —— 第三章 函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D．4 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（本题5分）已知二次函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 5．（本题5分）奇函数的定义域是，则（   ） A．1 B．0 C． D． 6．（本题5分）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（本题5分）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列四个图形中，是函数图象的是（　　） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．当时， B．当时，无最小值 C．若是上的减函数，则实数的取值范围为 D．若且方程恰有3个不等实根，则 11．（本题6分）已知函数，则（     ） A．是奇函数 B．当时， C．若，则，使 D．若，则在上单调递增 三、填空题 12．（本题5分）给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有______（写出所有正确的序号） 13．（本题5分）用二分法求方程的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为________． 14．（本题5分）已知函数为奇函数，，若函数与图象的交点为，，，则________． 四、解答题 15．（本题13分）设函数，其中. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若，记，求证：函数在上有零点. 16．（本题15分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 17．（本题15分）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 18．（本题17分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．    (1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间； (2)用定义法证明函数在上单调递减． (3)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围． 19．（本题17分）设函数的定义域为D，若，都有，且，则的图象为关于直线对称的轴对称图形；若且，有，且，则的图象为关于直线对称的拟轴对称图形． (1)若函数的图象是关于直线对称的轴对称图形，求实数m的值； (2)判断函数的图象是否为关于y轴对称的拟轴对称图形，并说明理由； (3)若函数的图象是关于直线对称的拟轴对称图形，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据函数的表达式求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：A 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数非负及分式分母不为零可列不等式组，进而求解即可. 【详解】由，解得且，所以函数的定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 4．（本题5分）已知二次函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据对称轴与端点值的比较得到不等式，求出取值范围. 【详解】的对称轴为， 要想函数在区间上单调，则或， 解得或. 故选：A 5．（本题5分）奇函数的定义域是，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质求解即可. 【详解】因为奇函数的定义域是， 可得，解得. 故选：C. 6．（本题5分）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据分式型函数的单调性进行求解即可. 【详解】，该函数在上单调递增， 所以， 故选：B 7．（本题5分）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可. 【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 8．（本题5分）设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列四个图形中，是函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】由函数的定义可知，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值， 对于A：同一值可有两个值，所以该图象不是函数图象； 对于B：同一值有唯一一个值，所以该图象是函数图象； 对于C：同一值可有两个值，所以该图象不是函数图象； 对于D：同一值有唯一一个值，所以该图象是函数图象； 故选：BD． 10．（本题6分）已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．当时， B．当时，无最小值 C．若是上的减函数，则实数的取值范围为 D．若且方程恰有3个不等实根，则 【答案】ACD 【分析】代入得到函数解析式，先求再求即可判断A选项；当时根据函数的单调性求出函数的端点的值，并验证这个点是否是最小值判断B选项；根据分段函数单调性的定义列出不等式组，然后解得的范围，判断C选项；当得出函数解析式，然后作出函数大致图象，即可知道方程恰有3个不等实根时的取值范围，判断D选项. 【详解】当时，，， 则，A选项正确； 当时，，由二次函数可知，函数在上单调递减， ∴当时，当时，，即函数存在最小值0，B选项错误； 要想函数是上的减函数，则，即， ∴，C选项正确； 当时，，函数大致图像如下 若方程恰有3个不等实根，则，D选项正确. 故选：ACD. 11．（本题6分）已知函数，则（     ） A．是奇函数 B．当时， C．若，则，使 D．若，则在上单调递增 【答案】ABD 【分析】利用奇偶函数的定义即可判断A；求出即可判断B；利用对勾函数的性质推出的单调性，结合反证法和函数的单调性解不等式即可判断C；利用奇偶性判断函数的单调性即可判断D. 【详解】函数的定义域为 ，且，所以为奇函数，故A正确； 当时，，故B正确； 当时，，又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 若，则，由，得，即，这与矛盾，所以不存在，使，故C错误； 因为函数为上的奇函数，且在上单调递增， 所以，且在上单调递增. 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有______（写出所有正确的序号） 【答案】②④ 【分析】直接求各函数的值域即可判定. 【详解】由一次函数的性质可知①的值域为R； 由二次函数的性质可知，即其值域为； 由反比例函数的性质可知③的值域为； 由分段函数的性质及绝对值的意义可知，即其值域为； 综上可知：②④正确. 故答案为：②④ 13．（本题5分）用二分法求方程的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为________． 【答案】 【分析】利用二分法求解. 【详解】因为，，， 所以下一个有根区间为， 故答案为：． 14．（本题5分）已知函数为奇函数，，若函数与图象的交点为，，，则________． 【答案】 【分析】根据函数的对称性直接计算. 【详解】由已知函数为奇函数， 则函数关于点中心对称， 又当时，，， 所以此时， 即函数关于点中心对称， 所以两函数的交点也关于点中心对称， 即，， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）设函数，其中. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若，记，求证：函数在上有零点. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）根据求出，在验证时，为偶函数即可； （2）利用结合零点存在性定理即可证明. 【详解】（1）若函数是偶函数，则，即， 所以或，所以， 此时，，满足为偶函数， 所以. （2）因为, 所以，， 因为，所以，， 所以，， 所以当时，恒成立， 故函数在上有零点. 16．（本题15分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 【答案】(1) (2)立方米 【分析】（1）利用分段函数思想求解出关于的函数解析式； （2）根据解析式判断出水费为元时用水量的范围，然后根据对应段函数解析式可求结果. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，关于的函数解析式为. （2）由（1）可知，当时，， 当时，， 当时，， 因此当月缴纳的水费为元时，用水量， 所以，解得（立方米）， 答：此户居民本月用水量为立方米. 17．（本题15分）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1) 因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. (2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）略 （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 18．（本题17分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．    (1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间； (2)用定义法证明函数在上单调递减． (3)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围． 【答案】(1)   增区间为 (2)证明:任取且， 则， 因为且，可得且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上为单调递减函数. (3) 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，即可求解； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据函数的单调区间，结合函数在区间上具有单调性，分离讨论，即可求解. 【详解】（1）由函数是定义在上的偶函数，且当时，， 当时，函数的图象，如图所示， 结合函数的图象， 可得函数的单调递增区间为.    （2）略； （3）由（1）中，函数的图象， 可得函数的单调递减区间为，递增区间为， 要使得函数在区间上具有单调性， 若函数在区间上单调递减，则满足或， 解得或； 若函数在区间上单调递增，则满足或， 解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 19．（本题17分）设函数的定义域为D，若，都有，且，则的图象为关于直线对称的轴对称图形；若且，有，且，则的图象为关于直线对称的拟轴对称图形． (1)若函数的图象是关于直线对称的轴对称图形，求实数m的值； (2)判断函数的图象是否为关于y轴对称的拟轴对称图形，并说明理由； (3)若函数的图象是关于直线对称的拟轴对称图形，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)函数的图象不是关于y轴对称的拟轴对称图形，理由见解析. (3) 【分析】（1）由题意得对任意都成立，将条件代入解析式，整理计算，即可得答案. （2）由题意，需存在，使得，根据解析式，代入求解，可得，分析即可得答案. （3）设，由题意，需存在，使成立，分别讨论、和三种情况，分别求出解析式，令，根据对勾函数的性质，求得m范围，分析即可得答案. 【详解】（1）的定义域为R，由题意得对任意都成立， 所以， 展开整理得：， 即，所以，解得. （2）函数的图象不是关于y轴对称的拟轴对称图形，理由如下： 关于y轴对称，即，需存在，使得， 由，则， 所以，解得，与矛盾， 所以函数的图象不是关于y轴对称的拟轴对称图形. （3）设，由题意，需存在，使成立， 当时，，， 令，得，在上有解，且， 所以 ，令，，则， 所以， 令，根据对勾函数的性质可得在单调递增， 所以，所以即可； 当时，，， 令，得，解得，不符合题意； 当时，，， 令，得，在上有解，且， 所以，因为在单调递增， 所以，所以即可； 综上，实数m的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $