1.4 二次函数的应用 同步课时练 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版九年级上册二次函数应用同步练，以“基础巩固-综合应用-拓展探究”分层，覆盖建模、最值、抛物线形问题，梯度衔接紧密，强化数学建模与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固（选择/填空/解答）|单一知识点（函数表达式建立、简单最值）|矩形面积、利润公式直接应用，强化建模步骤| |综合应用（能力提升）|多知识点融合（最值+实际限制、跨情境建模）|斜坡抛物线与直线交点、养殖密度与利润计算，发展推理能力| |拓展探究（拓展探究）|复杂情境应用（动态水位与抛物线、安全判定）|拱桥水位变化及货船通过问题，体现数学眼光与应用意识|

第1章 二次函数 1.4 二次函数的应用 同步课时练 【教材版本】浙教版九年级上册 【建议用时】45分钟 【满分】100分 【学习目标】 1. 能将实际问题中的数量关系转化为二次函数模型，建立函数表达式； 2. 会利用二次函数的性质解决最大面积、最大利润等最值问题； 3. 能运用二次函数解决抛物线形实际问题（如桥梁、投篮、喷泉等），体会数学建模思想。 【知识梳理】 一、二���函数应用题的解题步骤 ◆ 第1步（审题）：弄清题意，找出已知量和未知量，确定自变量和因变量； ◆ 第2步（建模）：根据题中的等量关系，列出二次函数表达式 y = f(x)； ◆ 第3步（求最值）：利用配方法或顶点公式求出最值及对应的自变量的值； ◆ 第4步（验证）：检验结果是否符合实际意义（如自变量的取值范围）； ◆ 第5步（作答）：写出完整的答案。 二、常见应用类型 ◆ 面积最值问题：利用周长（边长）关系建立二次函数，求最大面积； ◆ 利润最值问题：总利润 = 单件利润 × 销售量，化为二次函数求最大值； ◆ 抛物线形实际问题：建立适当的坐标系，利用二次函数图像描述桥梁、喷泉、投篮轨迹等； ◆ 定价优化问题：通过调整价格影响销量，求总利润或总收入的最大值。 口诀：审题建模列函数，配方求顶得最值，取值验证莫忘记，实际问题要合理。 一、选择题（每小题5分，共25分） 1. 用一根长为 20 m 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为 x m，面积为 S m²，则 S 关于 x 的函数表达式为（ ） A. S = x(20 - x) B. S = x(10 - x) C. S = 2x(10 - x) D. S = x(20 - 2x) 2. 某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 60 元，每周可卖出 300 件。经调查，每涨价 1 元，每周少卖 10 件。设每件涨价 x 元，每周利润为 y 元，则 y 关于 x 的函数表达式为（ ） A. y = (20 + x)(300 - 10x) B. y = (60 + x)(300 - 10x) C. y = (20 + x)(300 + 10x) D. y = (60 - x)(300 + 10x) 3. 一小球以初速度 20 m/s 竖直向上抛出，经过 t 秒后小球的高度 h（米）满足 h = 20t - 5t²，则小球上升的最大高度为（ ） A. 15 m B. 20 m C. 25 m D. 30 m 4. 某农场计划用 60 m 长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个矩形菜园，要使菜园面积最大，与墙垂直的一边长应为（ ） A. 10 m B. 15 m C. 20 m D. 30 m 5. 一座抛物线形拱桥，桥拱最高点距水面 4 m，水面宽 12 m。以拱顶为原点建立坐标系（开口向下），则桥拱所在抛物线的解析式为（ ） A. y = -(1/9)x² B. y = -(1/12)x² C. y = -(1/6)x² D. y = -(1/18)x² 二、填空题（每小题5分，共25分） 6. 用一根 100 cm 长的铁丝弯成一个矩形，该矩形的最大面积为 ______ cm²。 7. 某商品每件成本 30 元，售价为 x 元时，每天可卖出 (100 - x) 件（30 ≤ x ≤ 100），则每天利润 y 关于售价 x 的函数表达式为 y = ________________。 8. 一个球从地面被踢出，飞行高度 h（米）与飞行时间 t（秒）的关系为 h = -5t² + 20t，则球落地的时间为 ______ 秒。 9. 用长度为 80 m 的篱笆围成一个矩形场地，场地一边利用一堵旧墙（旧墙长 30 m，其余三边用篱笆），则场地的最大面积为 ______ m²。 10. 某旅行社组团旅游，若每团人数为 30 人，每人收费 800 元；超过 30 人，每增加 1 人，每人收费降低 10 元。则当人数为 ______ 人时，旅行社收入最大。 三、解答题（共20分） 11. （10分）如图，要用总长为 40 m 的篱笆靠墙（墙长 25 m）围成一个矩形花圃 ABCD，其中边 AD 靠墙，另外三边用篱笆。设 AB = x m，花圃面积为 y m²。 （1）求 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当 x 取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 12. （10分）某商店销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯。销售过程中发现，当售价为 35 元时，月销售量为 600 件；售价每上涨 1 元，月销售量减少 30 件。 （1）设每件售价上涨 x 元，求月利润 y 关于 x 的函数表达式； （2）当售价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ 四、能力提升（共20分） 13. （8分）如图，一小球从斜坡上的点 O 处被踢出，小球的飞行路线为抛物线，其解析式为 y = -(1/12)x² + (2/3)x（单位：米）。斜坡的解析式为 y = (1/2)x。 （1）求小球飞行的最大高度； （2）求小球落地时距离点 O 的水平距离（即落地点 B 的横坐标）； （3）小球在飞行过程中，当 x 为何值时与斜坡的垂直距离最大？ 14. （12分）某水产养殖户进行小龙虾养殖。已知每投放 1 吨小龙虾苗，一个养殖周期（6个月）的总产量 y（吨）与养殖密度 x（吨/亩）的关系近似为 y = -2x² + 8x（0 < x ≤ 3）。设养殖面积为 10 亩。 （1）求总产量最大时的养殖密度 x，以及最大总产量； （2）若小龙虾的市场价格为 30 元/千克，每吨虾苗的成本为 8000 元，每吨成虾的养殖成本为 10000 元，求该养殖户的最大净利润。 五、拓展探究（共10分） 15. （10分）如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面宽度 AB = 20 m，拱顶离水面的最大高度为 5 m。 （1）以水面 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； （2）当水面上升 2 m 后，水面的宽度是多少？ （3）为保证安全，桥下水位必须低于桥拱最低点 1 m。某日水位为桥拱最低点以下 0.8 m，一艘宽 8 m、水面上高度为 2.5 m 的货船能否安全通过？请通过计算说明。 参考答案与解析 一、选择题 1. B 解析：矩形周长 20 m，设一边为 x，则邻边为 (20 - 2x)/2 = 10 - x。S = x(10 - x)。 2. A 解析：每件利润 = 60 + x - 40 = 20 + x；销量 = 300 - 10x。∴ y = (20 + x)(300 - 10x)。 3. B 解析：h = -5t² + 20t = -5(t² - 4t) = -5(t - 2)² + 20。顶点 (2, 20)，最大高度 20 m。 4. B 解析：设垂直墙的一边为 x，平行墙的一边为 60 - 2x。面积 S = x(60 - 2x) = -2x² + 60x = -2(x - 15)² + 450。当 x = 15 时面积最大。 5. A 解析：以拱顶为原点，开口向下，设 y = -ax²。水面宽 12 m 即对称跨度 12，x = ±6 时 y = -4。∴ -4 = -a×36 → a = 1/9。解析式 y = -(1/9)x²。 二、填空题 6. 625 解析：矩形周长 100，设一边为 x，邻边为 50 - x。S = x(50 - x) = -x² + 50x = -(x - 25)² + 625。最大值为 625 cm²（正方形时）。 7. y = (x - 30)(100 - x) 解析：利润 = (售价 - 成本) × 销量 = (x - 30)(100 - x) = -x² + 130x - 3000。 8. 4 解析：落地时 h = 0，-5t² + 20t = 0 → -5t(t - 4) = 0，t₁ = 0（初始时刻），t₂ = 4 秒。 9. 750 解析：设与旧墙垂直的边为 x，则另一垂直边为 x，平行旧墙的边为 80 - 2x。旧墙 30 m，故 80 - 2x ≤ 30 → x ≥ 25。S = x(80 - 2x) = -2x² + 80x = -2(x - 20)² + 800。但 x ≥ 25 不在 20 处取最值，x = 25 时 S = 25 × 30 = 750。 10. 55 解析：设人数为 30 + x（x ≥ 0），每人收费 800 - 10x。总收入 y = (30 + x)(800 - 10x) = -10x² + 500x + 24000 = -10(x - 25)² + 30250。∴ x = 25，人数 55 时收入最大。 三、解答题 11. 解： （1）AB = x，则 BC = 40 - 2x（因为 AD 靠墙，AB + BC + CD = 40，AB = CD = x）。 y = AB × BC = x(40 - 2x) = -2x² + 40x。 自变量范围：x > 0，40 - 2x > 0 → x < 20；且 BC ≤ 25（墙长限制）→ 40 - 2x ≤ 25 → x ≥ 7.5。 ∴ x 的取值范围为 7.5 ≤ x < 20。 （2）y = -2x² + 40x = -2(x² - 20x) = -2(x - 10)² + 200。 顶点横坐标 x = 10 在取值范围内，∴ 当 x = 10 时，y_max = 200 m²。 12. 解： （1）售价为 (35 + x) 元，每件利润 = 35 + x - 20 = 15 + x。 月销售量为 (600 - 30x) 件。 ∴ y = (15 + x)(600 - 30x) = -30x² + 150x + 9000。 （2）y = -30(x² - 5x) + 9000 = -30(x - 2.5)² + 30×6.25 + 9000 = -30(x - 2.5)² + 9187.5。 ∴ 当 x = 2.5 时，售价 = 35 + 2.5 = 37.5 元，最大月利润 9187.5 元。 四、能力提升 13. 解： （1）y = -(1/12)x² + (2/3)x = -(1/12)(x² - 8x) = -(1/12)(x - 4)² + (16/12)。 最大高度为 16/12 = 4/3 ≈ 1.33 米。 （2）落地时 y = 0：-(1/12)x² + (2/3)x = 0 → -(1/12)x(x - 8) = 0。 解得 x = 0（起点）或 x = 8。∴ 落地点 B 的横坐标为 8，水平距离 8 米。 （3）小球到斜坡的垂直距离 d = [-(1/12)x² + (2/3)x] - [(1/2)x] = -(1/12)x² + (2/3)x - (1/2)x = -(1/12)x² + (1/6)x = -(1/12)(x² - 2x) = -(1/12)(x - 1)² + 1/12。 ∴ 当 x = 1 时，垂直距离最大，最大值为 1/12 ≈ 0.083 米。 14. 解： （1）每亩产量 y = -2x² + 8x = -2(x² - 4x) = -2(x - 2)² + 8。 当 x = 2 时，每亩最大产量为 8 吨。 10 亩总产量 = 10 × 8 = 80 吨。 （2）总收入 = 80 × 1000 × 30 = 2,400,000 元。 虾苗成本 = 10 × 2 × 8000 = 160,000 元（每亩投放 2 吨虾苗）。 养殖成本 = 80 × 10000 = 800,000 元。 净利润 = 2,400,000 - 160,000 - 800,000 = 1,440,000 元。 五、拓展探究 15. 解： （1）以水面为 x 轴，中垂线为 y 轴，拱顶坐标为 (0, 5)。 设 y = ax² + 5（开口向下，a < 0）。 点 A(-10, 0) 在抛物线上：0 = a×100 + 5 → a = -1/20。 ∴ 解析式为 y = -(1/20)x² + 5。 （2）水面上升 2 m，即水面在 y = 2 处。 令 -(1/20)x² + 5 = 2 → -(1/20)x² = -3 → x² = 60 → x = ±√60 ≈ ±7.75。 ∴ 水面宽 = 2√60 ≈ 15.5 m。 （3）桥拱最低点为拱顶 (0, 5)，安全水位线为 y = 4。 当前水位为 y = 5 - 0.8 = 4.2（在桥拱最低点以下 0.8 m）。 安全水位线 y = 4，当前水位 y = 4.2 > 4，水位超安全线 0.2 m，存在安全隐患。 考虑货船：宽 8 m，即左右各 4 m，在 x = ±4 处做垂线。 当 x = 4 时，桥高 y = -(1/20)×16 + 5 = -0.8 + 5 = 4.2 m。 船高 2.5 m，水面在 y = 4.2，桥在 x = 4 处高 4.2 m。 桥到水面的距离 = 4.2 - 4.2 = 0 < 2.5 m，船无法通过。 ∴ 货船不能安全通过。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $