2026年高二数学秋季开学学情自测卷02（人教A版）【范围：必修二】

**基本信息** 2026年高二数学开学学情自测卷以必修二知识为核心，通过投篮概率（第3题）、圆柱容球（第11题）等情境，分层考查复数、向量、立体几何等内容，检测学生数学眼光、思维与语言能力，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|复数坐标（1）、向量投影（2）、概率（3）|基础巩固，聚焦概念理解| |选择题（多选）|3/18|复数运算（9）、三角形四心（10）、圆柱容球（11）|能力辨析，融合数学文化| |填空题|3/15|斜二测画法（12）、解三角形（13）、方格概率（14）|情境创新，考查空间观念| |解答题|5/77|复数几何意义（15）、立体几何翻折（16）、统计应用（17）、解三角形面积（18）、四棱锥外接球（19）|综合探究，突出推理与数据意识|

2026年高二数学秋季开学学情自测卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019必修二 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数所对应的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．小明和小星两名同学进行定点投篮球比赛，小明投中的概率为0.8，小星投中的概率为0.6．若每人投一次篮球，则至少有一人投中的概率为（    ） A．0.48 B．0.3 C．0.12 D．0.92 4．已知等腰三角形，，，过点作直线，则绕着直线旋转形成的几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 5．如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的55%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（   ） A．76 B．77 C．78 D．79 6．如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（    ）米    A． B． C． D． 7．在中，，，所对的边分别为，，，已知且，若面积为1，则（    ） A．2 B． C． D． 8．如图1，在中，，，是线段的中点.将沿CD所在直线翻折，得到如图2所示的三棱锥.若，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．复数，，复数，在复平面内对应的向量分别为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．对应的点在第二象限 10．点O在所在的平面内，则下面四个结论正确的是（） A．若，则点O是的外心 B．若，则点O为的垂心 C．若动点P满足，，则P的轨迹一定通过的内心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 11．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，这就是“圆柱容球”，是阿基米德最为得意的发现．如图是一个“圆柱容球”，分别为圆柱下、上底面的圆心，为球心，EF为圆的一条直径．若圆柱的母线，则下列说法正确的是（   ） A．球的体积为 B．圆柱的表面积为 C．四面体CDEF的体积的取值范围为 D．平面DEF截得球的截面面积的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形，其中，，，，则原四边形ABCD的面积为______． 13．在中，，点D在边BC上，且，则__________． 14．在如图的的方格表中选个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的个数之和为的概率为__________． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在复平面内，是原点，向量对应的复数是，向量对应的复数是，. (1)若是纯虚数，求m； (2)若，的夹角为锐角，求m的取值范围. 16．（15分） 如图，在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，连接．    (1)求证:平面平面； (2)若，当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的平面角的余弦值． 17．（15分） 某校举办党史知识比赛，比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了100位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图．    (1)若规定成绩排名前25%的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，方差为．证明：． (3)已知随机调查的100位同学的测试成绩落在内的平均成绩是77分，方差是4分，落在内的平均成绩是84分，方差是6分，两组成绩合并后的平均数为，方差为．求 18．（17分） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若点D满足，且，求△ABC面积的最大值． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，为的中点，点在平面内的射影为点，且． (1)求证：； (2)当为等边三角形时，求点到平面的距离； (3)若，，记三棱锥的外接球表面积为，当函数取最小值时，二面角的大小为，求实数的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二数学秋季开学学情自测卷02 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数所对应的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】复数，对应复平面内的点坐标为． 2．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量在向量上的投影向量为， ，， 向量在向量上的投影向量为. 3．小明和小星两名同学进行定点投篮球比赛，小明投中的概率为0.8，小星投中的概率为0.6．若每人投一次篮球，则至少有一人投中的概率为（    ） A．0.48 B．0.3 C．0.12 D．0.92 【答案】D 【详解】设事件为小明投中，事件为小星投中， 则至少有一人投中的概率为. 4．已知等腰三角形，，，过点作直线，则绕着直线旋转形成的几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知：绕直线旋转形成的几何体是如下图所示的一个圆柱挖去以为顶点，圆柱上下底面为其底面的两个圆锥所形成的几何体； 圆柱底面半径， 圆柱体积，挖去的两个圆锥的总体积， 所求几何体体积为. 5．如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的55%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（   ） A．76 B．77 C．78 D．79 【答案】C 【详解】从左到右前2个小组的频率分别为0.1，0.2，第3个小组的频率为0.3， 又，， 故55%分位数在内，约为． 6．如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（    ）米    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，因为，，可得， 则， 又因为， 由正弦定理得，即， 可得， 在直角中，因为，且， 可得，即塔高为米. 7．在中，，，所对的边分别为，，，已知且，若面积为1，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为. 所以 所以 所以. 由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为1，所以，.① 由余弦定理可得：, 所以： ② ①②可得：，即. 所以. 8．如图1，在中，，，是线段的中点.将沿CD所在直线翻折，得到如图2所示的三棱锥.若，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，. 因为是线段的中点，所以，且，. 翻折后，，，，且，. 由平面，，所以平面. 在中，由余弦定理得， 所以. 设的外接圆半径为，由正弦定理得，所以. 设三棱锥外接球的半径为，则球心到平面的距离为. 所以. 故三棱锥外接球的面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．复数，，复数，在复平面内对应的向量分别为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．对应的点在第二象限 【答案】AB 【详解】由题意得，，则，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，对应的点在第四象限，故D错误. 10．点O在所在的平面内，则下面四个结论正确的是（） A．若，则点O是的外心 B．若，则点O为的垂心 C．若动点P满足，，则P的轨迹一定通过的内心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 【答案】ACD 【详解】选项A：外心是三角形外接圆圆心，性质为到三个顶点距离相等， 若，说明到三点距离相等，因此是的外心，A选项正确， 选项B：是对应方向的单位向量，它们的差沿的外角平分线方向， 由数量积为得该向量，故是的内角平分线，同理是的内角平分线， 因此是的内心，不是垂心，B选项错误， 选项C：对等式移项得，两个单位向量的和沿的内角平分线方向， 因此的轨迹是的角平分线，一定过三角形内心，C选项正确， 选项D：由中点向量性质得：， 因此： 已知，是中点，故，代入化简得， 由，直角三角形斜边中线得，又，即， 代入化简最终得：（为与的夹角）， 当时，最大值为，D选项正确. 11．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，这就是“圆柱容球”，是阿基米德最为得意的发现．如图是一个“圆柱容球”，分别为圆柱下、上底面的圆心，为球心，EF为圆的一条直径．若圆柱的母线，则下列说法正确的是（   ） A．球的体积为 B．圆柱的表面积为 C．四面体CDEF的体积的取值范围为 D．平面DEF截得球的截面面积的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A选项：由题意，得球的半径为1，故球的体积为，故A正确； 对于B选项：记圆柱的表面积为．因为球与圆柱相切，故圆柱底面直径与球直径相等， 得圆的半径为1，则，故B错误； 对于C选项：由为EF的中点，记到平面的距离为，则， 则， ， 则，故C正确； 对于D选项：过点作，垂足为， 由，；， 所以点到平面DEF的距离； 记截面圆半径为，则，当平面DEF时取等号， 所以截面圆的面积，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形，其中，，，，则原四边形ABCD的面积为______． 【答案】 【详解】过点作⊥于点，则， 又，所以， 因为，所以， 画出原图形，可知四边形为直角梯形，，， ， 因此原四边形的面积为. 13．在中，，点D在边BC上，且，则__________． 【答案】 【详解】 因为，所以． 因为，所以，解得． 14．在如图的的方格表中选个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的个数之和为的概率为__________． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 【答案】 【详解】在所给的方格中，要让每行和每列均恰有一个方格被选中，则基本事件总数为种， 选中方格中的个数之和为的情况为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共14种情况，所以所求概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在复平面内，是原点，向量对应的复数是，向量对应的复数是，. (1)若是纯虚数，求m； (2)若，的夹角为锐角，求m的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1） 由于是纯虚数，所以. （2）由向量对应的复数是，向量对应的复数是可得 ，， 若，的夹角为锐角，则且，的夹角不为0,那么 解得 ，且， 所以，m的取值范围. 16．（15分） 如图，在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，连接．    (1)求证:平面平面； (2)若，当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）D、E分别是棱的中点， 是的中位线， ， 平面平面， 平面， 同理平面， 平面，平面， 平面平面． （2）由已知平面， ，则， ， 当且仅当时取等号，即三棱锥的体积取最大值， 作，垂足为G，连接，   平面，平面平面， 平面， 平面，． ，平面平面， ，是二面角的平面角 由题可知，，， ． 17．（15分） 某校举办党史知识比赛，比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了100位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图．    (1)若规定成绩排名前25%的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，方差为．证明：． (3)已知随机调查的100位同学的测试成绩落在内的平均成绩是77分，方差是4分，落在内的平均成绩是84分，方差是6分，两组成绩合并后的平均数为，方差为．求 【答案】(1)87.5；(2) 见详解；(3) 【详解】（1）由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第75百分位数， 设样本数据的第75百分位数为， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可得， 解得， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以， 由百分位数的定义可得，解得， 故进入决赛的同学成绩应不低于87.5分． （2）， 又 ． 又 ． 又， 所以， 同理， 所以 所以. （3）由题意可知，成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 所以，， ． 18．（17分） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若点D满足，且，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以， 整理得，则， 因为 ，所以. （2）以点为起点，记，则 且由，有， 因为， 所以， 由，得， 解得， 即，则，即， 当且仅当，即时取等号， 则， 故△ABC面积的最大值为. 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，为的中点，点在平面内的射影为点，且． (1)求证：； (2)当为等边三角形时，求点到平面的距离； (3)若，，记三棱锥的外接球表面积为，当函数取最小值时，二面角的大小为，求实数的值． 【答案】(1)见详解；(2)；(3) 【详解】（1）因为平面，平面，则， 且，，平面， 可得平面， 且平面， 所以. （2）作，垂足分别为，连接， 若为等边三角形，则为中点， 因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面， 且平面，所以. 对于平行四边形，建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 设，则， 若，可得，即， 因为为中点，可知：，则，即， 由可知直线，且， 设，则， 由可得， 解得，即， 则， 可知三棱锥的高， 在中，边的高， 设点到平面的距离为， 由可得，解得， 所以点到平面的距离为. （3）由题意可知：， 由（2）可知：点在直线上， 结合（2）中数据可得：， 在中，由余弦定理可得 ， 设的外接圆半径为，则， 设三棱锥的外接球半径为， 则 ， 且，可知当时，取到最小值，即外接球表面积取到最小值，此时， 由（2）可设，则， 解得，即，可知，且， 过作，垂足为， 因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面， 且平面，所以， 且，平面， 可得平面， 且平面，所以， 可知平面与平面夹角的大小为， 则，可得， 结合的面积可得，则， 可得，且，解得， 所以. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年高二数学秋季开学学情自测卷02 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1 3 4 5 6 8 B C D C C B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AB ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分 12.122 13. 33 2 4日 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【答案】(1)m=-2；(2)(-2,2U(2,+∞) 4=1+i_1+i0(m-2_m-2i+mi-22_(m+2)+(m-2i 【详解】(1) 22m+2im2+4 m2+4 m+4 =m+2+m-2)i m2+4m2+4 由于子是纯虚数。所以m+名=0，m=一2. m2+4 (2)由向量0A对应的复数是=1+i,向量0B对应的复数是=m+2i可得 0A=(1,1),0B=(m,2), 若OA,OB的夹角为锐角，则OA·OB>0且OA,OB的夹角不为0，那么 1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [m+2>0 m≠2解得m>-2'且m≠2 所以，m的取值范围（-2,2)U(2,+o)】 16.(15分) 【答案】(1)见详解；(2) 灯 【详解】(1)D、E分别是棱PAPB的中点， ∴.DE是△PAB的中位线， .DE//AB :DEC平面ABC,ABC平面ABC, ∴.DE//平面ABC, 同理DFII平面ABC, :DE∩DF=D,DEC平面DEF,DFC平面DEF, ∴.平面DEF平面ABC. (2)由已知PA⊥平面ABC,AC⊥AB,PA=BC=2, AB2+AC2=BC2=4≥2AB·AC,则AB·AC≤2， r-写45版x2x4C48写4c4Bsf 当且仅当AB=AC=V2时取等号，即三棱锥P-ABC的体积取最大值， 作DG⊥EF,垂足为G,连接AG, G :PA⊥平面ABC,平面ABC/平面DEF, PA⊥平面DEF, :EFc平面DEF,.PA⊥EF 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DG∩PA=D,.EF⊥平面ADG,AGC平面ADG, EF⊥AG,∴∠AGD是二面角A-EF-D的平面角 自题可知DG-号球=aC-分01-PA=l,4G=Df+nG-5 ∴.cos∠AGD= AGV55· 17.(15分) 【答案】1875；()见详解，392-120 7 【详解】(1)由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第75百分位数， 设样本数据的第75百分位数为‘， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可得(0.005+0.01+0.015+0.03+a)×10=1, 解得a=0.04, 前三个矩形的面积之和为(0.005+0.01+0.03)×10=0.45， 前四个矩形的面积之和为0.45+0.04×10=0.85，所以t∈(80,90)， 由百分位数的定义可得0.45+(-80)×0.04=0.75，解得1=87.5， 故进入决赛的同学成绩应不低于87.5分. 2)-可+2-可n-*-可+2%-*-可] 又2-+-可-[0-+2g-0派-可+(-可] -2(-+2-0-+2(-. 又22(g--m=2(6-02(-)=2(-w儿x-x+x-x++x-可 =2(-w儿x+32++x-mx =2(x-w)[mx-mx 3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =0 又-可=m(-, 所以2(-+-可=m+m(-可， 同理(y-y+少-w=s+n(-, 所以nm+m-++0-可 所以4+(-可门+6-可] (3)由题意可知，成绩落在[70,80)的频率为0.03×10=0.3， 成绩落在[80,90)的频率为0.04×10=0.4， 0.3 所以，203+04 7+0.4 0.3+0.4 ×84=81, -[-8+4]+[4-8+可-1”、 18.(17分) 【答案】a)B-=号：2)4N5 c sin A+sin B c a+b 【详解】(1)因为a-bsin 4--sinc,所以a-ba-c, 整理得，2+c2-b2=ac,则cosB=C-bac1 2ac 2ac2' 因为0<B<元'所以B= 31 (2)以点B为起点，记BA=u,BC=v,则园=c,=a, 且由B=60,有4：v=ac0s60= 2, 因为AD=3DC, 所以+c-a+3) 4 4 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 白D=3有9-D+, 解得9-6（+9a+仁+0+3a. 即9a2+3ac+c2=144,则144-3ac=9a2+c2≥2V9a2×c2=6ac,即ac≤16， 当且仅当g=c2,即0=有 c=4W5时取等号， inB=香acs5 ￥x16=45, 故△ABC面积的最大值为4V3 D B 19.(17分) 【答案】a见详解：255， 6:3)26 【详解】(1)因为PH⊥平面ABCD,DMc平面ABCD,则PH⊥DM, 且AH⊥DM,PHOAH=H,PH,AHc平面PAH, 可得DM⊥平面PAH, 且PAC平面PAH, 所以PA⊥DM. (2)作HE⊥AB,HF⊥BC,垂足分别为E,F,连接PE,PF, D E BF M 若△PAB为等边三角形，则E为AB中点， 因为PH⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,则PH⊥BC, 5 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且PHOHE=H,PH,HFc平面PHF, 可得BC⊥平面PHF, 且PFC平面PHF,所以BC⊥PF 对于平行四边形ABCD,建立平面直角坐标系，如图所示， 则A0.o),8(3,0),C5,25).D2,25)M(4,5),E30 设H(x,y),则Ai=(x,y),DM=(2,-V5), 2 若AH1DM:可得.DM=2x-5y=0,即y=万， 因为E为B小点，可：=子则=5,3， 由B(3,0),C5,25)可知直线BC:y=V5(x-3),且BC=(2,2W3), 设ra,v5a-3现则m-a-2a-45, 由HF⊥BC可得HF.BC=2a-3+6a-24=0, 冬压-但) 两w身 4 可知三棱锥p-HBC的高PH=VP-AH- 21 在aPBC中，边BC的高PF=VPH+HF_3 4, 设点H到平面PBC的距离为d, 6 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 g=可时55华4-甘r24,解. 6 ,55 所以点H到平面PBC的距离为6 (3)由题意可知：PH=msin6,AH=mcos0, 2 由(2)可知：点H在直线少=万x上， 3 5 2 结合（2)中数据可得：s1E行，0∠E=、 2 5 21V7, 2 2 在△ABH中，由余弦定理可得BH2=AH+AB2-2AH·AB.CoS∠HAE mcos0+9-2xmcos0x3x =m'cos:061 -mcos0+9. BH万BH, 设。ABH的外接圆半径为，则r=2sin乙HAE=4 设三棱锥P-ABH的外接球半径为R, 4 16 =-cw02o065 6m'cos'0-3121 3 1 8 mcos+m2 63 4+16 且m>vV21,可知当os0= (O,1)时，R2取到最小值，即外接球表面积f(O)取到最小值，此时 m AH=mcos0=√21， 由(2)可设H(N3n,2nn>0,则3m2+4n=V2i, 解得n=5,即H3,2⑤)，可知H∈CD,且BH⊥CD,CH=2,BH=25, 过H作HN⊥PC,垂足为N, 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 因为PH⊥平面ABCD,BHc平面ABCD,则PH⊥BH, 且PHOCD=H,PH,CDc平面PCD, 可得BH⊥平面PCD, 且PCC平面PCD,所以BH⊥PC, 且BHOHN=H,BH,HNC平面BHN, 可得PC⊥平面BHW, 且BNC平面BHN,所以BN⊥PC, 可知平面BPC与平面DPC夹角的大小为∠BNH-?-日， 则tan∠PAH-tan∠BNH=PH.BH-PH2√5 H孤2mL,可得2PH=N7N 结合RPCH的面积可得CHPH=N-PC,则2PH=-PC, 2 可得PC=√万，且PC=VPH+CH=VPH+4,解得PH=√3， 所以m=√AH2+PH2=2√6. 8 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高二数学秋季开学学情自测卷02 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学秋季开学学情自测卷02 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 p 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 目 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3,请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][CI[DI 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A]B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C]D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C]D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分） 日 12 13 14. 剂 请在各题目棘奢题！内体，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D E A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) M A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高二数学秋季开学学情自测卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019必修二 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数所对应的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．小明和小星两名同学进行定点投篮球比赛，小明投中的概率为0.8，小星投中的概率为0.6．若每人投一次篮球，则至少有一人投中的概率为（    ） A．0.48 B．0.3 C．0.12 D．0.92 4．已知等腰三角形，，，过点作直线，则绕着直线旋转形成的几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 5．如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的55%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（   ） A．76 B．77 C．78 D．79 6．如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（    ）米    A． B． C． D． 7．在中，，，所对的边分别为，，，已知且，若面积为1，则（    ） A．2 B． C． D． 8．如图1，在中，，，是线段的中点.将沿CD所在直线翻折，得到如图2所示的三棱锥.若，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．复数，，复数，在复平面内对应的向量分别为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．对应的点在第二象限 10．点O在所在的平面内，则下面四个结论正确的是（） A．若，则点O是的外心 B．若，则点O为的垂心 C．若动点P满足，，则P的轨迹一定通过的内心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 11．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，这就是“圆柱容球”，是阿基米德最为得意的发现．如图是一个“圆柱容球”，分别为圆柱下、上底面的圆心，为球心，EF为圆的一条直径．若圆柱的母线，则下列说法正确的是（   ） A．球的体积为 B．圆柱的表面积为 C．四面体CDEF的体积的取值范围为 D．平面DEF截得球的截面面积的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形，其中，，，，则原四边形ABCD的面积为______． 13．在中，，点D在边BC上，且，则__________． 14．在如图的的方格表中选个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的个数之和为的概率为__________． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在复平面内，是原点，向量对应的复数是，向量对应的复数是，. (1)若是纯虚数，求m； (2)若，的夹角为锐角，求m的取值范围. 16．（15分） 如图，在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，连接．    (1)求证:平面平面； (2)若，当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的平面角的余弦值． 17．（15分） 某校举办党史知识比赛，比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了100位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图．    (1)若规定成绩排名前25%的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，方差为．证明：． (3)已知随机调查的100位同学的测试成绩落在内的平均成绩是77分，方差是4分，落在内的平均成绩是84分，方差是6分，两组成绩合并后的平均数为，方差为．求 18．（17分） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若点D满足，且，求△ABC面积的最大值． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，为的中点，点在平面内的射影为点，且． (1)求证：； (2)当为等边三角形时，求点到平面的距离； (3)若，，记三棱锥的外接球表面积为，当函数取最小值时，二面角的大小为，求实数的值． 试题 第7页（共6页） 试题 第8页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学秋季开学学情自测卷02 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 ·: 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.考试范围：人教A版2019必修二 O 第一部分（选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.在复平面内，复数z=i-1所对应的点的坐标为() : A.(1,-1) B.-1,1) C.1,1) D.(-1,-1) : .: 2.已知向量a=(N5,1),b=(1,0),则向量a在向量6上的投影向量为() A. B.B C.3b D.2b O O 3 : 3.小明和小星两名同学进行定点投篮球比赛，小明投中的概率为0.8，小星投中的概率为0.6.若每人投 一次篮球，则至少有一人投中的概率为() A.0.48 B.0.3 C.0.12 D.0.92 然 4.己知等腰三角形△ABO,AB=1,AO=BO=√2，过点O作直线1∥AB,则△ABO绕着直线1旋转360° 形成的几何体的体积为() : A.2π B.π C. 7π D. 7π 12 5.如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的55%分位数约 为（采用四舍五入法精确到1）() 频率组距 0.030 0.025 北 0.020 0.015 0.010 05060708090100分数 : 试题第1页（共6页） 可学科网·上好课 A.76 B.77 C.78 D.79 6.如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测 得∠BDC=120°，∠BCD=45,CD=20(V3-1)米，在点C处测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB=() 米 D A.10V6 B.20W2 C.40W2 D.40W3 3 3 7在4C小。8，C所列的边分为2.b,6,已知a6=4Hm2日若48C面积 为1，则tanC=（) A.2 1 B.2 c 0. 3 8.如图1，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，D是线段AB的中点.将△ACD沿CD所在直线翻 折，得到如图2所示的三棱锥A'-BCD.若∠A'DB=120°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为() B 图1 图2 A.20元 B.12π C.8π D.6元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.复数3=2+i,2=1-2i,复数51，z2在复平面内对应的向量分别为OA,OB,则下列结论正确的是 () A.OA.OB=0 B. L-1 22 C.3-=3 D.3+对应的点在第二象限 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 10.点O在△ABC所在的平面内，则下面四个结论正确的是() A.若OA=OB=OC,则点O是△ABC的外心 B.若OA AC AB BC OB BA =0,则点O为△ABC的垂心 AC AB BC BA C.若动点P满足OP=OA+入 AB AC 2∈(0，+o),则P的轨迹一定通过△ABC的内心 AB D.若E,F,G分别为AB,BC,AC的中点，且AC=BG=2,OA.OC=0,则OE.OF的最大值为 15 11.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱 的高相等，这就是“圆柱容球”，是阿基米德最为得意的发现.如图是一个“圆柱容球”，O,O分别为圆柱下、 上底面的圆心，O为球心，EF为圆O的一条直径.若圆柱的母线1=2，则下列说法正确的是() ---B E A,球O的体积为4 B.圆柱的表面积为4π C.四面体CDBP的体积的取值范围为0， D.平面DBF截得球O的截面面积的最小值为 π 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形A'B'CD,其中AB∥CD, A'B⊥B'C”,AB'=4,D'C”=2,则原四边形ABCD的面积为 试题第3页（共6页） B安 13.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=4,AC=6,点D在边BC上，且∠CAD=3∠BAD,则AD= 14. 在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则在所有符合上述要 求的选法中，选中方格中的4个数之和为110的概率为 兵 11 21 31 40 12 22 33 42 % 13 22 33 43 15 24 34 44 : 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.（13分) ................ 在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数是=1+i,向量OB对应的复数是z2=m+2i,∈R O (口诺子是纯虚数，求m: (2)若OA,OB的夹角为锐角，求m的取值范围. 肉 性 :0 试题第4页（共6页） 16.(15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥AC,DE、F分别是棱PAPB、PC的中点，连接 0 DE,DF,EF. : D : (1)求证：平面DEF/平面ABC; (2)若PA=BC=2,当三棱锥P-ABC的体积取最大值时，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值. ..0 : 17.(15分) 然 某校举办党史知识比赛，比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分） 中， 随机调查了100位同学的测试成绩，按[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100)分组，并绘制 拟 出了如图所示的频率分布直方图. 个频率/组距 O a 0.030 0.015 别 ☒ 0.010 0.005 5060708090100成绩/分 (1)若规定成绩排名前25%的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ 试题第5页（共6页） 6学科网·上好课 (2)若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，x, 分：n,少，号.记总的样木平均数为，方差为，证明：4n[+仅时门n+(任网门 n+nL (3)已知随机调查的100位同学的测试成绩落在(70,80]内的平均成绩是77分，方差是4分，落在[80,90)内 的平均成绩是84分，方差是6分，两组成绩合并后的平均数为三，方差为s2.求s2 18.(17分) c sinA+sin B 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 a-b sin A-sinC (1)求角B的大小： (2)若点D满足AD=3DC,且BD=3,求△ABC面积的最大值. 试题第6页（共6页） 6学科网·上好课 19.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AB=3,AD=4,∠DAB=,M为BC的 中点，点P在平面ABCD内的射影为点H,且AH⊥DM. 刀 M (1)求证：PA⊥DM: (2)当△PAB为等边三角形时，求点H到平面PBC的距离： (3)若PA=m(m>V21,∠PAH=6,记三棱锥P-ABH的外接球表面积为f(@),当函数f(0)取最小值时， 二面角B-PC-D的大小为0，求实数m的值， 试题第7页（共6页） ……○…………………1……○………¥………○……☑………○……… 拜 业 梁 和 …○…a…0…[………¥…O……O…