专题2.3 直线的方程讲义-2026年暑假复习高一升高二数学人教A版必修第二册

专题2.3 直线的方程 【知识梳理】 1 【考点1：点斜式方程】 4 【考点2：斜截式方程】 5 【考点3：两点式方程】 7 【考点4：截距式方程】 7 【考点5：一般式方程】 8 【考点6：根据直线的方向向量求直线方程】 9 【考点7：直线过定点问题】 9 【考点8：两条直线平行的判定及应用】 11 【考点9：两条直线垂直的判定及应用】 11 【考点10：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 12 【知识梳理】 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 3．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 4．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 5．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 6．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 7．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 8．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 9．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 10．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 11．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 12．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【考点1：点斜式方程】 1．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 3．（25-26高二上·贵州毕节·期末）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． 4．（第06讲直线的方程01（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 5．（25-26高二·全国·暑假作业）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【考点2：斜截式方程】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 3．（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 4．（25-26高二·全国·随堂练习）写出满足下列条件的直线的斜截式方程： (1)斜率是，在y轴上的截距是； (2)倾斜角是，在y轴上的截距是5． 5．（25-26高二上·广东·期中）已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程. 【考点3：两点式方程】 1．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 2．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 3．（25-26高二上·上海金山·阶段检测）已知，，则直线的两点式方程为__． 4．（25-26高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）过点和点的直线的两点式方程是____________． 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为___________. 【考点4：截距式方程】 1．（25-26高二·全国·寒假作业）过点和的直线方程的截距式为________. 2．（25-26高二上·湖南·阶段检测）直线的截距式方程为________. 3．（2026高二上·全国·专题练习）把直线l的方程化成截距式，指出直线在x轴、y轴上的截距，并画出图象． 4．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线经过点. (1)若的斜率为2，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为6，求的截距式方程. 5．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知直线经过点，斜率为2. (1)求直线的截距式方程. (2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 【考点5：一般式方程】 1．（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 3．（第06讲直线的方程01（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）直线经过点，，写出直线的一般式方程. 4．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 5．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线的方程为，. (1)若不经过第二象限，求的取值范围； (2)若的斜率存在且不为，在轴上的截距为轴上截距的倍，求的值. 【考点6：根据直线的方向向量求直线方程】 1．（25-26高二下·陕西安康·期中）过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州遵义·期末）若直线经过点，且直线的方向向量，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线l上运动，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 5．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量为的直线方程为________. 【考点7：直线过定点问题】 1．（25-26高二上·江苏连云港·期中）直线（是任意实数）恒过定点（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·期中）直线：恒过定点______． 3．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 4．（25-26高二上·上海·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 5．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【考点8：两条直线平行的判定及应用】 1．（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 2．（25-26高二上·安徽·期末）已知直线与平行，则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 或3 3．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 4．（25-26高二上·四川南充·期末）已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 5．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【考点9：两条直线垂直的判定及应用】 1．（2026高三·全国·专题练习）若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·陕西·期中）已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）（多选）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 4．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 5．（第12讲直线的一般式方程（思维导图 2知识点 4大题型 综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【考点10：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为2． (1)求直线的斜率； (2)已知直线，求直线与的交点坐标． 2．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）直线l经过两条直线和的交点P，且直线l在x轴上的截距为． (1)求直线l的方程； (2)求直线l与坐标轴围成的三角形面积． 3．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求适合下列条件的直线方程： (1)已知，，，求△ABC的BC边上的中线所在的直线方程； (2)直线过点，且与轴和直线围成的三角形的面积为2，求直线的方程． 4．（25-26高二上·广西南宁·期中）直线与直线相交于点 （1）过点与直线平行的直线方程； （2）直线与在轴上的截距相同，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4求直线的方程． 5．（24-25高二上·福建福州·期中）平面直角坐标系Oxy中，射线，，过作直线分别与交于A，B两点. (1)若，求直线的方程; (2)求面积的最小值. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 直线的方程 【知识梳理】 1 【考点1：点斜式方程】 4 【考点2：斜截式方程】 6 【考点3：两点式方程】 9 【考点4：截距式方程】 10 【考点5：一般式方程】 12 【考点6：根据直线的方向向量求直线方程】 15 【考点7：直线过定点问题】 16 【考点8：两条直线平行的判定及应用】 19 【考点9：两条直线垂直的判定及应用】 21 【考点10：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 23 【知识梳理】 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 3．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 4．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 5．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 6．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 7．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 8．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 9．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 10．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 11．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 12．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【考点1：点斜式方程】 1．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 2．（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 3．（25-26高二上·贵州毕节·期末）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． 【答案】 【分析】先根据题意得出入射光线的方程，求出入射光线与x轴的交点，结合反射的性质得出反射光线的斜率，即可得出答案. 【详解】由题意知，入射光线所在直线的斜率为， 则入射光线方程为，化简整理可得， 则入射光线和轴交点为， 由对称性知反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 化简整理可得. 故答案为： 4．（第06讲直线的方程01（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 【答案】 【详解】由直线l经过点，斜率是，可得其点斜式为. 5．（25-26高二·全国·暑假作业）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 【考点2：斜截式方程】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线化成斜截式，结合，且异号，可得，由异号即可得答案. 【详解】由题意可知，且异号， 将直线化斜截式，为， 直线的斜率， 又因为直线不过第二象限， 所以，即， 又因为异号， 所以. 2．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程； （2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，再根据直线的点斜式可求得直线方程. 【详解】（1）由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. （2）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，所以所求直线倾斜角为，所以所求直线斜率为， 由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. 3．（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用直线的斜截式方程直接写出方程即可. （2）求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程写出方程即可. 【详解】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为. （2）因为直线的倾斜角，则该直线的斜率. 所以该直线的斜截式方程为. 4．（25-26高二·全国·随堂练习）写出满足下列条件的直线的斜截式方程： (1)斜率是，在y轴上的截距是； (2)倾斜角是，在y轴上的截距是5． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜截式直接列出方程； （2）由倾斜角得出直线斜率，再列出斜截式方程. 【详解】（1）因为直线的斜率是，在轴上的截距是，所以该直线的斜截式方程为. （2）因为直线的倾斜角为，所以该直线的斜率为， 又因为直线在轴上的截距为5， 所以该直线的斜截式方程为. 5．（25-26高二上·广东·期中）已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解. 【详解】（1）由，，得的中点. 则边上的中线的斜率为. （2）由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为， 化为斜截式方程为. 【考点3：两点式方程】 1．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 2．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 3．（25-26高二上·上海金山·阶段检测）已知，，则直线的两点式方程为__． 【答案】 【分析】直接由直线的两点式方程公式得出答案. 【详解】当直线过两点，时，其两点式方程为， 则直线的两点式方程为， 故答案为：. 4．（25-26高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）过点和点的直线的两点式方程是____________． 【答案】 【分析】直接由直线方程的两点式得出答案 【详解】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为___________. 【答案】 【分析】求出直线的方程，将代入直线方程，求出答案. 【详解】由题意得直线的方程为，即， 将代入直线中，则，解得. 故答案为： 【考点4：截距式方程】 1．（25-26高二·全国·寒假作业）过点和的直线方程的截距式为________. 【答案】 【分析】设截距式方程，代入坐标求解参数即可. 【详解】设直线方程为，将，代入， 可得，解得，，则方程为. 故答案为： 2．（25-26高二上·湖南·阶段检测）直线的截距式方程为________. 【答案】 【分析】直接化简计算即可. 【详解】直线的截距式方程为：. 故答案为： 3．（2026高二上·全国·专题练习）把直线l的方程化成截距式，指出直线在x轴、y轴上的截距，并画出图象． 【答案】截距式为：，在x轴、y轴上的截距分别为，，图象见解析. 【分析】根据直线的一般式转化为截距式，并根据直线与坐标轴的交点画出直线。 【详解】由，得，即， 其中在x轴、y轴上的截距分别为，4． 画出图象如下图所示. 4．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线经过点. (1)若的斜率为2，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为6，求的截距式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点斜式得到直线的方程，再转换为斜截式； （2）利用截距式得到直线的方程； 【详解】（1）由题意得的方程为，其斜截式方程为. （2）设的截距式方程为. 由题意得，得，所以的截距式方程为. 5．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知直线经过点，斜率为2. (1)求直线的截距式方程. (2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再化成直线的截距式方程即得. （2）求出直线的斜率及方程，再化成直线的截距式方程即可. 【详解】（1）依题意，直线的方程为：，即， 所以直线的截距式方程为. （2）由直线与垂直，得直线的斜率为，由（1）知，直线在y轴上的截距为， 于是直线的方程为，即， 所以直线的截距式方程为. 【考点5：一般式方程】 1．（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论斜率的存在性，求出斜率的取值范围即可得倾斜角的范围. 【详解】由题意知，当时，直线的斜率不存在，其倾斜角； 当时，直线的斜率， 所以倾斜角， 综上，. 故选：C 2．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 【答案】或 【分析】根据直线过原点和不过原点设出直线方程，然后代入点即可得解. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为或， 因为直线过点可得或，可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或 3．（第06讲直线的方程01（暑假预习讲义）新高二数学人教B版）直线经过点，，写出直线的一般式方程. 【答案】 【分析】先由两点计算直线的斜率，再由点斜式可得直线方程，再化为一般式可得. 【详解】因为直线经过点，，所以直线的斜率为， 则直线，所以直线的一般式方程为. 4．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)利用点斜式写出直线方程，再化为直线的一般方程； (2)分类讨论截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为，经过点， 所以直线方程为，即. （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 因为直线过点，所以，即， 此时方程为，即； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为， 则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 5．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线的方程为，. (1)若不经过第二象限，求的取值范围； (2)若的斜率存在且不为，在轴上的截距为轴上截距的倍，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，可得直线不经过第二象限；当时，结合函数图象可知斜率为正，且在轴截距小于等于零，从而构造不等式组求得结果； （2）当过坐标原点时，可求得满足题意；当不过坐标原点时，求出直线在轴，轴上的截距，利用在轴上的截距为轴上截距的倍构造方程求得结果. 【详解】（1）当，即时，直线为，不经过第二象限，满足条件， 当，即时，直线可转化为， 则解得， 综上所述，的取值范围为； （2）当过坐标原点时，，解得，符合题意， 因为的斜率存在且不为，所以且， 当不过坐标原点时，即，令，则，令，则， 因为在轴上的截距为轴上截距的倍，所以， 解得，又，所以该方程无解； 综上所述， 【考点6：根据直线的方向向量求直线方程】 1．（25-26高二下·陕西安康·期中）过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知，所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即. 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量求出斜率，代入点斜式方程求解. 【详解】因为l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率， 直线l过点，所以直线l的方程为，即， 故选：C. 3．（25-26高二上·贵州遵义·期末）若直线经过点，且直线的方向向量，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线的方向向量得到直线的斜率，结合点斜式方程列出方程即可； 【详解】因为直线的方向向量，所以直线的斜率， 因为直线经过点，所以直线的方程为，即. 故选：C. 4．（2026高三·全国·专题练习）第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线l上运动，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】，得， ， ，等号当且仅当时成立，此时，满足定义域条件， 所以的最大值为3. 5．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量为的直线方程为________. 【答案】 【分析】先求出的交点坐标，由直线的方向向量得到直线斜率，求出直线方程. 【详解】联立可得，，故交点坐标为， 直线的一个方向向量为，故直线的斜率为， 所以直线方程为，即. 故答案为： 【考点7：直线过定点问题】 1．（25-26高二上·江苏连云港·期中）直线（是任意实数）恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线系过定点求解. 【详解】当时，， 所以直线（是任意实数）恒过定点， 故选：B 2．（25-26高二上·重庆·期中）直线：恒过定点______． 【答案】 【分析】原方程整理为，解方程组得解. 【详解】由可得， 联立，解得， 故直线恒过点, 故答案为： 3．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【答案】 【分析】对等式进行变形，通过解方程组进行求解即可. 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 ，定点为 (2) 【分析】（1）需将直线方程整理为关于参数的形式，令的系数及常数项为零，解方程组得定点坐标； （2）设该直线倾斜角为，用表示，，将转化为三角函数式，通过换元法求最小值，进而得直线方程. 【详解】（1）整理直线方程得 ， 由 可得 ，， 故直线恒过定点 . （2）由（1）知，如图，作轴于M，轴于N， 且直线与轴的正半轴分别交于两点，设直线倾斜角为，， 因为，所以，， ，，， ， 令 ， 由 得 ，，则 ， 在 上单调递增， 当 即 时，上式取最小值 ，此时直线方程为 化简得直线方程为 . 5．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【详解】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 【考点8：两条直线平行的判定及应用】 1．（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 2．（25-26高二上·安徽·期末）已知直线与平行，则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 或3 【答案】D 【分析】根据两直线平行的性质进行求解即可. 【详解】∵直线与平行， 解得或， 经检验均满足直线不重合的条件. 故选：D 3．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】将直线方程化为斜截式方程，根据，即可判断求解. 【详解】直线可化为， 所以， ， 直线可化为， 所以，， 因为，， 所以与平行. 故选：B 4．（25-26高二上·四川南充·期末）已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 【答案】B 【分析】根据两直线平行的充要条件列出满足题意的方程或不等式解出即可. 【详解】由， 则， 由， ，解得：. 故选：B 5．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【答案】 【详解】设直线， 依题意得直线l过点， 则， 得， 故l的方程为． 【考点9：两条直线垂直的判定及应用】 1．（2026高三·全国·专题练习）若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 2．（25-26高三上·陕西·期中）已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】直线与直线垂直， 则，解得或3， 故“”是“”的充分不必要条件. 3．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）（多选）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 4．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【详解】直线的斜率为， 设待求直线斜率为，则由题意，得，解得. 所以待求直线方程为，即. 5．（第12讲直线的一般式方程（思维导图 2知识点 4大题型 综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂直的直线的斜率乘积为，从而求解直线方程. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的直线方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为. 【考点10：直线与坐标轴围成图形的面积问题】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为2． (1)求直线的斜率； (2)已知直线，求直线与的交点坐标． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）易知直线斜率为负即可得，得出与坐标轴交点坐标解得，可得结果； （2）由（1）得，联立两直线方程即可解得交点坐标. 【详解】（1）易知直线斜率为负，可得，令，可得， 令0，可得， 所以，解得， 所以直线的斜率为． （2）由（1）得， 联立，解得， 所以直线与的交点坐标为 2．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）直线l经过两条直线和的交点P，且直线l在x轴上的截距为． (1)求直线l的方程； (2)求直线l与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立和的直线方程，求出交点P的坐标，再根据点斜式或者两点式即可求出直线l的方程； （2）分别求出直线l与x轴和y轴的交点，坐标的绝对值即是三角形的底边和高. 【详解】（1）∵直线l经过两条直线和的交点， ∴解得，，即， 由题意可知直线的斜率存在，设为k且，则过， 代入可得．∴直线l的方程． （2）在直线中，令可得， 令可得，所以直线l与坐标轴围成的三角形面积． 3．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求适合下列条件的直线方程： (1)已知，，，求△ABC的BC边上的中线所在的直线方程； (2)直线过点，且与轴和直线围成的三角形的面积为2，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据中点坐标以及斜率公式，即可根据点斜式求解直线方程， （2）分类讨论的方程，得面积表达式，即可求解斜率. 【详解】（1）设中点为,则由中点坐标公式可得, 故, 所以直线方程为：，即可, （2）当直线的斜率不存在时，的方程为， 联立与得交点为,此时面积为，符合要求． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 令得，. 由三角形的面积为2，得. 解得，可得直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 4．（25-26高二上·广西南宁·期中）直线与直线相交于点 （1）过点与直线平行的直线方程； （2）直线与在轴上的截距相同，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）由直线与直线，联立求得交点，设所求直线方程为，将交点坐标代入求解即可. （2）根据的截距，设直线方程的方程，分别求得在x，y轴上的截距，利用三角形的面积为4求解. 【详解】（1）由，解得， 设所求直线方程为，将代入得， 所以直线方程为， 即 （2）由（1）知，在轴上的截距为1，则过点， 设所求直线方程为，当时，；当时，， 因为与两坐标轴围成的三角形的面积为4， 所以， 解得： 所以直线方程为或 5．（24-25高二上·福建福州·期中）平面直角坐标系Oxy中，射线，，过作直线分别与交于A，B两点. (1)若，求直线的方程; (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线上去交点坐标，由向量的关系，建立方程，解得一个交点坐标，写出直线方程； （2）讨论直线斜率是否存在，当斜率不存在时，显然没有三角形，舍去；当斜率存在时，设直线方程，联立方程组求解出点坐标得到的值，由点到直线的距离公式得到三角形的高，用三角形面积公式得到三角形面积的表达式，通过的取值范围得到函数的最小值. 【详解】（1）设，， 则， ∵，∴，∴， 则，∴，即 （2）当直线与的斜率不存在时，，与两个交点重合，舍去； 当直线与的斜率存在时，设，联立方程组解得，即； 同理，联立方程组，解得，即， 原点到直线的距离 ∵，∴，当时，最大，此时取最小值， ∴最小值为. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $