专题07 空间几何体中的外接球、内切球、棱切球问题（思维导图+3知识点+9大题型+综合通关）（暑假复习讲义）新高二数学人教A版

专题07 空间几何体中的外接球、内切球、棱切球问题 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型01 墙角以及补成长方体模型 题型02 利用三棱锥的三组对棱长分别相等模型 题型03 圆柱、棱柱的外接球 题型04 圆锥、正棱锥的外接球 题型05 圆台、棱台的外接球 题型06 垂面模型 题型07 其他模型 题型08 内切球 题型09 棱切球 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 空间几何体的外接球 2. 空间几何体的内切球 1. 外接球：熟悉模型和找出圆心是关键 2. 内切球：等积法与利用截面思维是关键 考情解码： 属于空间几何体中的重难点内容，需要逻辑推理和空间想象能力。 知识点一 外接球 外接球模型一：墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 外接球模型四：垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 即时即练 1．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【答案】A 【分析】四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得直径，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 2．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 在直角中，可得， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 故选：B. 3．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线与三棱锥外接球直径的关系，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积. 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 4．（24-25高一下·贵州·阶段检测）球面上有A，B，C三点，，，球心O到平面ABC的距离是，则球O的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取AC的中点，连接，根据球的性质可得面ABC，利用勾股定理得球的半径，从而求得球O的体积. 【详解】取AC的中点，连接， 因为，，所以， 又点为AC的中点，则是直角三角形ABC外接圆的圆心， 所以面ABC， 所以球半径， 故球的体积. 故选：C. 5．正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，由体积可算得正四棱锥的高，再由勾股定理可求得外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图，设为外接球球心，底面于点，设， 由正四棱锥的体积为8，即，解得，则， 又，所以，， 在中，，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：C. 6．（24-25高一下·福建泉州·期末）已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得外接圆的半径，利用勾股定理求得外接球的半径，可求表面积. 【详解】在中，， 利用正弦定理可得外接圆的半径， 又，所以直三棱柱的外接球的半径为， 所以该球的表面积为. 故选：A. 7．已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在直线上， 设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为， 因为正四棱台的高为， 所以若球心在线段上，则，解得， 所以，所以外接球表面积为. 8．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知三棱锥所有顶点都在球的表面上，若平面平面，，，，则球的体积为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用外接球的性质先找到球心，分别取、的外心作所在平面的垂线，两条垂线的交点即球心，再计算出球半径，即可求出球的体积. 【详解】由于，， 所以，， ，， 又，故为等边三角形， 分别取、的外心作所在平面的垂线, 两条垂线的交点即球心， 连接交于点,连接,则点为中点，由于为等边三角形, 那么,由于平面平面， 平面,平面平面, 所以，平面， 同理，可得 平面 又平面,平面 所以，四边形为矩形， 设、的外接圆半径分别为，那么, ， 设球为，则, . 知识点二 内切球 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 即时即练 1．正四面体的棱长为，则该几何体的内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等体积法，结合锥体的体积公式、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】 设该正四面体内切球的半径， 设是的中点， 因为四面体是正四面体，所以， 因此， 设点在底面的射影为点，则点在线段上， 因为正四面体的棱长为， 所以，所以， 因为， 得， 故选：B 知识点三 棱切球 即时即练 1．（25-26高一下·河北邯郸·期中）已知正四棱锥的侧棱和底边长相等，且，球与四棱锥的所有棱均相切，则球的表面积为______． 【答案】 【分析】先确定底面正方形的中心就是所求球的球心，再确定球的半径，即可确定所求球的表面积. 【详解】如图： 设正四棱锥底面中心为， 因为正四棱锥的侧棱和底边长相等，且， 则点到棱的距离为. 又，所以为等腰直角三角形，所以也是等腰直角三角形， 所以点到侧棱的距离. 所以点就是与四棱锥的所有棱均相切的球的球心，且半径为， 所以球的表面积为：. 题型01 墙角以及补成长方体模型 1．（24-25高一下·山东青岛·期中）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算. 【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径. 所以外接球的体积. 故选：B 2．在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则四棱锥外接球的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的外接球即可求解体对角线得半径，进而利用体积公式求解. 【详解】将四棱锥放入长方体中，则四棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 设四棱锥外接球的半径为，则，所以， 故四棱锥外接球的体积． 故选：C 3．（24-25高一下·福建泉州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】由，，，∴，即有， 又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示：     图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线， 也是外接球的直径，设外接球半径为R，则， 所以瞥臑的外接球表面积为. 故选：B． 4．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________. 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为， 显然有，，， 因此两两互相垂直，补成长方体如图所示： 该长方体的对角线长为， 所以该三棱锥的外接球的半径为， 因此该三棱锥的外接球表面积为， 故答案为：    5．（24-25高一下·陕西西安·期末）在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为______. 【答案】 【分析】根据题意，可得平面，将三棱锥补全成长方体，进而可求外接球半径，代入球的体积公式求解即可. 【详解】根据题意，底面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 将三棱锥补全成长方体，如图，    则此三棱锥的外接球的半径为， 其三棱锥外接球的体积为. 故答案为： 6．已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 【答案】 【分析】利用补形法，把底面是直角三角形的直三棱柱补形为长方体，再利用长方体的外接球直径是长方体的对角线，即可求解外接球的表面积. 【详解】 在直三棱柱中，因为，， 可得， 则可把这个直三棱柱补形为长方体， 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即该球的直径为长方体的体对角线， 又，则， 则三棱柱的外接球表面积为， 故答案为： 题型02 利用三棱锥的三组对棱长分别相等模型 1．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对棱相等的特征，可以将四面体放入长方体中，再求其外接球半径即可. 【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线， 设这个长方体各棱长分别为，则有， 各式相加得， 设外接球半径为，则有， 外接球表面积. 故选：C． 2．（2025高一·全国·专题练习）在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径______． 【答案】 【分析】将四面体补形为为一个面对角线长分别为，，5的长方体，则长方体外接球即四面体外接球. 【详解】四面体中，三组对棱的棱长分别相等， 可将其补形为一个面对角线长分别为，，5的长方体． 设长方体长宽高为，由题有：， 即长方体体对角线长为，则长方体外接球半径，即四面体外接球半径为. 故答案为： 题型03 圆柱、棱柱的外接球 1．（25-26高一下·广西百色·期中）已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________. 【答案】 【分析】先确定圆柱外接球的球心位置，求出外接球半径，再代入球的表面积公式计算结果 【详解】圆柱的外接球的球心为圆柱上下底面圆心连线的中点，设外接球的半径为，已知圆柱底面半径，高， 球心到下底面圆周上任意一点的距离即为外接球半径，由勾股定理可得： ， 根据球的表面积公式，代入得： ，即该圆柱的外接球的表面积为 2．（25-26高一下·江苏·期中）在直三棱柱中，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】由题意可得该直三棱柱可补形为以、、为棱的长方体，即可计算出该长方体外接球半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】由，结合直三棱柱性质可得、、两两垂直， 故该直三棱柱可补形为以、、为棱的长方体， 该长方体的外接球即为直三棱柱的外接球， 且该长方体的外接球半径， 故该直三棱柱的外接球的表面积为. 3．在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 【答案】 【分析】设上下两个底面的中心分别为，连接，则直三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在中可求得球的半径，从而可求出球的表面积. 【详解】 设上下两个底面的中心分别为，连接， 因为所有棱长为2的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上， 所以直三棱柱外接球的球心为的中点， 连接，在等边中，， 在直角中，， 所以直三棱柱外接球的半径， 所以球的表面积为. 故答案为： 4．已知正六棱柱的体积为，，则该正六棱柱外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】设正六边形，的中心分别为，，连接，可得正六棱柱外接球的球心为的中点，再结合棱柱的体积公式求出，进而求得外接球的半径，再结合球的表面积公式计算即可. 【详解】设正六边形，的中心分别为，，连接， 则正六棱柱外接球的球心为的中点， 该正六棱柱的外接球的半径为， 因为正六棱柱的体积为，， 所以，解得，又， 所以，从而. 故答案为：. 5．在三棱柱中，已知平面ABC，，，，则该三棱柱外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】先用正弦定理将和的外接圆半径，又根据三棱柱外接球圆心位于上下面外接圆的圆心连线的中点. 【详解】设，与的外心分别为，，则线段的中点为外接球的球心. 设外接圆的半径与该三棱柱外接球的半径分别为，，由正弦定理知，解得， 所以:，从而三棱柱外接球的表面积. 故答案为：. 6．如图，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于___________ 【答案】 【分析】利用内接圆柱结合勾股定理可得，再由基本不等式可得最大值时，从而可得表面积. 【详解】设内接圆柱的半径为，高为， 则由题意可得：， 该圆柱的侧面积为， 当时，上式等号成立， 则当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于， 故答案为：. 题型04 圆锥、正棱锥的外接球 1．已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该圆锥的高为，所以，解得， 设球的半径为，由题意知，解得， 所以球的表面积为． 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正三棱锥的外接球球心在其高线上，再利用勾股定理由方程来求解半径，即可求外接球的表面积. 【详解】 根据正三棱锥的性质，可知外接球球心必在正三棱锥的高线上，连接， 由等边三角形，其边长，可知， 再由勾股定理得：， 设外接球半径为，结合勾股定理： 可得：，解得：， 由于，所以外接球球心在高线的延长线上，但仍然满足上述方程， 故该外接球的半径仍为， 所以该外接球的表面积为：， 故选：A 3．一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为_____. 【答案】 【分析】求出正四棱锥的高，结合球的定义以及勾股定理求出半径，最后利用表面积公式计算即可. 【详解】如图，正四棱锥，则平面， 因为平面，所以， 因为，所以，， 因为，所以在中，， 设外接球球心为，则必在直线上， 由可知，， 得，即外接球半径为， 故外接球的表面积为. 故答案为： 4．已知正六棱锥的侧面积为，，则该正六棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】根据正六棱锥的性质结合勾股定理求出外接球半径，代入球的表面积公式求解即可. 【详解】如图， 设为底面正六边形的中心，为的中点，连接，，. 设为正六棱锥外接球的球心. 由题意知为等腰三角形，因为正六棱锥的侧面积为， 所以，解得，所以， 因为为正六边形，为底面中心，所以， 所以. 设，所以，所以，解得. 所以正六棱锥外接球的表面积为． 题型05 圆台、棱台的外接球 1．已知某圆台下底面半径为2，高与上底面半径均为1，则该圆台外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合圆台的上下底面半径和高，结合勾股定理列出等式求解. 【详解】由题意分析可得球心应该在线段的延长线上，如图，设为圆台外接球的球心，，分别为上、下底面圆的圆心，为外接球半径， 则，解得，所以外接球的表面积为． 故选：C． 2．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则该正四棱台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在线段上或在其延长线上， 设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为， 因为正四棱台的高为， 所以若球心在线段上，则，解得，矛盾， 若球心在线段的延长线上，则，解得， 所以， 所以该正四棱台的外接球的表面积为. 故选：C. 3．已知正三棱台的上、下底面的棱长分别为，高为3，则该棱台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图为正三棱台，分别为正三棱台上下底面的中心，则该棱台外接球的球心在直线上，分别求出上下底面外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的体积公式即可得解. 