1.1 二次函数的概念 同步课时练 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版九年级上册“二次函数的概念”同步练，以“基础巩固-能力提升-拓展探究”分层，覆盖概念辨析、系数识别、实际建模，梯度合理，适配新授课知识内化与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（选择/填空/解答）|二次函数定义及系数识别|选择填空聚焦概念辨析（如判断函数类型），解答题结合简单情境（矩形面积），夯实抽象能力| |能力提升|综合辨析与实际问题建模|函数类型判断（一次/二次）与利润问题建模，发展推理能力与模型意识| |拓展探究|规律猜想与公式应用|平方和规律猜想（n项平方和公式），培养创新意识与数学思维|

第1章 二次函数 1.1 二次函数的概念 同步课时练 【教材版本】浙教版九年级上册　　【建议用时】45分钟　　【满分】100分 【学习目标】 1. 理解二次函数的概念，能从实际问题中抽象出二次函数模型； 2. 能准确判断一个函数是否为二次函数，并指出各项的系数； 3. 会列出简单实际问题中的二次函数表达式，体会数学建模思想。 【知识梳理】 一、二次函数的定义 一般地，形如 y = ax² + bx + c（其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0）的函数叫做二次函数。 ◆ a ≠ 0 是二次项系数，决定了函数是否为二次函数（a = 0 时退化为一次函数或常数函数）； ◆ b 是一次项系数，可以为 0；c 是常数项，也可以为 0； ◆ 自变量 x 的最高次数必须是 2，且是整式函数。 二、二次函数的几种特殊形式 y = ax² （b = 0，c = 0） —— 最简单的二次函数，图象关于 y 轴对称 y = ax² + c （b = 0） —— 对称轴为 y 轴，顶点在 y 轴上 y = ax² + bx （c = 0） —— 图象过原点 y = a(x - h)² + k （顶点式） —— 顶点为 (h, k)，对称轴为 x = h 一、选择题（每小题5分，共25分） 1．下列函数中，属于二次函数的是（ ） A．y = 2x + 1 B．y = x² + 3x - 1 C．y = 1/x² D．y = (x + 1)² - x² 2．二次函数 y = 2x² - 3x + 5 中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．2，3，5 B．2，-3，5 C．2，-3，-5 D．-2，3，-5 3．若函数 y = (m - 2)x² + 3x - 1 是二次函数，则 m 的取值范围是（ ） A．m = 2 B．m ≥ 2 C．m ≠ 2 D．m > 2 4．下列实际问题中，所得函数关系为二次函数的是（ ） A．正方形的周长 y 与边长 x 的关系 B．圆的面积 S 与半径 r 的关系 C．汽车以 60km/h 匀速行驶，路程 s 与时间 t 的关系 D．某种商品售价为 20 元，销售额 y 与销售量 x 的关系 5．二次函数 y = (m + 1)x^(m² + 1) + 2x - 3，则 m 的值为（ ） A．1 B．-1 C．1 或 -1 D．±1 二、填空题（每小题5分，共25分） 6．二次函数 y = -3x² + 2x 中，a = ______，b = ______，c = ______。 7．若 y = (k - 1)x² + kx - 2 是关于 x 的二次函数，则 k 满足的条件是 ______。 8．已知函数 y = (m² - m)x² + (m - 1)x + m + 2，当 m ______时，它是一次函数；当 m ______时，它是二次函数。 9．正方形的边长为 x cm，若边长增加 3 cm，则新正方形的面积 y（cm²）与 x 之间的函数关系式为 y = ____________（化为一般式）。 10．某商品每件进价 30 元，售价为 x 元时，每天可卖出 (100 - x) 件，则每天的利润 y（元）与售价 x（元）之间的函数关系式为 y = ____________________。（化为一般式，不写取值范围） 三、解答题（共20分） 11．（10分）判断下列函数是否为二次函数，并说明理由。 （1）y = 3x² - 4x + 1； （2）y = x(x - 2) - x²； （3）y = (x + 1)(x - 3)； （4）y = 2x³ - x² + 1； （5）y = 。 12．（10分）用长为 40 m 的篱笆围一个矩形花圃，设垂直于墙的一边长为 x m， （1）写出矩形花圃的面积 S（m²）关于 x 的函数表达式； （2）此函数是二次函数吗？请说明理由； （3）当 x = 5 时，求花圃的面积。 四、能力提升（共20分） 13．（8分）已知函数 y = (m² - 1)x² + (m + 1)x - 5。 （1）当 m 为何值时，此函数是二次函数？ （2）当 m 为何值时，此函数是一次函数？ 14．（12分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。 为了扩大销售、增加盈利，商场决定适当降价。经调查发现： 如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。 （1）设每件衬衫降价 x 元，每天盈利 y 元，求 y 关于 x 的函数表达式； （2）该函数是二次函数吗？若降价 5 元，每天盈利多少元？ 五、拓展探究（共10分） 15．（10分）观察下列等式，回答问题： 第1个等式： 1² = 1； 第2个等式： 1² + 2² = 1 + 4 = 5； 第3个等式： 1² + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14； 第4个等式： 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30。 （1）按照上述规律，猜想 1² + 2² + 3² + … + n² 的结果是什么？ （提示：结果可表示为关于 n 的二次函数：S = (1/6)n(n+1)(2n+1)） （2）利用猜想的结果，计算 1² + 2² + 3² + … + 10² 的值。 参考答案与解析 一、选择题 1．B 解析：A是一次函数；C中 x 在分母位置，不是整式；D展开后 y = x² + 2x + 1 - x² = 2x + 1，是一次函数。只有B符合 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的形式。 2．B 解析：y = 2x² + (-3)x + 5，其中 a = 2，b = -3，c = 5。注意一次项系数要带符号。 3．C 解析：二次函数要求二次项系数不为零，即 m - 2 ≠ 0，解得 m ≠ 2。 4．B 解析：A：y = 4x，正比例函数；B：S = πr²，是二次函数；C：s = 60t，正比例函数；D：y = 20x，正比例函数。 5．A 解析：由定义知 x 的最高次数为 2，即 m² + 1 = 2，解得 m² = 1，m = ±1。又要求 m + 1 ≠ 0（二次项系数不零），故 m ≠ -1。因此 m = 1。 二、填空题 6． a = -3，b = 2，c = 0 解析：二次函数标准形式中，二次项系数为 -3，一次项系数为 2，无常数项即 c = 0。 7． k ≠ 1 解析：二次项系数 k - 1 ≠ 0，即 k ≠ 1。 8． m = 0；m ≠ 0 且 m ≠ 1 解析：当二次项系数为零且一次项系数不为零时为一次函数：m² - m = 0 且 m - 1 ≠ 0 → m = 0；当二次项系数不为零时为二次函数：m² - m ≠ 0 → m ≠ 0 且 m ≠ 1。 9． y = x² + 6x + 9 解析：新正方形边长为 x + 3，面积 y = (x + 3)² = x² + 6x + 9。 10． y = -x² + 130x - 3000 解析：每件利润 = x - 30，销量 = 100 - x，y = (x - 30)(100 - x) = 100x - x² - 3000 + 30x = -x² + 130x - 3000。 三、解答题 11．解： （1）是二次函数。符合 y = ax² + bx + c (a = 3 ≠ 0) 的形式。 （2）不是二次函数。化简：y = x² - 2x - x² = -2x，是一次函数。 （3）是二次函数。展开：y = x² - 3x + x - 3 = x² - 2x - 3，a = 1 ≠ 0。 （4）不是二次函数。最高次数为 3，是三次函数。 （5）不是二次函数。含有根号，不是整式函数。 12．解： （1）矩形一边长为 x m，则与墙平行的一边长为 (40 - 2x) m。 S = x(40 - 2x) = -2x² + 40x。 （2）是二次函数。符合 y = ax² + bx + c 形式，其中 a = -2 ≠ 0。 （3）当 x = 5 时，S = -2×5² + 40×5 = -50 + 200 = 150 (m²)。 四、能力提升 13．解： （1）当 m² - 1 ≠ 0，即 m ≠ ±1 时，该函数为二次函数。 （2）当 m² - 1 = 0 且 m + 1 ≠ 0，即 m = 1 时（m = -1 使一次项系数也为零）， 该函数为一次函数：y = (1 + 1)x - 5 = 2x - 5。 综上：一次函数时 m = 1；二次函数时 m ≠ ±1。 14．解： （1）降价 x 元后，每件利润为 (40 - x) 元，每天销量为 (20 + 2x) 件。 y = (40 - x)(20 + 2x) = 800 + 80x - 20x - 2x² = -2x² + 60x + 800。 （2）该函数是二次函数（a = -2 ≠ 0）。 当 x = 5 时，y = -2×5² + 60×5 + 800 = -50 + 300 + 800 = 1050（元）。 五、拓展探究 15．解： （1）猜想：1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6。 这是一个关于 n 的二次函数（展开后：S = (1/3)n³ + (1/2)n² + (1/6)n）。 （2）n = 10 时： S = 1² + 2² + … + 10² = 10×11×21 / 6 = 2310 / 6 = 385。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $