高中数学单元测试——第三章函数（较难版01）

**基本信息** 高中数学第三章函数较难版单元卷，覆盖定义域、单调性、奇偶性等核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配单元复习，提升数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|定义域、函数相等、单调性|基础概念辨析，如第3题函数相等判断| |多选题|3/18|函数图象、新定义函数性质|第10题新定义函数奇偶性与零点分析，体现数学思维| |填空题|3/15|二分法、对称性|第13题二分法应用，强化数学眼光| |解答题|5/77|奇偶性证明、阶梯水价模型、“优美区间”探究|第16题阶梯水价函数建模（数学语言），第19题“优美区间”存在性探究（创新意识）|

高中数学单元测试 —— 第三章 函数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（本题5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知 为奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-1 6．（本题5分）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 8．（本题5分）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（　　） A．函数是偶函数 B．方程有三个解 C．函数有3个单调区间 D．函数有最大值为2，无最小值 11．（本题6分）设函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，当时，.若，则（    ） A．直线是函数图象的对称轴 B．点是函数图象的对称中心 C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知正实数满足，，则的取值范围是__________. 13．（本题5分）在用二分法求方程的近似解的过程中，已确定方程的一根，则再经过两次计算后，所在的开区间为__________． 14．（本题5分）已知，若函数的图象关于直线对称，则________. 四、解答题 15．（本题13分）设函数，其中. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若，记，求证：函数在上有零点. 16．（本题15分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 17．（本题15分）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 18．（本题17分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．    (1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间； (2)用定义法证明函数在上单调递减． (3)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围． 19．（本题17分）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 函数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】令求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为，令，解得， 所以. 故选：B 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域. 【详解】由题可知且，所以函数的定义域为． 故选：D． 3．（本题5分）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 4．（本题5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数及反比例函数的性质求解即可. 【详解】∵函数在上单调递减, 当时，单调递减， ，解得； 当时，单调递减， ； 又函数在上单调递减， ， 解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B． 5．（本题5分）已知 为奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】A 【分析】由奇函数定义计算即可得的值. 【详解】由奇函数定义可得， 即， 整理得. 由对任意恒成立，故. 故选：A 6．（本题5分）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用换元法，令，再结合对勾函数的性质，即可得解. 【详解】令，则，， 令，由对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值， 又因为， 因此在上的值域为， 故的值域为， 即函数在区间上的值域为， 故选：C. 7．（本题5分）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 8．（本题5分）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件，分别讨论，两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果. 【详解】若，则等价于，因是偶函数，故， 又在上单调递减，则由可得； 若，则等价于，由题意，在上单调递增，则由可得； 综上，的解集为. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数定义，结合函数图象的性质逐一判断即可. 【详解】由函数的定义可知，只有选项C中，当时，有二个函数值与对应，不符合函数定义， 故选：ABD 10．（本题6分）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（　　） A．函数是偶函数 B．方程有三个解 C．函数有3个单调区间 D．函数有最大值为2，无最小值 【答案】ABD 【分析】由题意写出解析式，后画出图像，据此可得答案. 【详解】当，即或时，， 当，即时，， 则，画出图象如下： 对于A选项，因，且，则函数是偶函数，故A正确； 对于B选项，由图可得有三个解，故B正确； 对于C选项，由图可得有4个单调区间，故C错误； 对于D选项，由图可得有最大值为2，无最小值，故D正确. 故选：ABD. 11．（本题6分）设函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，当时，.若，则（    ） A．直线是函数图象的对称轴 B．点是函数图象的对称中心 C． D． 【答案】ABC 【分析】依题意由偶函数性质可得关于对称，再由奇函数性质可得关于点中心对称，即AB均正确，再由函数解析式以及所给函数值计算可得C正确，利用对称性计算可得D错误. 【详解】对于A，因为为偶函数，则，即， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，为奇函数，则，即， 从而的图象关于点中心对称，且，故B正确； 对于C，，即， 又，得，故C正确； 对于D，当时，， 又的图象关于直线对称，关于点中心对称， 所以，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 12．（本题5分）已知正实数满足，，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】正实数满足，所以， 于是， 令， 该函数为二次函数，平方项系数为，图象是开口向上的二次函数，对称轴方程为， 由二次函数的性质得，， 所以的取值范围是， 故答案为： 13．（本题5分）在用二分法求方程的近似解的过程中，已确定方程的一根，则再经过两次计算后，所在的开区间为__________． 【答案】． 【分析】利用二分法求方程的近似解，只需计算和，判断出正负号即可. 【详解】令，可知， 且， 故函数零点位于， 又， 所在的开区间为． 故答案为：． 14．（本题5分）已知，若函数的图象关于直线对称，则________. 【答案】23 【分析】根据题意知是的零点，由的图象关于直线对称，知，，由此到和是方程的两个根，求得即可求解. 【详解】由，可得，或，或， 因为的图象关于直线对称， 所以，， 所以和是方程的两个根， 所以，得， 此时 , ， 即，符合题意， 所以. 故答案为：23. 四、解答题 15．（本题13分）设函数，其中. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若，记，求证：函数在上有零点. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）根据求出，在验证时，为偶函数即可； （2）利用结合零点存在性定理即可证明. 【详解】（1）若函数是偶函数，则，即， 所以或，所以， 此时，，满足为偶函数， 所以. （2）因为, 所以，， 因为，所以，， 所以，， 所以当时，恒成立， 故函数在上有零点. 16．（本题15分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 【答案】(1) (2)立方米 【分析】（1）利用分段函数思想求解出关于的函数解析式； （2）根据解析式判断出水费为元时用水量的范围，然后根据对应段函数解析式可求结果. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，关于的函数解析式为. （2）由（1）可知，当时，， 当时，， 当时，， 因此当月缴纳的水费为元时，用水量， 所以，解得（立方米）， 答：此户居民本月用水量为立方米. 17．（本题15分）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1) 因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. (2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）略 （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 18．（本题17分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．    (1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间； (2)用定义法证明函数在上单调递减． (3)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围． 【答案】(1)   增区间为 (2)证明:任取且， 则， 因为且，可得且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上为单调递减函数. (3) 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，即可求解； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据函数的单调区间，结合函数在区间上具有单调性，分离讨论，即可求解. 【详解】（1）由函数是定义在上的偶函数，且当时，， 当时，函数的图象，如图所示， 结合函数的图象， 可得函数的单调递增区间为.    （2）略； （3）由（1）中，函数的图象， 可得函数的单调递减区间为，递增区间为， 要使得函数在区间上具有单调性， 若函数在区间上单调递减，则满足或， 解得或； 若函数在区间上单调递增，则满足或， 解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 19．（本题17分）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （2）分析的单调性，假设存在“优美区间”，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （3）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，可得为二次方程的两个不相等实根，根据韦达定理，可得表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）设函数在上单调递增，假设是它的“优美区间”， 则，解得， 所以函数的一个“优美区间”为. （2）函数不存在“优美区间”，理由如下: 的定义域为，且在上单调递减， 假设存在“优美区间”，则， 所以，因为，所以无解，故不存在“优美区间”. （3），定义域为， 且在上单调递增， 假设存在“优美区间”，则， 整理得， 所以为二次方程的两个不相等实根， 所以判别式，解得或， 由韦达定理得， 则， 令，则， 所以当时，即时，有最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $