1.4 二次函数的应用 同步课时练 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第1章  二次函数

1.4  二次函数的应用  同步课时练

【教材版本】浙教版九年级上册    【建议用时】45分钟    【满分】100分

【学习目标】

1. 能将实际问题中的数量关系转化为二次函数模型，建立函数表达式；

2. 会利用二次函数的性质解决最大面积、最大利润等最值问题；

3. 能运用二次函数解决抛物线形实际问题（如桥梁、投篮、喷泉等），体会数学建模思想。

【知识梳理】

一、二���函数应用题的解题步骤

◆  第1步（审题）：弄清题意，找出已知量和未知量，确定自变量和因变量；

◆  第2步（建模）：根据题中的等量关系，列出二次函数表达式 y = f(x)；

◆  第3步（求最值）：利用配方法或顶点公式求出最值及对应的自变量的值；

◆  第4步（验证）：检验结果是否符合实际意义（如自变量的取值范围）；

◆  第5步（作答）：写出完整的答案。

二、常见应用类型

◆  面积最值问题：利用周长（边长）关系建立二次函数，求最大面积；

◆  利润最值问题：总利润 = 单件利润 × 销售量，化为二次函数求最大值；

◆  抛物线形实际问题：建立适当的坐标系，利用二次函数图像描述桥梁、喷泉、投篮轨迹等；

◆  定价优化问题：通过调整价格影响销量，求总利润或总收入的最大值。

口诀：审题建模列函数，配方求顶得最值，取值验证莫忘记，实际问题要合理。

一、选择题（每小题5分，共25分）

1. 用一根长为 20 m 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为 x m，面积为 S m²，则 S 关于 x 的函数表达式为（    ）

A. S = x(20 - x)

B. S = x(10 - x)

C. S = 2x(10 - x)

D. S = x(20 - 2x)

2. 某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 60 元，每周可卖出 300 件。经调查，每涨价 1 元，每周少卖 10 件。设每件涨价 x 元，每周利润为 y 元，则 y 关于 x 的函数表达式为（    ）

A. y = (20 + x)(300 - 10x)

B. y = (60 + x)(300 - 10x)

C. y = (20 + x)(300 + 10x)

D. y = (60 - x)(300 + 10x)

3. 一小球以初速度 20 m/s 竖直向上抛出，经过 t 秒后小球的高度 h（米）满足 h = 20t - 5t²，则小球上升的最大高度为（    ）

A. 15 m

B. 20 m

C. 25 m

D. 30 m

4. 某农场计划用 60 m 长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个矩形菜园，要使菜园面积最大，与墙垂直的一边长应为（    ）

A. 10 m

B. 15 m

C. 20 m

D. 30 m

5. 一座抛物线形拱桥，桥拱最高点距水面 4 m，水面宽 12 m。以拱顶为原点建立坐标系（开口向下），则桥拱所在抛物线的解析式为（    ）

A. y = -(1/9)x²

B. y = -(1/12)x²

C. y = -(1/6)x²

D. y = -(1/18)x²

二、填空题（每小题5分，共25分）

6. 用一根 100 cm 长的铁丝弯成一个矩形，该矩形的最大面积为 ______ cm²。

7. 某商品每件成本 30 元，售价为 x 元时，每天可卖出 (100 - x) 件（30 ≤ x ≤ 100），则每天利润 y 关于售价 x 的函数表达式为 y = ________________。

8. 一个球从地面被踢出，飞行高度 h（米）与飞行时间 t（秒）的关系为 h = -5t² + 20t，则球落地的时间为 ______ 秒。

9. 用长度为 80 m 的篱笆围成一个矩形场地，场地一边利用一堵旧墙（旧墙长 30 m，其余三边用篱笆），则场地的最大面积为 ______ m²。

10. 某旅行社组团旅游，若每团人数为 30 人，每人收费 800 元；超过 30 人，每增加 1 人，每人收费降低 10 元。则当人数为 ______ 人时，旅行社收入最大。

三、解答题（共20分）

11. （10分）如图，要用总长为 40 m 的篱笆靠墙（墙长 25 m）围成一个矩形花圃 ABCD，其中边 AD 靠墙，另外三边用篱笆。设 AB = x m，花圃面积为 y m²。

（1）求 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围；

（2）当 x 取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？

 

 

 

 

12. （10分）某商店销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯。销售过程中发现，当售价为 35 元时，月销售量为 600 件；售价每上涨 1 元，月销售量减少 30 件。

（1）设每件售价上涨 x 元，求月利润 y 关于 x 的函数表达式；

（2）当售价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？