1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间的点、直线与空间向量核心知识点，从点的位置向量入手，逐步过渡到直线的方向向量，进而探究空间两直线的平行、垂直关系及所成角，构建从基础概念到应用的学习支架。 资料通过即学即练、典例与变式结合，以具体问题引导学生用数学眼光抽象空间关系，用向量语言表达几何问题，培养逻辑推理能力。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

1.2.1 空间的点、直线与空间向量 教学目标 1.能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量。 2.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行的关系。 3.能用向量方法证明线面垂直的判定定理。 教学重难点 1.重点 （1）利用向量方法解决空间两直线的平行、垂直、异面的位置关系； （2）求空间两直线所成的角。 2.难点 利用直线的方向向量研究两直线的位置关系。 知识点01 空间中的点与空间向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定.此时，称为点P的位置向量. 【即学即练】 （25-26高二上·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示的坐标，再根据中点坐标公式计算可得． 【详解】因为向量，，其中O为坐标原点， 所以，， 所以的中点的坐标为， 故选：D 知识点02 空间中的直线与空间向量 定义：一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l. (1)如果A，B为直线l上的两个不同点，则v＝就是直线l的一个方向向量. (2)如果v为直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行. (3)空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定. (4)如果v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合. 【注意】(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. (3)直线l方向向量的常用求法：取直线l上两点，分别为起点与终点. 【即学即练】 （23-24高二上·山西·阶段检测）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 知识点03 空间中两条直线所成的角 1. v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ. 如图，则①θ的范围为. ②θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉. ③sin θ＝sin〈v1，v2〉或cos θ＝|cos〈v1，v2〉|. ④l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0. 2. 两异面直线所成角的求法 (1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解. (2)向量法：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，a与b的夹角为φ，则l1与l2所成角θ满足cos θ＝|cos φ|＝.两直线所成的角θ∈，而两向量所成的角的范围为(0，π)，一定要注意其关系为相等还是互补. 【即学即练】 （25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 题型01 求空间中点的坐标 【典例1】（24-25高二下·陕西西安·阶段检测）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，根据得到方程组，求出答案. 【详解】由四边形是平行四边形知， 设，则，又， 所以，解得，即D点坐标为. 故选：C 【变式1】（23-24高二上·辽宁·阶段检测）已知，若，则的坐标是__________. 【答案】 【分析】应用空间向量数乘及向量相等即可. 【详解】因为，设 则， 所以， 则， 即. 故答案为： 【变式2】（25-26高二上·广东汕头·期中）如图，在棱长为4的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，则点的坐标为______.    【答案】 【分析】建系后分别求出，的坐标，设，即得的坐标，利用平面推得，建立的方程组，求解即得. 【详解】如图建系，因正方体的棱长为4，则， 由点在上，且，可得 由点在上，且，可得，则. 又点是平面上一点，故可设，则， 因平面，而平面，故， 即得，解得. 故点的坐标为. 故答案为：. 【变式3】（专题06空间向量的坐标表示及运算（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年高二数学下学期重难点专题提优训练（苏教版2019选择性必修第二册））已知中，，，，求顶点B，C的坐标及. 【答案】，， 【分析】由向量的坐标运算求解即可 【详解】设，，所以， 因为，所以解得 所以B的坐标为． 因为，所以解得 所以C的坐标为 ，． 【变式4】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求：    (1)点，，，，的坐标 (2)向量，，的坐标． 【答案】(1)，，，， (2)，， 【分析】（1）以点为原点，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，进而标点； （2）求点的坐标，结合空间向量的坐标表示求相关向量. 【详解】（1）由题意知，以点为原点， 分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．    则，，，， （2）由（1）可知，, 向量，，. 题型02 求直线的方向向量 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的坐标，求得坐标，即可判断. 【详解】由题意得，则，所以为直线的一个方向向量. 故选：B 【变式1】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·河南濮阳·阶段检测）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 C．若空间向量、、为非零向量，且，，则 D．若，则可知 【答案】CD 【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据向量平行的判定定理分析判断；对于D：根据向量的线性运算分析判断. 【详解】A：若，则，夹角可能为，故A错误； B：当时，，不是直线l的方向向量，所以B错误； C：若空间向量，，为非零向量，且， 则存在非零实数，，使得，， 所以，所以，故C正确； D：因为，即， 可得，即，所以D正确； 故选：CD 【变式3】（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 【变式4】（2025高二上·河南鹤壁·专题练习）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，得，则，故B正确； 令，则，即不符合题意，故A错误； 令，则，即不符合题意，故C错误； 令，则，即不符合题意，故D错误. 故选：B． 题型03 直线的垂直与平行证明 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系：以为原点，分别以为轴， 根据已知边长，，，写出各点坐标： ，是中点，得； 是中点，得, 求向量： , 计算向量的数量积可得：， 由数量积为0可判断两向量垂直，即与垂直. 【变式1】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． （2）解：由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 【变式2】（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点.证明：. 【答案】 如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. 【分析】空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； 【详解】略 【变式3】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 【答案】证明:依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，，，分别是棱，，，的中点，． 所以，，，． 所以，， 则，而点直线，所以． 【详解】略. 【变式4】（25-26高二·全国·课后作业）在正方体中，已知分别是的中点，求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）再正方体中建立空间直角坐标系，由正方体棱长，写出点的坐标，从而得到和的坐标，由坐标得到，从而证明两直线平行； （2）由（1）得点坐标和，坐标，由向量的数量积为0，得到线线垂直. 【详解】（1）根据题意，如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 所以， 所以，所以，所以， 所以. （2）由（1）知，. 所以，所以，即， 所以. 题型04 异面直线夹角的向量求法 【典例1】（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值 【详解】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴， ，, . 设直线和所成角为，则， 所以. 【变式1】（25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用向量法求解. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 则与所成角的余弦值为：. 【变式2】（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设正方体棱长并建立空间直角坐标系，写出各点坐标得到两条直线的方向向量，通过向量点积公式求出向量夹角余弦，再取其绝对值得到异面直线夹角的余弦值． 【详解】 设正方体棱长为， 如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， ，，，， ，， 所以， 所以与夹角的余弦值为． 【变式3】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 设直线与所成的角为，则， 即直线与所成角的余弦值为. 题型05 已知线线角求其他量 【典例1】（24-25高二上·广东广州·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由向量数量积的坐标运算，以及向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设，又，， 所以，， 根据向量点积公式，， ，， 已知直线与直线所成角的余弦值为， 则， 两边平方可得， 所以， 所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以点的坐标为. 故选：D 【变式1】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为__________. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线夹角的向量公式即可求解. 【详解】如图，在三棱锥中，，，， 平面，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，    可知，，， ，， ，则，设，且，则， 可知，， ，，异面直线与所成的角的余弦值为，，解得或（舍去），. 故答案为： 【变式2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则___________. 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 解得（负根舍去），即. 故答案为：1 【变式3】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    【答案】 【分析】建系并标出点，设，，利用空间向量得坐标运算结合线线夹角求得，进而可求锥体的体积. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 故答案为：. 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 【答案】（答案不唯一，只要与向量共线即可） 【详解】因为，在直线上， 所以可以是直线的一个方向向量. 2．（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 【答案】/0.8 【详解】由题意知在直三棱柱中，， 故以B为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 故， 设直线与所成角为， 则. 3．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【答案】4 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线向量公式列方程求解即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图，    设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 4．（24-25高二上·吉林松原·阶段检测）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求出，再利用，解得得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 5．（25-26高一下·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 【答案】B 【分析】根据异面直线的概念判断异面的问题，根据垂直、平行的判断结合空间向量的运算逐一判断平行和垂直问题. 【详解】A：连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故本选项说法不正确； B：连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确； C：以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故本选项不正确； D：因为，， 所以，所以直线与平面内的直线不垂直， 所以直线与平面不垂直，因此本选项说法不正确. 6．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）如图所示，在正方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是（    ） A．直角梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，根据四点共面及向量的运算可得，又因为不共线，从而可证明四边形为平行四边形. 【详解】设正方体的棱长为a，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. ∵在同一个平面内，∴， 即，解得. 所以，，即， 所以且，又因为不共线，所以四边形是平行四边形. 故选：C. 7．（广东省江门市普通高中2024-2025学年高二上学期调研测试（一）数学试卷）（多选）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点，是和的交点，为空间中任意一点，则（   ） A．，，，四点共面 B． C．为直线的方向向量 D． 【答案】AC 【分析】证明四边形是平行四边形即可判断A和B；利用方向向量的概念即可判断C；利用向量加法运算计算判断D作答. 【详解】在四面体中，，，，分别是，，，的中点， 则，， 于是得四边形是平行四边形，故，，，四点共面，即A正确； 因平行四边形两条对角线不一定垂直，即不一定垂直，则不一定成立，B不正确； 因，，则为直线的方向向量，C正确； 平行四边形中，是和的交点，则是中点，对空间任意一点， 则，D不正确. 故选：AC. 8．（25-26高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算可知,，通过数量积求出，进而求出. 【详解】利用空间向量的线性运算可知， 所以， 即, 由于, 所以，， 所以，故 ，即， 故平行四边形为矩形， 9．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 所以， 所以，故； (2) 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积与垂直的关系可证明； (2)直接结合（1）中的坐标系，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）略； （2），， 所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角范围， 故异面直线与所成角的余弦值为 10．（25-26高二上·广东韶关·期末）已知棱长为4的正方体中，分别为AB，BD的中点. (1)求证：； (2)求直线和所成角的余弦值. 【答案】(1) 解法一：如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， . 解法二：连接，在正方体中有： 平面， 平面， ， 又，平面， 平面， 又平面， . (2) 【分析】（1）解法一：以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求出和，根据证明；解法二：通过证明平面，从而得到； （2）求出和，利用向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，，， ， ， ，， ， 故直线和所成角的余弦值为. 11．（25-26高二上·湖南永州·期中）如图，在正方体中棱长为分别是的中点，点在线段上（包括两个端点）运动,当为线段的中点时 (1)求证：； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 求出，由即可证明； （2）求平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）以分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    则 ，， 因为分别是棱的中点，所以， 当为线段的中点时，则， 因为，，所以，即； （2）因为，，设平面的一个法向量为， 由，，得，取，则， 又因为是平面的一个法向量， 设平面与平面所成的二面角的平面角为， 则， 因为为锐角，则， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为 12．（2025·江苏苏州·三模）如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) 如图，连接交于点，连接， 因为正四棱锥，所以平面， 又平面， 所以，因为正四棱锥， 所以四边形是正方形， 所以，因为，，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以； (2) 【分析】（1）连结交于点，连结，证明四边形是正方形，证明平面，证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解. 【详解】（1）略 （2） 因为，，， 所以以为原点建立空间直角坐标系， ，，，， 所以， ， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 13．（24-25高一下·吉林松原·期末）在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，为的中点，二面角为直二面角. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1) 因为，O为CD的中点， 所以． 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD， 所以平面ABCD． 因为，，，所以． 取的中点，连接，则， 以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，． ，， 因为， 所以． (2). 【分析】（1）证明出，平面ABCD，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）求出平面的法向量，利用线面角求解公式得到答案； 【详解】（1）略 （2），， 设平面PAB的一个法向量为， 则，即， 解得，令，则，则． 设直线PC与平面PAB所成的角为， 又， 则， 所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为． 14．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)因为E，F分别为，的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为 ，，且E为的中点，所以， 则四边形为平行四边形， 则.又平面，平面，所以 平面. 因为平面，平面， ，所以平面 平面. (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得到平面和 平面，再利用面面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量，从而得到锥体的高，最后利用锥体的体积公式即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 设 （ ），则，，，， 则，. 因为异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得， 故四棱锥的体积为. 1．（2025·湖南张家界·模拟预测）如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】过点在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，，由勾股定理可得， 由得， 翻折前，在梯形中，，所以， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 则， 因为，所以， 故点、、、， 所以，， 设直线与所成的角为，则， 所以， 故，所以， 因此异面直线与所成角的正切值为. 2．（25-26高一下·山西太原·期末）如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：异面直线求夹角作平行线与已知直线相交，构成的夹角为异面直线所成角，通过解三角形计算取值范围；法二：通过建立空间直角坐标系，利用三角函数法对点设出坐标，将异面直线所成角转化为两条直线方向向量所成的角，进而计算取值范围． 【详解】法一：取底面圆心为，连接，，，作，垂足为，连接； 因为是的中点，为的中点，故； 则即为直线与所成角； 设底面半径为，则，，； 因为，，故； 由余弦定理可知 由， 因为是底面圆周上一动点，故，则； 代入可得； 法二：取的中点，连接，与的中点， 由圆锥的垂直关系可知垂直于底面，与的中点的连线垂直于直径； 故以为原点，与的中点的连线为轴，为轴建立空间直角坐标系； 因为圆锥的轴截面是等边三角形，设，则； 故，，，，设； 则，； 则； 则直线与所成角的余弦值为； 因为，则，． 3．（2026·河南·三模）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面底面，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，求出异面直线的方向向量，通过向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值． 【详解】取的中点，连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且． 又平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面． 以为坐标原点，方向为轴正方向，底面内垂直于的方向为轴正方向， 方向为轴正方向建立空间直角坐标系，可得各点坐标： ，，，． 因为是的中点，所以，则，． 设异面直线与所成角为，，则． 计算得： ，， ， ， 代入得． 4．（25-26高一下·山东·期末）（多选）已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则（     ） A． B．三棱锥的内切球半径为 C．的取值范围为 D．若平面，则使直线与所成角为的点有个 【答案】ABC 【详解】设正三棱锥顶点在底面的投影为底面中心，作于点， 底面边长为，，则，. 对于A，，A正确； 对于B，因，则三棱锥的侧面积为， 则表面积，设三棱锥的内切球半径为， 因三棱锥的体积为， 则由可得，B正确； 对于C，易知点为的中点，且， 所以 当重合时，． 下面求的最大值． 三棱锥表面上的任意点均在某个三角形面内，而三角形内一点到定点的距离不超过该三角形三个顶点到的距离中的最大值． 四个顶点到的距离分别为 所以，且最小值在重合时取得，最大值在重合时取得． 又当沿三棱锥表面上的折线连续移动时，的长度可以取遍内的所有数， 因此，从而，故C正确． 对于D，若平面且在三棱锥表面上，则位于三角形内或其边界上． 以为原点，建立空间直角坐标系，使轴平行于，轴沿方向． 则，设，， 由于三角形在轴方向上的投影长度为6，且投影关于原点对称，所以 设直线与所成角为，则 因此，不存在使直线与所成角为的点，更不是3个，故D错误．    5．（25-26高二上·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． (1)若，证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1) 如图连接交于点，连接 因为且， 所以， 因为，所以， 所以，所以 ， 又因为平面，平面, 所以平面 (2) 【分析】（1）根据平行线等分线段定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系，则,， 则,， 因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则 ，即，令，得， 所以，解得或（舍） 所以的值为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.1 空间的点、直线与空间向量 教学目标 1.能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量。 2.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行的关系。 3.能用向量方法证明线面垂直的判定定理。 教学重难点 1.重点 （1）利用向量方法解决空间两直线的平行、垂直、异面的位置关系； （2）求空间两直线所成的角。 2.难点 利用直线的方向向量研究两直线的位置关系。 知识点01 空间中的点与空间向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定.此时，称为点P的位置向量. 【即学即练】 （25-26高二上·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 知识点02 空间中的直线与空间向量 定义：一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l. (1)如果A，B为直线l上的两个不同点，则v＝就是直线l的一个方向向量. (2)如果v为直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行. (3)空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定. (4)如果v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合. 【注意】(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. (3)直线l方向向量的常用求法：取直线l上两点，分别为起点与终点. 【即学即练】 （23-24高二上·山西·阶段检测）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 知识点03 空间中两条直线所成的角 1. v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ. 如图，则①θ的范围为. ②θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉. ③sin θ＝sin〈v1，v2〉或cos θ＝|cos〈v1，v2〉|. ④l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0. 2. 两异面直线所成角的求法 (1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解. (2)向量法：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，a与b的夹角为φ，则l1与l2所成角θ满足cos θ＝|cos φ|＝.两直线所成的角θ∈，而两向量所成的角的范围为(0，π)，一定要注意其关系为相等还是互补. 【即学即练】 （25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 题型01 求空间中点的坐标 【典例1】（24-25高二下·陕西西安·阶段检测）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·辽宁·阶段检测）已知，若，则的坐标是__________. 【变式2】（25-26高二上·广东汕头·期中）如图，在棱长为4的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，则点的坐标为______.    【变式3】（专题06空间向量的坐标表示及运算（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年高二数学下学期重难点专题提优训练（苏教版2019选择性必修第二册））已知中，，，，求顶点B，C的坐标及. 【变式4】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求：    (1)点，，，，的坐标 (2)向量，，的坐标． 题型02 求直线的方向向量 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【变式2】（24-25高二上·河南濮阳·阶段检测）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 C．若空间向量、、为非零向量，且，，则 D．若，则可知 【变式3】（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2025高二上·河南鹤壁·专题练习）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 题型03 直线的垂直与平行证明 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 【变式1】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【变式2】（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点.证明：. 【变式3】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 【变式4】（25-26高二·全国·课后作业）在正方体中，已知分别是的中点，求证： (1)； (2). 题型04 异面直线夹角的向量求法 【典例1】（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 题型05 已知线线角求其他量 【典例1】（24-25高二上·广东广州·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为__________. 【变式2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则___________. 【变式3】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 2．（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 3．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 4．（24-25高二上·吉林松原·阶段检测）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26高一下·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 6．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）如图所示，在正方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是（    ） A．直角梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰梯形 7．（广东省江门市普通高中2024-2025学年高二上学期调研测试（一）数学试卷）（多选）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点，是和的交点，为空间中任意一点，则（   ） A．，，，四点共面 B． C．为直线的方向向量 D． 8．（25-26高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 10．（25-26高二上·广东韶关·期末）已知棱长为4的正方体中，分别为AB，BD的中点. (1)求证：； (2)求直线和所成角的余弦值. 11．（25-26高二上·湖南永州·期中）如图，在正方体中棱长为分别是的中点，点在线段上（包括两个端点）运动,当为线段的中点时 (1)求证：； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； 12．（2025·江苏苏州·三模）如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 13．（24-25高一下·吉林松原·期末）在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，为的中点，二面角为直二面角. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 14．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 1．（2025·湖南张家界·模拟预测）如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山西太原·期末）如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南·三模）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面底面，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·山东·期末）（多选）已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则（     ） A． B．三棱锥的内切球半径为 C．的取值范围为 D．若平面，则使直线与所成角为的点有个 5．（25-26高二上·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． (1)若，证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $