1.1.2 探索勾股定理 同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级上册《探索勾股定理》同步练习，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，实现从单一计算到逻辑推理的知识进阶，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直角三角形边长计算|直接应用勾股定理，如已知两边求第三边| |提升层|图形面积关系、实际应用|结合赵爽弦图、半圆面积等情境，如梯子问题、车速检测| |拓展层|新定义证明、综合计算|引入“类勾股三角形”证明，培养创新意识与逻辑推理|

北师大版（2024）八年级上册《1.1.2 探索勾股定理》2026年同步练习卷（2） 一、选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果梯子的底端离建筑物5m，那么长为13m梯子可以达到该建筑物的高度是(    ) A. 12m B. 14m C. 15m D. 13m 2.意大利著名画家达芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞空洞中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，从而证明了勾股定理.若图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列式子正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，且，，则(    ) A. 60 B. 40 C. 50 D. 55 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 4.在中，，，，则        . 5.如图，阴影长方形的面积是        6.如图，一棵树在离地面6m处折断，树的顶部落在离树底部8m处，则这棵树折断之前的高度是        7.如图，在直线l上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别为5和11，则正方形B的面积为        . 8.如图，中，，分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则______. 9.如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，、、、是四个全等的直角三角形．若，，则AB的长为______. 10.如图，在中，，，，以AC为斜边在内部作，，且，则        ，图中阴影部分的面积为        . 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 11.规定：小汽车在城街路上的行驶速度不得超过如图，一辆小汽车在这条城市街道上沿直线匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A的正前方30m的C处；过了2s后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪A之间的距离为 求BC的长 这辆小汽车超速了吗？为什么？ 四、解答题：本题共3小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12.本小题8分 如图，在四边形ABCD中，，，，， ①求BD的长 ②求四边形ABCD的面积 13.本小题8分 如图，在中，，，，，垂足为求AD，BD的长． 14.本小题8分 定义：在中，，，，若a，b，c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”. 如图，在中，，且，求证：为“类勾股三角形”. 志明同学想到可以在AB上找一点D，使得，再作，请你帮助志明同学完成证明过程. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：如图所示，，，根据勾股定理 故选： 根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可． 此题是勾股定理在实际生活中的运用，熟记勾股定理是解答此题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：， ， 故选项B符合题意． 故选： 根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 3.【答案】D  【解析】解：，，， 又， 故选： 根据勾股定理和半圆的面积公式，知 此题综合运用了半圆的面积公式和勾股定理．注意：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆的面积． 4.【答案】7  【解析】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 故答案为： 根据勾股定理计算即可． 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 5.【答案】  【解析】解：如图所示： 依题意得：是直角三角形，且，四边形ABCD是长方形， 在中，，， 由勾股定理得：， 阴影长方形ABCD的面积为： 故答案为： 依题意得是直角三角形，且，四边形ABCD是长方形，在中，由勾股定理得，由此得阴影长方形ABCD的面积为 此题主要考查了长方形的性质，勾股定理，熟练掌握长方形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 6.【答案】16  【解析】解：如图， 由勾股定理得，， 这棵树在折断前的高度， 故答案为： 直接根据勾股定理求解即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 7.【答案】16  【解析】解：如图，四边形DEFG、四边形EHIJ、四边形IKPQ都是正方形， ，， 正方形DEFG的边DG、正方形IKPQ的边PK及正方形EHIJ的顶点H都在直线l上， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 正方形A，C的面积分别为5和11， ，， ， 正方形B的面积为16， 故答案为： 设正方形DEFG的边DG、正方形IKPQ的边PK及正方形EHIJ的顶点H都在直线l上，则，，推导出，可根据“AAS”证明≌，得，因为正方形A，C的面积分别为5和11，所以，，则，所以正方形B的面积为16，于是得到问题的答案． 此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确理解和应用全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识是解题的关键． 8.【答案】3  【解析】解：以AC、AB为边向外作正方形，，， ，， 在中， 故答案是： 根据正方形的面积公式分别求出AC、AB，根据勾股定理计算即可． 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 9.【答案】10  【解析】解：依题意知，， ， 直角中，利用勾股定理得： 故答案是： 在直角中，利用勾股定理进行解答即可． 此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角的两直角边的长度． 10.【答案】8   【解析】解：在中，， ，， ， ， 在中，，，， ， 阴影部分图形的面积的面积的面积 故答案为：8， 先在中利用勾股定理求出AC，然后在中利用勾股定理求出AD；得图中阴影部分图形的面积的面积的面积． 本题考查了勾股定理，三角形的面积解决本题的关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 11.【答案】【小题1】40m 【小题2】这辆小汽车超速行驶   【解析】解：在中，，； 据勾股定理可得： ， ， 小汽车的速度为； ； 这辆小汽车超速行驶． 根据勾股定理即可得到结论； 根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 本题考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一． 12.【答案】【小题1】10 【小题2】144   【解析】解：，，，， 根据勾股定理得；， ，， 根据勾股定理得， 四边形ABCD的面积 利用勾股定理求解即可； 四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和． 本题考查了求三角形面积，题中涉及到勾股定理求边长，属于一道基础解答题． 13.【答案】解：，，， ， ， ， ， ； ，   【解析】先根据勾股定理求出BC的长，再利用三角形面积公式得出，然后即可求出 此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积的灵活运用，解答此题的关键是三角形ABC的面积可以用表示，也可以用表示，从而得出，这是此题的突破点． 14.【答案】如图：以在AB上找一点D使得，再作，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”．  【解析】证明：如图：以在AB上找一点D使得，再作，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 先求出，，，，_，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论． 本题考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识，理解题意、灵活运用勾股定理进而数形结合思想是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $