1.4线段垂直平分线与角平分线（2） 教学设计 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦角平分线性质定理及逆定理，通过角的轴对称性提问和尺规作角平分线导入，复习轴对称与尺规作图旧知，搭建从旧知到新知的学习支架，引导探究定理证明。 特色在于以问题链驱动演绎推理，通过“AAS全等”证明性质定理，活动探究用直尺宽度相等判断角平分线培养几何直观，结合集贸市场位置等实例发展应用意识，帮助学生提升推理能力与空间观念，为教师提供结构化教学流程和多样化练习资源。

1.4 线段垂直平分线与角平分线(2) 【教学目标】 1.通过演绎推理，证明并掌握角平分线的性质定理和逆定理，进一步学会有条理的思考和表达，推理能力 教学目标 2.在探究、归纳、证明的过程中，进一步理解角的轴对称性质，发展几何直观和空间观念 【教学重点】探索并证明角平分线的性质定理和逆定理. 【教学难点】了解角平分线是具有特殊性质的点的集合． 【教学过程】 一、课前导入 1、角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 2、如图，已知∠AOB，请用直尺和圆规作出∠AOB的平分线OM. 二、新课讲解 问题1：在上图中，∠AOB的平分线OM上任取一点P，作PC⊥OA，作PD⊥OB，垂足分别为C，D.PC与PD一定相等吗？如何证明？ 2、在OM上再任取一点Q，作QE⊥OA，作QF⊥OB，垂足分别为E，F.QE与QF一定相等吗？ 3、于是，我们得到角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 符号语言：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，作PD⊥OB于D. ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等) 尝试练习： 1.如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，垂足为D，且PD=3， 则点P到OA的距离是 . 2．（2026春•宁德月考）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点； B．三条中线的交点； C．三条角平分线的交点；D．三边垂直平分线的交点第2题 第1题 3．（2026春•坪山区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若，DE＝2，则AC＝　 　 ． 问题2：如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？如何证明？ 于是，我们得到角平分线的性质定理逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 符号语言：∵QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，QC=QD ∴点Q在∠AOB的平分线上 综上所述，角平分线是到角两边距离相等的点的集合. 三、例题讲解 例1.（书本第38页例2）如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P.求证：点P在∠C的平分线上. 变式：如图，△ABC的外角∠BAD，∠ABE的平分线相交于点P.试判断点P是否在∠C的平分线上.并证明你的结论 四、活动探究 如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF；CD与EF相交于点P，连接OP.OP是∠AOB的角平分线吗？为什么？ 例2.（2026春•郑州校级期中）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． （1）如图1，已知BG，CG是△ABC的角平分线，求证：点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）如图2，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC＝60°，求∠PAC的度数． 尝试练习： 1．（2025秋•海州区校级月考）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝6，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝18，求△ABE的面积． 5、 小结思考 (1)我们探索并证明了“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及它的逆命题“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，这两个定理也揭示了图形特殊的位置关系与特殊的数量关系有着内在的联系、 (2)应用定理“角平分线上点到角两边的距离相等”可以证明线段相等;应用定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”可以证明角相等或证明一个点在一个角的平分线上 (3)根据七年级学习中垂线、角平分线以及本课的学习过程，谈谈你对轴对称变换与全等三角形证明 之间关系的认识 六、当堂练习 1．（2025秋•宁江区校级期末）如图，在7×9的正方形网格中，到∠AOB两边距离相等的点是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q第1题 第3题 第2题 2、(书本第38页练习1)利用网格画图： (1)在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等； (2)在射线AP上找一点Q，使QB=QC. 3．（2026春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AC于点E，DE＝2，则点D到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026•大庆模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点C为圆心，以小于BC的长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F；再分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点O，作射线CO交AB于点G．若BG＝3，AG＝4，H为AC上一动点，则GH最短为 　 　 ． 5．（2025春•滕州市校级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 6．（2025•聊城模拟）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°． （1）∠ACE的度数是　 　 ； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 1.4 线段垂直平分线与角平分线(2) 【教学目标】 1.通过演绎推理，证明并掌握角平分线的性质定理和逆定理，进一步学会有条理的思考和表达，推理能力 教学目标 2.在探究、归纳、证明的过程中，进一步理解角的轴对称性质，发展几何直观和空间观念 【教学重点】探索并证明角平分线的性质定理和逆定理. 【教学难点】了解角平分线是具有特殊性质的点的集合． 【教学过程】 一、课前导入 1、角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 2、如图，已知∠AOB，请用直尺和圆规作出∠AOB的平分线OM. 二、新课讲解 问题1：在上图中，∠AOB的平分线OM上任取一点P，作PC⊥OA，作PD⊥OB，垂足分别为C，D.PC与PD一定相等吗？如何证明？ 在△DOP 和△COP中，由∠PDO=∠PCO=90°,∠DOP＝∠COP，OP=OP， 通过“AAS”，可以证明△DOP≌△COP，所以PC与PD相等. 2、在OM上再任取一点Q，作QE⊥OA，作QF⊥OB，垂足分别为E，F.QE与QF一定相等吗？ 3、于是，我们得到角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 符号语言：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，作PD⊥OB于D. ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等) 尝试练习： 1.如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，垂足为D，且PD=3， 则点P到OA的距离是 3 . 2．（2026春•宁德月考）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　C　） A．三条高线的交点； B．三条中线的交点； C．三条角平分线的交点；D．三边垂直平分线的交点第2题 第1题 3．（2026春•坪山区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若，DE＝2，则AC＝　 　 ． 问题2：如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？如何证明？ 于是，我们得到角平分线的性质定理逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 符号语言：∵QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，QC=QD ∴点Q在∠AOB的平分线上 综上所述，角平分线是到角两边距离相等的点的集合. 三、例题讲解 例1.（书本第38页例2）如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P.求证：点P在∠C的平分线上. 证明：过点P作PF⊥AB, PM⊥BC, PN⊥AC,垂足分别为F，M，N. ∵AP平分∠BAC，点P在AD 上，PF⊥AB, PN⊥AC, :∴PF=PN(角平分线的性质定理)。 同理,PF= PM. ∴.PM=PN. ∵PM⊥BC, PN⊥ AC, ∴.点P在∠C的平分线上(角平分线性质定理的逆定理). 变式：如图，△ABC的外角∠BAD，∠ABE的平分线相交于点P.试判断点P是否在∠C的平分线上.并证明你的结论 证明：过点P作PG⊥AB, PI⊥BC, PH⊥AC,垂足分别为F，M，N. ∵AP平分BAD，PG⊥AB, PH⊥AC, :∴PG=PH(角平分线的性质定理)。 同理,PI= PH. ∴.PG=PH. ∵PG⊥AB, PI⊥BC, ∴.点P在∠C的平分线上(角平分线性质定理的逆定理). 四、活动探究 如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD； 再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF；CD与 EF相交于点P，连接OP.OP是∠AOB的角平分线吗？为什么？ 根据直尺的宽度相等可知点P到OA，OB的距离相等，所以点P在∠AOB的角平分线上， 例2. （2026春•郑州校级期中）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． （1）如图1，已知BG，CG是△ABC的角平分线，求证：点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）如图2，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，连接AP，若∠BAC＝60°，求∠PAC的度数． （1）证明，过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F， ∵BG，CG是△ABC的角平分线， ∴GE＝GD，GE＝GF， ∴GE＝GD＝GF， ∴点G到三边AB，BC，AC的距离相等； （2）解：过点P作PM⊥BD于点M，PN⊥BA，交BA的延长线于点N，如图所示： ∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线， ∴PM＝PN，PM＝PQ， ∴PN＝PQ， 又∵点P在∠NAC的内部，且PQ⊥AC，PN⊥BA， ∴点P在∠NAC的平分线上， ∴AP是∠NAC的平分线， ∴∠PAC∠NAC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠NAC＝180°﹣∠BAC＝120°， ∴∠PAC∠NAC＝60°． 尝试练习： 1．（2025秋•海州区校级月考）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝6，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝18，求△ABE的面积． （1）解：∵EF⊥AB， ∴∠F＝90°， ∵∠AEF＝50°， ∴∠BAE＝∠F+∠AEF＝90°+50°＝140°， ∵∠BAE＝∠BAD+∠CAD，∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAD＝140°﹣100°＝40°； （2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H， ，由（1）可知，∠EAF＝∠CAD＝40°， ∴AE平分∠FAD， ∵EF⊥AF，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∵EG⊥AD，EH⊥BC， ∴DE平分∠ADC； （3）解：∵S△ACD＝18， ∴S△ADE+S△CDE＝18， ∴， ∵AD＝4，CD＝8，EG＝EH， ∴， ∴EH＝3， ∴EF＝3， ∵AB＝6， ∴． 六、当堂练习 1．（2025秋•宁江区校级期末）如图，在7×9的正方形网格中，到∠AOB两边距离相等的点是（　A　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 第3题 第2题 第1题 2、(书本第38页练习1)利用网格画图： (1)在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等； (2)在射线AP上找一点Q，使QB=QC. 3．（2026春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AC于点E，DE＝2，则点D到AB的距离为（　B　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026•大庆模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点C为圆心，以小于BC的长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F；再分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点O，作射线CO交AB于点G．若BG＝3，AG＝4，H为AC上一动点，则GH最短为 　 3 　 ． 5．（2025春•滕州市校级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． （1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E， ∴DE＝DC． 在Rt△CDF与Rt△EDB中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴CF＝EB． （2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD＝DE． 在Rt△ACD与Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x， 解得x＝2，即CF＝2． 6．（2025•聊城模拟）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°． （1）∠ACE的度数是　 　 ； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． （1）解：∵∠ACB＝110°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝70°， ∵EH⊥BD，∠CEH＝55°， ∴∠DCE＝90°﹣∠CEH＝35°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝35°． （2）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD， ∴EM＝EH， 由（1）可知，∠ACE＝∠DCE＝35°，即CE平分∠ACD， ∴EN＝EH， ∴EM＝EN， 又∵点E在∠CAF的内部， ∴AE平分∠CAF． （3）解：由（2）已得：EM＝EH＝EN， 设EM＝EH＝EN＝x， ∵S△ACD＝21， ∴S△ACE+S△DCE＝21， ∴， 又∵AC+CD＝14， ∴， ∴EM＝3， ∵AB＝8， ∴△ABE的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $