第26章 二次函数 单元卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数单元核心素养，通过蔬菜大棚、电动牙刷销售等生活情境与层次化问题设计，实现知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题30分|图像性质、平移、对称轴等基础概念|结合图像辨析参数符号，考查几何直观| |填空题|6题18分|二次函数定义、最值、对称曲线|设计杯子高度计算等创新情境，体现空间观念| |解答题|8题72分|解析式求解、利润最大化、存在性问题|含蔬菜大棚抛物线建模、战“疫”捐款利润分析，注重应用意识与推理能力|

2026-2027学年人教版九年级数学上册第26章 二次函数 单元卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 3．（本题3分）将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 5．（本题3分）已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根可能是（     ） A．0，4 B．1，5 C．1， D．，5 6．（本题3分）已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 8．（本题3分）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 9．（本题3分）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 10．（本题3分）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 12．（本题3分）当时，二次函数的最大值为________． 13．（本题3分）二次函数的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（c为实数）在范围内有解，则c的取值范围为_____． 14．（本题3分）如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 15．（本题3分）小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 16．（本题3分）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 18．（本题8分）如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（本题8分）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 20．（本题8分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 21．（本题9分）在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 22．（本题9分）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 23．（本题10分）在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现该商品每天的销售量（支）与销售单价（元支）之间存在如图所示的关系． (1)请求出与的函数关系式； (2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C D A B D A C 1．C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 2．B 【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 3．B 【分析】根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出结果． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是． 4．C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 5．D 【分析】先根据抛物线对称轴公式求出的值，再整理得到一元二次方程，结合的非负性验证选项得到结果． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， 将代入方程得， 整理得， 设方程的两根为，， 则，， ∵， ∴． A、∵，不满足，故此选项不符合题意； B、∵，不满足，故此选项不符合题意； C、∵，不满足，故此选项不符合题意； D、∵，，令，得，存在，符合条件，故此选项符合题意． 6．A 【分析】先根据抛物线解析式判断开口方向、顶点坐标和对称轴，再利用二次函数的增减性比较，和的大小，即可得到正确结论． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴抛物线的最大值为，即抛物线上点的纵坐标都不大于，可得，，排除C，D选项． 又∵抛物线对称轴为直线，当时，随的增大而减小， ∵点，满足，两点都在对称轴右侧， ∴． 综上可得 ． 7．B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 8．D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 9．A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 10．C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 11． 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 12． 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性计算得到最大值． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，对应的函数值越大， ， 到对称轴的距离最远， 当时，， 即当时，二次函数的最大值为． 13． 【分析】先根据对称轴求出的值，将方程有解转化为求二次函数在范围内的取值，即可得到的范围． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， 配方得， 函数开口向上，最小值在处取得，为， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是， ∵一元二次方程在范围内有解，等价于在该范围内有解， ∴的取值范围是． 14． 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 15． 11 【分析】首先由求出D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 16． 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 17．(1)， (2)顶点坐标为 当时，函数最大值为，最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求出，，的值，即可得到二次函数的解析式； （2）把二次函数的解析式整理成顶点坐标式即可得到抛物线的顶点坐标，根据解析式画出抛物线，由函数图象可知当时，函数的最大值即为抛物线顶点的纵坐标，当时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：将，，代入， 可得：， 解得：， ； （2）解：， 抛物线顶点坐标为，抛物线开口向下， 当时，函数最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 图略． 18．(1)，点坐标为 (2)点坐标为或 【分析】（1）将点代入二次函数解析式中，解得二次函数解析式，令求出点的坐标，将二次函数转化为顶点式，得到顶点的坐标； （2）将点的坐标设出来，根据求出的面积，从而解出点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； 当时，，解得，则， ∵， ∴点坐标为． （2）解：存在．理由如下： 设， ∵， ∴， 得， 当，解得， 此时P点坐标为或， 当时，方程没有实数解． 综上所述，P点坐标为或． 19．(1)， 二次函数图象如下， (2)当时该二次函数的函数值y的取值范围为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解，运用五点法作图即可； （2）根据自变量的取值范围分别算出临界点的函数值，结合顶点坐标得到函数值的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 运用五点法作函数图象：略； （2）解：在二次函数中，当时， 时，；顶点坐标为；时，， ∴当时该二次函数的函数值y的取值范围为． 20．(1) (2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 21．(1)； (2)大棚最高处到地面的距离为米； (3)共需要（根）竹竿． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将（1）中函数解析式化为顶点式，然后求解即可； （3）根据题意得出，然后结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意知点坐标为，点B坐标为 将、坐标代入得： 解得：； （2）解： 当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又∵大棚的长为160米， ∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） ∴共需要（根）竹竿． 22．(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； （4）方程即，整理得，设，把问题转化为函数图象在的范围内有两个不同的交点求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； （4）解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． 23．(1) (2)该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元； (3)当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于 元 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天的销售利润为W元，根据每天的利润每支电动牙刷的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意可得，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 由题意得， ∴， ∴； （2）解：设每天的销售利润为W元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为810， 答：该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元； （3）解：由（2）和题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组得， 解不等式组，可知该不等式组无解， 综上所述，， 答：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于 元． 24．(1) (2)①点P的坐标为；②存在，点M的坐标为或 【分析】（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用求出点A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设点P的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出和的长度，由，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标； ②设点M的坐标为，分别求得、、的长度，根据是以为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是为斜边，二是为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与抛物线交于点， ∴点坐标为， 把点、坐标代入解析式 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①∵是直线上方的抛物线上一点 ∴设点的坐标为 设直线解析式： 将点、坐标代入解析式，得 解得： ∴ ∵轴于，交于点，如图， ∴点坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）， 当时， ∴点坐标是 ②∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为 ∵点，点， ∴， ∵为以为直角边的直角三角形， Ⅰ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， Ⅱ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴ ∴点M的坐标为 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $