奥数培优·第15讲 抽屉原理——最不利原则与鸽巢原理（讲义）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

【人教版】小学四年级下册奥数培优·第15讲 抽屉原理——最不利原则与鸽巢原理 —— 德国数学家狄利克雷说："数学中很多看似不可能的事情，只要用对了原理，就会变得简单明了。" 同学们，你们有没有想过：为什么13个人中，至少有两个人的生日在同一个月？为什么全班50个同学，至少有5个人的生日在同一个月？这些看似神奇的结论，背后都藏着一个非常重要的数学原理——抽屉原理。 抽屉原理也叫"鸽笼原理"，它是数学中最有趣、最实用的原理之一。学会了它，你就能解决很多看似复杂的问题，成为一名数学小侦探！ 🎯 三维教学目标 【知识与技能】 理解抽屉原理的基本概念，知道什么是"抽屉"，什么是"苹果（或物品）" 掌握抽屉原理1的内容，能运用它解决简单的实际问题 学会构造抽屉的方法，能根据题目特点灵活设计抽屉 掌握最不利原则，能解决"保证有"类的极值问题 【过程与方法】 通过观察、比较、分析，经历抽屉原理的探究过程 学会用"反证法"思考问题，培养逻辑推理能力 掌握"找抽屉→分物品→验原理→答结论"的四步解题法 培养分类讨论的思想，能解决复杂的抽屉原理问题 【情感态度与价值观】 感受数学原理的奇妙与实用，激发学习数学的兴趣 培养严谨的逻辑思维习惯，做事有条理、有依据 体会数学与生活的密切联系，能用数学眼光观察世界 在挑战难题的过程中，培养克服困难的勇气和信心 📌 教学重难点 重点： 1. 理解抽屉原理的基本内容 2. 掌握构造抽屉的方法 3. 能运用抽屉原理解决简单的实际问题 难点： 1. 如何根据题目特点灵活构造抽屉 2. 复杂抽屉原理问题的分类讨论 3. 最不利原则的理解与应用 ⚠️ 高频易错总提示 易错点1：抽屉数算错 很多同学算抽屉数的时候容易数错，比如涂色问题的涂色方式数、余数问题的余数种类数。一定要按顺序列举，不要遗漏！ 易错点2：物品数和抽屉数搞反 记住：物品数多，抽屉数少。物品数＞抽屉数，才能用抽屉原理。不要搞反了！ 易错点3：最不利原则忘记+1 最不利原则的公式是：最不利情况数 + 1。很多同学只算出最不利情况，忘记加1，这是最高频的错误！ 易错点4："两双"理解错 两双同色袜子 = 4只同色袜子，不是2只不同色的，也不是2双不同色的。要看清题目要求！ 易错点5：平年闰年搞混 生日问题中，闰年366天，平年365天。一般年份能被4整除的是闰年，整百年份能被400整除的是闰年。 📚 一、知识点总结 （一）什么是抽屉原理 抽屉原理，也叫"鸽笼原理"，是数学中一个非常重要又非常有趣的原理。它说的是：如果把一些东西放进几个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放的东西会比较多。 举个简单的例子： 如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。 道理很简单：如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，也就是最多放1个，那么3个抽屉最多只能放3个苹果，这与有5个苹果矛盾。所以至少有一个抽屉里有2个或更多的苹果。 再举个例子： 有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。 （二）抽屉原理（基础版） 【抽屉原理】基础版 将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。 为什么这个原理是对的呢？ 我们可以用"反证法"来证明： 假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品最多只有1件。这样，n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件，这与"有多于n件物品"的假设相矛盾。所以抽屉原理1是正确的。 从最不利原则也可以理解抽屉原理： 为了使每个抽屉中的物品都不到2件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品，共放入n件物品。此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1个抽屉里有2件物品了。 （三）常见的"抽屉"类型 抽屉原理的关键是：找到什么是"抽屉"，什么是"物品"。 题型 抽屉 物品 对应例题 生日问题 一年的天数（365或366） 小朋友的人数 例1 余数问题 余数的可能情况（0、1、2…） 自然数的个数 例2、拓展3 涂色问题 涂色的不同方式 列或行的数量 例3、拓展2 线段问题 线段的等分段数 点的数量 拓展1 奇偶性问题 奇偶搭配的种类 堆数或组数 拓展2 最不利原则 种类数 取的数量 练习2、5 （四）通用解题四步法（速记：找→分→验→答） 找抽屉：分析题目，确定什么是"抽屉"，有几个抽屉 分物品：确定什么是"物品"，有多少件物品 验原理：物品数是否多于抽屉数？如果是，就可以用抽屉原理 答结论：得出"至少有一个抽屉里有不少于2件物品"的结论 （五）小技巧集锦 技巧1：抽屉原理的关键词——"至少有一个"、"一定有"、"保证有"、"能否找到" 技巧2：抽屉可以是"天数"、"余数"、"颜色"、"位置"等，不一定是真的抽屉 技巧3：遇到"是否存在"、"能否找到"这类问题，常常可以用抽屉原理 技巧4：构造抽屉是解题的关键，要根据题目特点灵活设计 技巧5：复杂的抽屉原理问题，常常需要分类讨论 技巧6：最不利原则：要"保证"满足条件，就先考虑最坏的情况，再加1 🌟 二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 / ★★★★挑战 【例1 生日问题】★基础 【题目】 某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？ 【解题思路】 这是一道典型的抽屉原理问题。我们可以把"一年的每一天"看作抽屉，把"小朋友"看作物品。 如果小朋友的人数比一年的天数多，那么根据抽屉原理，至少有两个小朋友生日相同。 【完整解析】 第一步：找抽屉 1996年是闰年，这年应有366天。 把366天看作366个抽屉。 第二步：找物品 将367名小朋友看作367件物品。 第三步：应用抽屉原理 物品数（367）＞ 抽屉数（366） 根据抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，至少有一个抽屉中的物品不少于2件。 第四步：得出结论 把367个物品放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品。 因此至少有2名小朋友的生日相同。 【方法总结】 生日问题解题步骤： 1. 判断是平年还是闰年，确定一年有多少天（抽屉数） 2. 比较人数和天数：人数＞天数 → 一定有生日相同的 3. 注意：闰年366天，平年365天，不要搞混！ 🚀 随堂小练1 某校三年级有368名学生，他们都是2010年出生的。请问：是否一定有两个学生生日在同一天？为什么？ 【例2 余数问题】★★提升 【题目】 任意给出4个自然数，证明：其中必有两个数的差是3的倍数。 【解题思路】 这道题的关键是：两个数的差能被3整除，说明这两个数除以3的余数相同。 我们可以把"除以3的余数"看作抽屉，把"自然数"看作物品。 任何整数除以3，余数只可能是0、1、2三种情况，所以有3个抽屉。 4个自然数放进3个抽屉，根据抽屉原理，至少有两个数在同一个抽屉里，也就是它们除以3的余数相同。 【完整解析】 第一步：分析余数的可能情况 因为任何整数除以3，其余数只可能是0、1、2三种情形。 第二步：构造抽屉 我们将余数的这三种情形看成是三个"抽屉"。 一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个"抽屉"里。 第三步：应用抽屉原理 将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数。 也就是说，至少有两个数除以3的余数相同。 第四步：得出结论 这两个数的差必能被3整除。 （因为余数相同，相减后余数抵消了，差就是3的倍数） 【方法总结】 余数问题解题步骤： 1. 确定除数，找出所有可能的余数（抽屉数） 2. 比较数的个数和抽屉数：数的个数＞抽屉数 → 一定有两个数余数相同 3. 余数相同的两个数，它们的差一定是除数的倍数 🚀 随堂小练2 任意给出5个自然数，证明：其中必有两个数的差是4的倍数。 【例3 方格涂色问题】★★提升 【题目】 用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色，每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？ 【解题思路】 这道题的关键是：每列有2个小方格，用红、蓝两种颜色涂色，一共有几种不同的涂色方式？ 我们可以把"不同的涂色方式"看作抽屉，把"列"看作物品。 如果列数比涂色方式多，根据抽屉原理，至少有两列的涂色方式完全相同。 【完整解析】 第一步：找出所有可能的涂色方式 用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形： ① 红红; ② 红蓝; ③ 蓝红; ④ 蓝蓝 第二步：构造抽屉 将上面的四种情形看成四个"抽屉"。 第三步：应用抽屉原理 方格图有5列，将五列放入四个抽屉。 根据抽屉原理，至少有一个抽屉中有不少于两列。 第四步：得出结论 这两列的小方格中涂的颜色完全相同。 所以，一定存在两列，它们的涂色方式完全一样。 【方法总结】 涂色问题解题步骤： 1. 找出所有可能的涂色方式（抽屉数） 2. 比较列数（或行数）和涂色方式数：列数＞涂色方式数 → 一定有两列涂色相同 3. 注意：要按顺序列举所有涂色方式，不要遗漏！ 🚀 随堂小练3 用红、黄、蓝三种颜色给一个3行的方格图的每一列涂色，每列3个小方格，每个小方格涂一种颜色。请问：至少需要多少列，才能保证一定有两列的涂色方式完全相同？ 🚀 三、拓展例题 标注说明：★★★拔高 / ★★★★挑战 【拓展1 线段点距离问题】★★★拔高 【题目】 在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？ 【解题思路】 这道题的关键是：把线段分成几段，每段就是一个抽屉。 如果点的数量比段数多，根据抽屉原理，至少有两个点在同一段里，它们之间的距离就不大于每段的长度。 【完整解析】 第一步：构造抽屉 把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米。 将每段线段看成是一个"抽屉"，一共有10个抽屉。 第二步：应用抽屉原理 现在将11个点放到这10个抽屉中去。 根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）。 第三步：得出结论 由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离就不会大于这个抽屉的长度，也就是不大于1厘米。 所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于1厘米。 【方法总结】 线段点距离问题解题步骤： 1. 将线段平均分成若干段（每段长度就是最大距离） 2. 每段就是一个抽屉，段数=抽屉数 3. 比较点数和段数：点数＞段数 → 一定有两个点在同一段 4. 同一段内的两个点，距离不大于每段的长度 🚀 随堂小练4 在长度是15厘米的线段上任意取16个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？为什么？ 【拓展2 奇偶性问题】★★★拔高 【题目】 有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？ 【解题思路】 这道题的关键是：每堆水果中苹果和桔子的个数，各有奇数和偶数两种可能。 我们可以把"苹果和桔子的奇偶搭配"看作抽屉，把"堆"看作物品。 如果堆数比搭配种类多，根据抽屉原理，至少有两堆属于同一种搭配。 同一种搭配的两堆合在一起，苹果总数和桔子总数都是偶数。 【完整解析】 第一步：分析奇偶搭配的种类 由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。 对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形： （奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶） 其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性。 第二步：构造抽屉 将这4种情形看成4个抽屉。 第三步：应用抽屉原理 现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形。 第四步：得出结论 由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数。 所以，一定能找到这样的两堆。 【方法总结】 奇偶性问题解题步骤： 1. 找出所有可能的奇偶搭配方式（抽屉数） 2. 比较堆数和搭配种类数：堆数＞种类数 → 一定有两堆属于同一种搭配 3. 同一种搭配的两堆合在一起，对应属性的总数就是偶数 🚀 随堂小练5 有红球和蓝球若干个，任意分成4堆，能否找到这样两堆，使红球的总数与蓝球的总数都是偶数？ 【拓展3 三数和是3的倍数】★★★★挑战 【题目】 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？ 【解题思路】 这道题比例2复杂一些。例2只需要两个数，这道题需要三个数。 我们还是从除以3的余数入手，余数有0、1、2三种情况（三个抽屉）。 五个数放进三个抽屉，有两种情况： 情况一：有一个抽屉里至少有三个数 → 这三个数余数相同，和就是3的倍数 情况二：每个抽屉里最多两个数 → 每个抽屉都有数，各取一个，余数0+1+2=3，和就是3的倍数 两种情况都能找到三个数的和是3的倍数。 【完整解析】 第一步：确定抽屉 根据例2的讨论，任何整数除以3的余数只能是0、1、2。 我们把余数的三种情形看作三个抽屉。 第二步：分类讨论 现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数。 于是可分下面两种情形来加以讨论。 第一种情形：有三个数在同一个抽屉里 即这三个数除以3后具有相同的余数。 因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍，所以能被3整除。 因此这三个数之和能被3整除。 第二种情形：至多有两个数在同一个抽屉里 那么每个抽屉里都有数（因为5个数，3个抽屉，每个最多2个，2×3=6＞5，所以不可能有空抽屉）。 在每个抽屉里各取一个数，这三个数被3除的余数分别为0、1、2。 余数之和：0+1+2=3，是3的倍数。 因此这三个数之和能被3整除。 第三步：得出结论 综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数。 【方法总结】 复杂抽屉原理问题解题技巧： 1. 先确定抽屉和物品 2. 如果直接用抽屉原理不够，就分情况讨论 3. 每种情况都要验证结论是否成立 4. 所有情况都成立时，才能得出最终结论 🚀 随堂小练6 在任意的七个自然数中，是否其中必有四个数的和是4的倍数？ ⚠️ 四、易错题专区 —— 避开这些坑，你就是抽屉原理小达人！ 【易错题1 抽屉数算错】★★提升 【题目】 用红、黄、蓝三种颜色给2行的方格图涂色，每列2个小方格，每个小方格涂一种颜色。小明说："只要有7列，就一定有两列涂色完全相同。"小明说得对吗？为什么？ 【易错点分析】 很多同学算涂色方式数的时候容易算错。 错误算法：3种颜色，2个格子，所以3×2=6种。 但这是错的！因为两个格子都可以涂同一种颜色，应该是3×3=9种。 【正确解法】 第一步：计算涂色方式数 每列有2个小方格，每个小方格都可以涂红、黄、蓝三种颜色。 第一个格子：3种选择 第二个格子：3种选择 一共：3 × 3 = 9（种） 分别是：红红、红黄、红蓝、黄红、黄黄、黄蓝、蓝红、蓝黄、蓝蓝 第二步：应用抽屉原理 9种涂色方式 = 9个抽屉 7列 = 7件物品 7 ＜ 9，物品数少于抽屉数，不能保证一定有两列涂色相同。 第三步：得出结论 小明说得不对。因为有9种不同的涂色方式，7列可能每列都不一样，不能保证一定有两列涂色完全相同。 （至少需要10列，才能保证一定有两列涂色相同） 【避坑提醒】 计算涂色方式数时，每个格子都可以涂任何颜色，不要默认颜色不能重复！ 除非题目说"颜色不相同"，否则每个格子的颜色选择都是独立的。 【易错题2 最不利原则忘记+1】★★★拔高 【题目】 箱子里有红、黄、蓝三种颜色的球各10个。至少要取出多少个球，才能保证一定有2个球颜色相同？ 【易错点分析】 很多同学会直接说"3个"，因为有3种颜色，取3个就一定有相同的。 但这是错的！最不利的情况是：取了3个球，每种颜色各1个，这时候还没有2个颜色相同的。 需要再取1个，才能保证一定有2个颜色相同。 【正确解法】 第一步：分析最不利情况 要保证有2个球颜色相同，最不利的情况就是：每种颜色都先取到1个。 3种颜色，每种1个：3 × 1 = 3（个） 第二步：再加1个 这时候再取1个球，不管是什么颜色，那种颜色就有2个了。 第三步：计算 3 + 1 = 4（个） 答：至少要取出4个球，才能保证一定有2个球颜色相同。 【避坑提醒】 最不利原则的核心公式：最不利情况数 + 1 一定要记住最后要加1！这是最高频的错误！ 【易错题3 "两双"理解错】★★★拔高 【题目】 箱子里有红、黄、黑、白四种颜色的袜子各很多只。至少要取出多少只袜子，才能保证有2双同色的袜子？ 【易错点分析】 很多同学对"2双同色袜子"理解错了。 错误理解1：2双就是2只，只要有2只同色就行。 错误理解2：2双就是4只，只要有4只袜子就行，不管颜色。 正确理解：2双同色袜子 = 4只同颜色的袜子。 【正确解法】 第一步：明确"2双同色"的含义 2双同色袜子 = 4只同颜色的袜子 第二步：分析最不利情况 要保证有4只同色的袜子，最不利的情况就是：每种颜色都先取到3只（差1只就2双了）。 4种颜色，每种3只：4 × 3 = 12（只） 第三步：再加1只 这时候再取1只袜子，不管是什么颜色，那种颜色就有4只了，也就是2双。 第四步：计算 12 + 1 = 13（只） 答：至少要取出13只袜子，才能保证有2双同色的袜子。 【避坑提醒】 "n双同色" = 2n只同颜色的袜子 1双 = 2只同色 2双 = 4只同色 5双 = 10只同色 要看清题目是"同色"还是"不同色"！ 🎮 五、趣味挑战题 —— 开动脑筋，挑战一下更有趣的抽屉原理问题！ 【趣味挑战 神奇的"生日悖论"】★★★★挑战 【问题】 你知道吗？在一个23人的班级里，有两个人生日相同的概率竟然超过了50%！ 这就是著名的"生日悖论"。 请你用抽屉原理来解释一下：为什么23个人中，很可能有两个人生日相同？ 【提示】 1. 一年有365天（不考虑闰年） 2. 23个人中，每两个人都可以组成一对 3. 算一算23个人一共可以组成多少对？ 【答案】 我们来算一算：23个人中，每两个人组成一对，一共有多少对？ 第1个人可以和其他22个人组成22对 第2个人可以和其他21个人组成21对 …… 第22个人可以和第23个人组成1对 一共：22 + 21 + … + 1 = 253（对） 253对，每对都有可能生日相同。虽然每一对生日相同的概率只有1/365，但253对中，至少有一对生日相同的概率就很大了。 （精确计算的话，概率约为50.7%，确实超过了50%） 这就是"生日悖论"的神奇之处！ 🧠 思考题： 如果一个班级有50个人，你觉得有两个人生日相同的概率大概是多少？ （答案：约97%，几乎一定有！是不是很神奇？） 💡 六、一题多解精选 —— 一道题，多种解法，看看你最喜欢哪种？ 【经典题 袜子问题】 【题目】 箱子里有红、黄、蓝三种颜色的袜子各很多只。至少要取出多少只袜子，才能保证有2只颜色相同？ 解法一：最不利原则法（推荐） 思路：先考虑最坏的情况，再加1。 最不利情况：每种颜色各取1只，共3只。 再加1只：3 + 1 = 4（只） 答：至少取4只。 解法二：抽屉原理法 思路：把颜色看作抽屉，袜子看作物品。 3种颜色 = 3个抽屉 要保证至少有一个抽屉里有2只袜子 根据抽屉原理，物品数要多于抽屉数 所以至少需要：3 + 1 = 4（只） 答：至少取4只。 解法三：枚举验证法 思路：从少到多，逐一验证。 取1只：只有1只，不可能有2只相同。❌ 取2只：可能是1红1黄，颜色不同。❌ 取3只：可能是1红1黄1蓝，颜色都不同。❌ 取4只：只有3种颜色，根据抽屉原理，至少有2只颜色相同。✓ 答：至少取4只。 【方法对比】 三种方法都能得到正确答案，但各有特点： 1. 最不利原则法：最常用，适合"保证有"类问题 2. 抽屉原理法：最本质，直接应用原理 3. 枚举验证法：最直观，适合数量少的情况 你最喜欢哪种方法呢？ ✏️ 七、基本练习（基础必做，建议10分钟完成） 第1题 ★基础 某班32名小朋友是在5月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？ 第2题 ★基础 班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？ 第3题 ★★提升 在任意三个自然数中，是否其中必有两个数，它们的和为偶数？ 第4题 ★★提升 幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？ 第5题 ★★★拔高 一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子，颜色有红、黄、黑、白四种。不允许用眼睛看，那么至少要取出多少只袜子，才能保证有2双同色的袜子？ 🔥 八、拓展练习（拔高选做，学有余力的同学挑战） 第1题 ★★★拔高 学校举行开学典礼，要沿操场的400米跑道插40面彩旗。能否找到一种插法，使得任何两面彩旗之间的距离都大于10米？ 第2题 ★★★拔高 用红、蓝、黄三种颜色将一个2×7方格图中的小方格涂色，每个小方格涂一种颜色，每一列的两小格涂的颜色不相同。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？ 第3题 ★★★★挑战 一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子，颜色有红、黄、黑、白四种。不允许用眼睛看，那么至少要取出多少只袜子，才能保证有5双同色的袜子？ 📝 九、随堂小练完整答案 随堂小练1答案 【题目】某校三年级有368名学生，他们都是2010年出生的。请问：是否一定有两个学生生日在同一天？为什么？ 【答案】一定有。 【解析】 2010年是平年，全年有365天。 把365天看作365个抽屉，368名学生看作368件物品。 368 ＞ 365，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有不少于2件物品。 所以，一定有两个学生生日在同一天。 随堂小练2答案 【题目】任意给出5个自然数，证明：其中必有两个数的差是4的倍数。 【答案】是的，必有两个数的差是4的倍数。 【解析】 任何整数除以4，余数只能是0、1、2、3四种情况。 把这四种余数情况看作4个抽屉。 5个自然数放进4个抽屉，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有不少于2个数。 也就是说，至少有两个数除以4的余数相同。 余数相同的两个数，它们的差一定是4的倍数。 随堂小练3答案 【题目】用红、黄、蓝三种颜色给一个3行的方格图的每一列涂色，每列3个小方格，每个小方格涂一种颜色。请问：至少需要多少列，才能保证一定有两列的涂色方式完全相同？ 【答案】至少需要28列。 【解析】 每列有3个小方格，每个小方格都可以涂红、黄、蓝三种颜色。 涂色方式一共有：3 × 3 × 3 = 27（种） 把27种涂色方式看作27个抽屉。 要保证至少有两列涂色相同，根据最不利原则： 最不利情况：27列，每列涂色都不一样。 再加1列：27 + 1 = 28（列） 所以，至少需要28列，才能保证一定有两列涂色方式完全相同。 随堂小练4答案 【题目】在长度是15厘米的线段上任意取16个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？为什么？ 【答案】是的，至少有两个点距离不大于1厘米。 【解析】 把15厘米的线段15等分，每段长度是1厘米。 把这15段看作15个抽屉。 16个点放进15个抽屉，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有不少于2个点。 同一个抽屉里的两个点，它们之间的距离不大于1厘米。 所以，至少有两个点距离不大于1厘米。 随堂小练5答案 【题目】有红球和蓝球若干个，任意分成4堆，能否找到这样两堆，使红球的总数与蓝球的总数都是偶数？ 【答案】不一定能找到。 【解析】 每堆球中，红球和蓝球的个数各有奇数和偶数两种可能。 奇偶搭配一共有4种：（奇，奇）、（奇，偶）、（偶，奇）、（偶，偶） 把这4种搭配看作4个抽屉。 4堆球放进4个抽屉，可能每个抽屉里正好1堆。 这时候，任意两堆的搭配都不同，合在一起不一定都是偶数。 例如：（奇，奇）+（奇，偶）=（偶，奇），蓝球总数是奇数。 所以，4堆不一定能找到这样的两堆。 （如果是5堆，就一定能找到了） 随堂小练6答案 【题目】在任意的七个自然数中，是否其中必有四个数的和是4的倍数？ 【答案】是的，必有四个数的和是4的倍数。 【解析】 这道题比较复杂，我们可以分情况讨论。 任何整数除以4，余数只能是0、1、2、3四种情况（4个抽屉）。 7个自然数放进4个抽屉，有很多种情况。 我们可以证明：不管怎么放，都能找到4个数的和是4的倍数。 情况一：有一个抽屉里至少有4个数 这4个数余数相同，它们的和的余数 = 余数×4，是4的倍数。✓ 情况二：每个抽屉里最多3个数 7个数，4个抽屉，每个最多3个。我们分三种子情况： 子情况A：有一个抽屉有3个数，还有一个抽屉有3个数，剩下两个抽屉各有0或1个数 从两个有3个数的抽屉里各取2个数，共4个数。 它们的和的余数 = 2×余数1 + 2×余数2 = 2×(余数1+余数2) 如果余数1+余数2是偶数，那和就是4的倍数。 如果余数1+余数2是奇数，我们可以调整取法，总能找到4个数的和是4的倍数。✓ 子情况B：有一个抽屉有3个数，其他三个抽屉各有1或2个数 从有3个数的抽屉里取2个，再从另外两个抽屉里各取1个，通过合理选择，总能找到4个数的和是4的倍数。✓ 子情况C：每个抽屉都不超过2个数 7个数，4个抽屉，每个最多2个，说明至少有3个抽屉里有2个数（因为4×2=8＞7）。 从三个有2个数的抽屉里，选两个抽屉各取2个，它们的和的余数 = 2×余数1 + 2×余数2。 通过选择合适的两个抽屉，总能找到和是4的倍数的4个数。✓ 📝 十、基本练习完整分步答案 第1题答案 【题目】某班32名小朋友是在5月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？ 【解析】 第一步：找抽屉 5月份有31天，把31天看作31个抽屉。 第二步：找物品 32名小朋友看作32件物品。 第三步：应用抽屉原理 物品数（32）＞ 抽屉数（31） 根据抽屉原理1，至少有一个抽屉里有不少于2件物品。 第四步：得出结论 所以，一定能找到两个生日是在同一天的小朋友。 【答案】能找到。因为5月份有31天，32名小朋友的生日放进31个"日期抽屉"里，根据抽屉原理，至少有两个小朋友生日在同一天。 第2题答案 【题目】班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？ 【解析】 这道题是抽屉原理的反向应用，也是最不利原则的应用。 第一步：分析最不利情况 要保证至少有一个小朋友得到不少于两本书，最不利的情况就是：每个小朋友都先得到1本书。 50个小朋友，每人1本书，一共需要50本书。 第二步：再加1本 这时候再拿1本书，不管分给哪个小朋友，那个小朋友就有2本书了。 第三步：计算总数 50 + 1 = 51（本） 【答案】至少要拿51本书。 第3题答案 【题目】在任意三个自然数中，是否其中必有两个数，它们的和为偶数？ 【解析】 第一步：分析自然数的奇偶性 自然数按奇偶性分，只有两种情况：奇数和偶数。 我们可以把"奇数"和"偶数"看作两个抽屉。 第二步：应用抽屉原理 三个自然数放进两个抽屉，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有不少于两个数。 也就是说，至少有两个数都是奇数，或者都是偶数。 第三步：分析和的奇偶性 奇数 + 奇数 = 偶数 偶数 + 偶数 = 偶数 所以，这两个数的和一定是偶数。 【答案】是的，必有两个数的和为偶数。因为三个自然数中至少有两个同是奇数或同是偶数，它们的和一定是偶数。 第4题答案 【题目】幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？ 【解析】 第一步：找出所有可能的选择方式 三种玩具：小汽车、小火车、小飞机。 每个小朋友选两件，有几种选法呢？ 我们分两类来算： 第一类：选两件相同的（选两个小汽车、两个小火车、两个小飞机） 第二类：选两件不同的（小汽车+小火车、小汽车+小飞机、小火车+小飞机） 一共：3 + 3 = 6（种） 第二步：构造抽屉 把这6种选择方式看作6个抽屉。 第三步：应用最不利原则 要保证有两人选的玩具相同，最不利的情况是：6个小朋友，每人选的都不一样，正好每个抽屉里1个人。 这时候再来1个小朋友，不管他选哪种，都会和前面的某个人相同。 第四步：计算 6 + 1 = 7（个） 【答案】至少要有7个小朋友。 第5题答案 【题目】一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子，颜色有红、黄、黑、白四种。不允许用眼睛看，那么至少要取出多少只袜子，才能保证有2双同色的袜子？ 【解析】 注意：2双同色的袜子 = 4只同色的袜子 第一步：分析最不利情况 要保证有2双（4只）同色的袜子，最不利的情况就是：每种颜色都先取到3只（差1只就2双了）。 4种颜色，每种3只：4 × 3 = 12（只） 第二步：再加1只 这时候再取1只，不管是什么颜色，那种颜色就有4只了，也就是2双。 第三步：计算 12 + 1 = 13（只） 【答案】至少要取出13只袜子。 📝 十一、拓展练习完整分步答案 第1题答案 【题目】学校举行开学典礼，要沿操场的400米跑道插40面彩旗。能否找到一种插法，使得任何两面彩旗之间的距离都大于10米？ 【解析】 这道题可以用抽屉原理来思考，也可以直接计算。 方法一：抽屉原理法 第一步：构造抽屉 400米的跑道，插40面彩旗，就把跑道分成了40段。 我们把这40段看作40个抽屉。 第二步：分析总长度 40段的总长度是400米。 第三步：应用抽屉原理（反向思考） 如果每段的长度都大于10米，那么40段的总长度就会大于40 × 10 = 400米。 但跑道总长只有400米，这是不可能的。 第四步：得出结论 所以，不可能每段都大于10米。 也就是说，至少有一段的长度不大于10米。 因此，不能找到这样的插法。 方法二：直接计算法 如果每两面彩旗之间的距离都大于10米， 那么40面彩旗之间的40段距离，总长度就会大于40×10=400米。 但跑道总长只有400米，这是不可能的。 所以不能找到这样的插法。 【答案】不能找到。因为40面彩旗把400米跑道分成40段，如果每段都大于10米，总长度就会大于400米，与跑道总长400米矛盾。所以至少有两面彩旗之间的距离不大于10米。 第2题答案 【题目】用红、蓝、黄三种颜色将一个2×7方格图中的小方格涂色，每个小方格涂一种颜色，每一列的两小格涂的颜色不相同。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？ 【解析】 第一步：找出所有可能的涂色方式 每列有2个小方格，三种颜色，且两格颜色不同。 第一格有3种选择，第二格有2种选择（不能和第一格相同）。 一共：3 × 2 = 6（种） 具体是： ① 红蓝 ; ② 红黄 ; ③ 蓝红 ④ 蓝黄 ; ⑤ 黄红 ; ⑥ 黄蓝 第二步：构造抽屉 把这6种涂色方式看作6个抽屉。 第三步：应用抽屉原理 方格图有7列，将7列放入6个抽屉。 根据抽屉原理，至少有一个抽屉中有不少于两列。 第四步：得出结论 这两列的小方格中涂的颜色完全相同。 所以，一定存在两列涂色完全相同。 【答案】存在。因为每列两格颜色不同的涂色方式只有6种，7列放进6个"涂色抽屉"里，根据抽屉原理，至少有两列涂色完全相同。 第3题答案 【题目】一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子，颜色有红、黄、黑、白四种。不允许用眼睛看，那么至少要取出多少只袜子，才能保证有5双同色的袜子？ 【解析】 注意：5双同色的袜子 = 10只同色的袜子 第一步：分析最不利情况 要保证有5双（10只）同色的袜子，最不利的情况就是：每种颜色都先取到9只（差1只就5双了）。 4种颜色，每种9只：4 × 9 = 36（只） 第二步：再加1只 这时候再取1只，不管是什么颜色，那种颜色就有10只了，也就是5双。 第三步：计算 36 + 1 = 37（只） 【答案】至少要取出37只袜子。 📚 十二、本讲总结 （一）思维导图速记 （二）核心公式速查表 题型 抽屉数 物品数 结论 生日问题 一年的天数 人数 人数＞天数 → 一定有生日相同 余数问题 余数种类数 数的个数 个数＞种类数 → 一定有两个数余数相同 涂色问题 涂色方式数 列数 列数＞方式数 → 一定有两列涂色相同 线段问题 段数 点数 点数＞段数 → 一定有两点距离≤每段长 最不利原则 最不利情况数 + 1 保证满足条件的最少数量 袜子问题 颜色数×(目标双数×2-1) + 1 保证n双同色的最少只数 （三）避坑清单 坑1：抽屉数算错 —— 比如闰年366天，平年365天，不要搞混 坑2：物品数和抽屉数搞反 —— 记住：物品数多，抽屉数少 坑3：涂色方式遗漏 —— 要按顺序列举，不要漏掉任何一种 坑4：最不利原则忘记+1 —— 最不利情况+1才是保证满足的最少数量 坑5："两双"理解错 —— 两双=4只同色，不是2只不同色 坑6：复杂问题不分类 —— 遇到"至少有几个"的复杂问题，要分情况讨论 坑7：颜色可以重复吗？—— 要看清题目，题目说"颜色不同"才不能重复 （四）解题小口诀 【抽屉原理口诀】 抽屉原理真奇妙，找对抽屉是关键。 天数余数颜色数，都能当作抽屉看。 物品多来抽屉少，至少一个装两件。 最不利加一，保证满足不会错！ 【最不利原则口诀】 要保证，先最坏，差一点点就成功。 再加一个就满足，最不利原则要记清！ —— 本讲结束，💪加油！你已经掌握了最不利原则与鸽巢原理—— 学科网（北京）股份有限公司 $