【详解】如图为正三棱台，分别为正三棱台上下底面的中心， 则该棱台外接球的球心在直线上， 设上下底面外接圆的半径分别为，棱台外接球的半径为， 则，所以，因为，则球心在三棱台内部，即线段上， 设， 由勾股定理可得，解得， 所以， 所以该棱台外接球的体积为. 故选：A. 4．（25-26高一下·吉林延边·期中）已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知圆台的轴截面是球的大圆的内接等腰梯形，且球心落在梯形上下底中点连线上，利用与用半径表示出梯形的高，得到的方程，求解即可． 【详解】如图，圆台的轴截面为球的大圆的内接梯形， 易知球心落在梯形上下底中点连线上，设球半径为． 在直角三角形中，，在直角三角形中，， 故或， 所以或， 两边平方整理得或，得， 所以（负值舍去）． 故球的体积．    5．某正六棱台的高为2，上下底面边长分别为2，4，其顶点都在同一球面上，该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出几何图形，根据正六棱台的结构及球的性质列式求解球的半径，代入球的体积公式即可得解. 【详解】如图，，为上下底面正六边形的中心，设球心为点， 当球心O在的延长线上时， ，，，球的半径为，则， 设，则，解得：，， 解得，    球的体积； 当点在上时，如图，    则，解得：，不符合题意. 故选：B 题型06 垂面模型 1．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 【答案】A 【分析】由题意平面，进而确定外接球球心，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可. 【详解】设的外接圆半径为，由题可知为等边三角形，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 2．在三棱锥中，平面ABD，，，，则三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据几何关系找出外接球的直径，再通过正弦定理求出外接圆的直径，最后经过勾股定理即可求出外接球的直径，继而得到体积． 【详解】如图所示， 设DE为外接圆的直径，且为外接圆圆心，O为外接球的球心， 则根据对称性，知D、E、、处于同一平面， 因为平面ABD，平面ABD，所以，也即C也在平面ODE中， 且由于，所以CE为球O某一截面圆的直径，又因为该截面过球心O， 所以CE即为外接球的直径， 根据正弦定理可得外接圆的直径， 则在中，可得外接球直径为， 则三棱锥的外接球体积为． 故选：C． 3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知三棱锥所有顶点都在球的表面上，若平面平面，，，，则球的体积为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用外接球的性质先找到球心，分别取、的外心作所在平面的垂线，两条垂线的交点即球心，再计算出球半径，即可求出球的体积. 【详解】由于，， 所以，， ，， 又，故为等边三角形， 分别取、的外心作所在平面的垂线, 两条垂线的交点即球心， 连接交于点,连接,则点为中点，由于为等边三角形, 那么,由于平面平面， 平面,平面平面, 所以，平面， 同理，可得 平面 又平面,平面 所以，四边形为矩形， 设、的外接圆半径分别为，那么, ， 设球为，则, . 4．已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用面面垂直的性质证得平面，平面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图所示， 连接交于点，取中点，连接， 则由题意知，， 为正方形外接圆的圆心，又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，同理平面， 设等边的外接圆圆心为，过作的平行线交过且与平行的线于点， 则平面，面，所以为四棱锥外接球的球心， 设球的半径为，在等边中由正弦定理得，解得， 又因为，所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：C 5．四面体中，平面平面，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正弦定理求出的外接圆半径，作于点，求得，证明，先后求得，得，求出，进而，推得点为该四面体外接球的球心，即可求得其表面积. 【详解】如图，设的外心为点，过点作于点，连接， 取边的中点为点，连接，则. 因平面平面平面平面， 平面， 则平面又平面故. 因为，，所以， 在中，由正弦定理，，解得， 在中，，则， 在中，由面积相等可得，解得， 则，， 在中，，在中，， 即，故点为该四面体外接球的球心，故其表面积为. 题型07 其他模型 1．已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解外接圆的半径，即可根据球的性质求解球半径，由表面积公式求解即可. 【详解】设球O的半径为R，外接圆的半径为r，则. 因为球心O到平面ABC的距离为1，所以，从而球O的表面积为. 故选：B 2．在矩形中，，，沿矩形对角线将折起得到四面体，则四面体的外接球体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形折叠后两个直角三角形共斜边的性质，确定外接球球心为BD中点，计算半径后代入球体积公式求解. 【详解】因为四边形为矩形，故，沿折起得到后，， 因此与均为斜边为的直角三角形. 设中点为，可得， 即为四面体的外接球球心，外接球半径. 所以，故， 所以外接球体积. 3．已知三棱锥各个顶点都在半径为的球的球面上，且，，，则球心到平面的距离为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】过点作底面的射影，利用条件推理证明点为的中点，利用求出即得. 【详解】 如图，过点作底面的射影，因，则点为的外心， 又因，，故点为的中点， 连接，则三棱锥的外接球的球心必在上， 连接，则， ， 在中，， 因平面，故球心到平面的距离为. 故选：A. 4．三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径，结合侧棱相等得到高，再利用球心在高的线上且到顶点和底面顶点距离相等求出球半径，最后计算表面积. 【详解】设点在底面的投影为，因为， 所以点是的外心，则，且底面，球心在上， 由正弦定理得外接圆的直径径，解得半径， 即，则， 设，外接圆半径为，则， 则，且， 则，解得，则外接球半径， 则三棱锥外接球的表面积为. 5．如图，在四面体中，，分别为，的中点，且，，，则该四面体的外接球表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件可得出，即可求出表面积． 【详解】连接，    因为线段的中点，，则， 又为线段的中点，，，则， 则， 则该四面体的外接球球心为，半径，表面积. 故选：D． 6．在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形作出二面角的平面角，利用几何知识可求，，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，根据求解半径． 【详解】如图1，过作垂足为，取的中点，连接， ∵，∴，， 又，，则，， 中，， 过作，且=，连接，则， ∴，， 根据题意可得为二面角的平面角， 即，则， 由题意可得，则，则， 如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心， 则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接 ，则 ∴△的外接圆半径，则 设三棱锥的外接球的半径为，则 即，解得 则表面积为.    题型08 内切球 1．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知圆锥底面半径，内切球表面积为，设内切球半径为，则 ，解得， 设圆锥的母线长为，高为， 则， ，即，解得或（舍去）， ， 设圆锥表面积为， 则． 2．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正三棱锥的表面积、体积分别为、 ，设正三棱锥的内切球半径为，由三棱锥体积公式 可求内切球半径，从而求解出内切球的表面积. 【详解】正三棱锥的顶点 在底面的投影为底面中心 ，侧棱长 ， , 则， 侧面为全等的等腰三角形，斜高， 正三棱锥的表面积 ， 正三棱锥的体积， 设正三棱锥的内切球半径为， 由三棱锥体积公式，得 ，解得， 所以.    3．（25-26高一下·全国·期末）已知圆台存在内切球，圆台的上底面半径为2，母线长为6，则该内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆台内切球的轴截面如图所示，由题意易知为等腰梯形，且， 取的中点 ，连接，因为圆台存在内切球，设内切球的半径为， 则易知球心在上，且， 过点作，交于，连接， 设，则由圆的切线性质可知， 所以，所以， 过点作，交于， 则, 由，得，解得， 所以，所以内切球的表面积为. 4．已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由正棱台性质可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，然后由截面图结合勾股定理列出关于球的半径的等量关系。即可求解. 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，， 则． 设内切球的球心为O，半径为，则正三棱台的高， 内切球与相切于点M，根据圆的性质可知，． 则， 如图： 所以，即， 所以正三棱台的高为2 5．若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为______. 【答案】 【分析】由题意可得该圆柱的高，底面半径为，计算该球的表面积与该圆柱的侧面积即可得. 【详解】由题意可得该圆柱的高，底面半径为， 故该圆柱的侧面积, 该球的表面积, 则. 故答案为：. 6．已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为____ . 【答案】 【分析】点为等边的中心，点为的中点，设，即底面三角形的内切圆的半径，由题意可知正三棱柱的高，求出外接球的半径，结合球的表面积可得，进而可求正三棱柱的体积. 【详解】如图，点为等边的中心，点为的中点， 设，则，， 则的内切圆的半径为， 因为此正三棱柱既有内切球又有外接球，设为正三棱柱内切球的球心， 则点也是外接球的球心，由内切球的半径为，可得， 则正三棱柱的高， 正三棱柱的外接球的半径， 因为外接球的表面积为，则，解得， 所以该三棱柱的体积. 故答案为：. 题型09 棱切球 1．（24-25高一下·陕西西安·期中）正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为_____． 【答案】 【分析】设正方体的棱长为，分别求出内切球､棱切球､外接球的半径，再根据体积公式，可知体积比为半径比的立方比，即可得解. 【详解】设正方体的棱长为，则其内切球､棱切球､外接球的半径分别为，即半径之比为， 又球的体积公式为（为球的半径）， 所以正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为. 故答案为： 2．正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为________． 【答案】 【分析】作出正四面体的图形，结合正四面体的性质分别求得其内切球、棱切球及外接球的半径，从而得解. 【详解】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为， 如图所示，为的中点，，    由正四面体的性质可知线段为正四面体的高， 在正中，， 同理，在正中，， 则，， 所以， 则， 由正四面体的性质知，三个球的球心重合，且球心在线段上， 则， ， 所以，故， 而棱切球与棱相切，故其半径为， 则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为. 故答案为：. 3．已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______． 【答案】 【分析】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值. 【详解】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： 4．与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意构造直角三角形，列出关于高及得方程组，即可求解出正三棱锥的棱切球半径. 【详解】如图三棱柱为正三棱锥，且底面边长，侧棱 设正三棱锥的棱切球球心为，半径为，则顶点在底面的投影为也为的中心，取的中点，连接，过点作垂足为，则，设， 在中， 因为为的中心，则，， 在中即； 在中，，即， 在中，，则； 在中，，则， 在中，，则， 又因为，则，化简得， 由得解得. 故选：C. 1．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，且圆柱上、下底面圆的圆周都在球的球面上，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据外接球性质结合圆柱特征得出球的半径结合球的表面积公式计算求解. 【详解】圆柱的轴截面是边长为的正方形，且圆柱上、下底面圆的圆周都在球的球面上， 则球的半径为 则球的表面积是. 故选：A. 2．已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内，得到正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，结合正方体的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，正三棱锥，满足，且三个侧面两两垂直， 可以把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内， 可得正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球， 设正三棱锥的外接球的半径为，则，即， 所以正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 3．若正四面体的棱长为2，各条棱均与同一球面相切，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在棱长为的正方体中构造棱长为的正四面体，结合正方体的性质求出球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】如图所示， 在棱长为的正方体中构造棱长为的正四面体， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径为正方体棱长的一半，即， 则该球的表面积为． 故选：A 4．（25-26高一下·福建莆田·期中）已知直三棱柱的各顶点都在以为球心的球面上，且，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可得所在的截面圆的半径，再结合勾股定理求出球的半径，结合球的体积公式计算即可. 【详解】在中，由正弦定理得所在的截面圆的半径为， 则直三棱柱的外接球的半径为， 则直三棱柱的外接球的体积为. 5．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知圆锥的体积为，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质求出底面半径和母线、高的关系，根据圆锥的体积公式求出底面半径、母线和高，根据圆锥外接球的性质求出外接球半径，最后利用球的表面积公式计算求解． 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长， 故，则，解得， 圆锥的高， 则，解得，故，， 圆锥外接球的球心在圆锥的高线上，设外接球半径为， 则，展开整理得， 外接球的表面积为：． 6．已知圆台的内切球半径为2，圆台的体积为28π，则圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据圆台内切球半径为2求出圆台上、下底面半径的乘积为4，然后结合圆台的体积为28π并利用圆台的体积公式得到圆台的上、下底面半径，根据圆台和球的对称性并利用勾股定理求得圆台外接球的半径，即可求得圆台外接球的表面积． 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，，易知内切球的轴截面与圆台的轴截面内切， 所以，解得， 又圆台的体积为， 所以，． 设圆台外接球的半径为R，易知圆台的轴截面与外接球的轴截面内接，外接球球心O在线段上，（提示：当O在的延长线上时，设，则，所以，无解，所以O在线段上）, 如图，连接OC，OB， 则，， 设，则， 所以，得， 故， 所以该圆台外接球的表面积为， 故选：D． 7．已知正四面体的顶点均在球O的表面上，其内切球为球M，则球O与球M的表面积之比为（   ） A．3 B．9 C．3π D．9π 【答案】B 【分析】设正四面体的棱长为1，过A作平面的垂线，垂足为F，求得球O的半径R，利用等体积法求得内切球的半径，进而计算可求得球O与球M的表面积之比. 【详解】设正四面体的棱长为1，过A作平面的垂线，垂足为F，则F为的中心， 连接并延长交于E，则，，O在上， 因为，所以，所以， 设球O的半径为R，则，即，解得. 设四面体内切球的半径为，则，所以， 所以球O与球M的表面积之比为. 故选：B. 8．已知正四棱台的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径的球O的表面上，则该四棱台的高为（    ） A．2 B．8 C．2或12 D．4或8 【答案】C 【分析】做出截面，根据圆心是否位于截面内部分两种情况，根据线段关系即可求解. 【详解】 如图，做出截面，此时圆心位于截面内部， 取中点，中点，连接、和， 易得点在上，由题意得，，， 因为，， 所以， 当不在截面内， 同第一种情况理可得，， 所以，综上所述：该四棱台的高为或. 故选：C. 9．正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由截面图结合等面积法和勾股定理列出关于r的等量关系求出r即可求解. 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为， 则有即， 所以正三棱台的高为6. 故选：D. 10．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，进而可得三棱锥外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可. 【详解】由已知得，作下图， 设外接圆的半径为， 已知，，. 根据正弦定理可得，解得 . 因为平面，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离=1， 所以外接球半径. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 11．若半径为的球与正六棱柱的各个面均相切，则该正六棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半径为的球与正六棱柱的各个面均相切，可得正六棱柱的高和底面正六边形的内切圆半径，可求出底面正六边形的外接圆半径，即可求出外接球的半径和表面积. 【详解】因为半径为的球与正六棱柱的各个面均相切， 所以正六棱柱的高，底面正六边形的内切圆半径为， 如图所示，正六边形外心和内心是同一点，根据内切圆半径和外切圆半径的关系， 可得底面正六边形的外接圆半径， 所以该正六棱柱外接球半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：D. 12．在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据计算可得，求出外接圆半径，再结合勾股定理可求出外接球的半径. 【详解】设正三棱锥底面边长为，底面正三角形的中心为，则顶点在底面的投影点为， 因为侧棱与底面所成的角为， 即， 在中，，，， ，， 正四棱锥体积为：, 因为，所以， 在正三棱锥中，外接球的球心在，设球心为， 设，根据球心到顶点距离相等可得，， 即，解得，所以， 所以. 故选：D 13．在三棱锥中，，其余棱长均为2，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，确定球心的位置，利用球的截面圆性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】在三棱锥中，都是边长为2的正三角形，取中点，连接， 则，，是二面角的平面角， 又，则，即，而， 平面，因此平面，令的外心分别为， 则平面，，同理，四边形是矩形， ，而，则， 所以球的表面积为. 故选：A 14．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）四面体中，底面为等边三角形，，则四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】 如图所示，其中为四面体的外接球的球心，为底面三角形外接圆的圆心， 由于底面等边三角形的边长， 所以的外接圆半径， 由于底面，，所以四面体的外接球的球心在过点且垂直于底面的直线上， 且外接球的球心到底面的距离， 所以外接球的半径， 因此四面体的外接球的表面积为，故B正确. 15．一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆台轴截面，分析可知，当球与相切时，其表面积最大，再结合条件求得球的半径，利用球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，分析可知，要使球的表面积最大，则球需要与相切， 设圆的半径为，则， 由，所以，所以， 作，由， 所以，又，所以， 又，， 所以， 即， 所以球的表面积的最大值为， 故选：C. 16．在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正三棱柱有棱切球的条件，得出棱切球半径等于底面正三角形内切圆半径，同时正三棱柱的高等于内切球直径；再找到外接球的球心位置，利用勾股定理计算出外接球半径；最后求出两者的半径之比. 【详解】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接. 若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点. 设，的中点分别为D，E，连接，，，， 则. 因为，所以， 所以正三棱柱外接球的半径为， 故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为. 17．在三棱锥中，为边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取AB中点D，先证平面平面，再利用球心到两垂直平面的垂线与的重心 、的外心H的关系，通过勾股定理求出外接球半径的平方，进而得到球的表面积. 【详解】取AB中点D，连接PD，CD，由，得，且， 又为边长为2的等边三角形，所以，又， 所以，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 设球心为O，的重心为G，等边三角形的重心与外心重合，的外心为H， 由球的性质可知平面，平面， 设外接圆的半径为，则， 在中，，即，得， 所以，，记球的半径为R， 则，球的表面积为． 18．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的体积是_____． 【答案】/ 【分析】根据题意，可由三棱锥构造正方体，利用两者的外接球相同，即可求出三棱锥的外接球体积. 【详解】 由题意，，，，， 故可将三棱锥放在如图以为四个顶点的正方体中， 则三棱锥的外接球即该正方体的外接球，则外接球的直径为， 故三棱锥的外接球的体积为. 故答案为：. 19．在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 【答案】 【分析】先求出底面正三角形的外接圆半径，再结合侧棱垂直底面的几何特征计算外接球半径，最后代入球的表面积公式求解． 【详解】 设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为， 已知是正三角形，边长， 则其外接圆半径为， 平面， 三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上， 且球心到平面的距离， 外接球半径为：， 由球的表面积公式得． 20．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的半径为______． 【答案】2 【分析】根据题意，三棱锥的体积最大时，平面平面，取的中点，证得平面，再取的中点为，证得，在直角中，求得，再在直角中，得到，得到为三棱锥外接球的球心，即可求解. 【详解】如图所示，设点到平面的距离为， 因为，且为定值， 所以当三棱锥的体积最大时，只需取得最大值，此时平面平面， 取的中点，连接，因为且， 可得且， 因为平面平面，且平面，所以平面， 取的中点为，连接，因为平面，所以， 因为在梯形中，，， 可得，则，所以，且， 在直角中，可得， 在直角中，根据直角三角形的中线性质，可得， 所以，即为三棱锥外接球的球心， 设三棱锥外接球的半径为，则. 故答案为：2 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 空间几何体中的外接球、内切球、棱切球问题 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型01 墙角以及补成长方体模型 题型02 利用三棱锥的三组对棱长分别相等模型 题型03 圆柱、棱柱的外接球 题型04 圆锥、正棱锥的外接球 题型05 圆台、棱台的外接球 题型06 垂面模型 题型07 其他模型 题型08 内切球 题型09 棱切球 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 空间几何体的外接球 2. 空间几何体的内切球 1. 外接球：熟悉模型和找出圆心是关键 2. 内切球：等积法与利用截面思维是关键 考情解码： 属于空间几何体中的重难点内容，需要逻辑推理和空间想象能力。 知识点一 外接球 外接球模型一：墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 外接球模型四：垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 即时即练 1．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 2．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·贵州·阶段检测）球面上有A，B，C三点，，，球心O到平面ABC的距离是，则球O的体积是（   ） A． B． C． D． 5．正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 6．（24-25高一下·福建泉州·期末）已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 8．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知三棱锥所有顶点都在球的表面上，若平面平面，，，，则球的体积为 A． B． C． D． 知识点二 内切球 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 即时即练 1．正四面体的棱长为，则该几何体的内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 知识点三 棱切球 即时即练 1．（25-26高一下·河北邯郸·期中）已知正四棱锥的侧棱和底边长相等，且，球与四棱锥的所有棱均相切，则球的表面积为______． 题型01 墙角以及补成长方体模型 1．（24-25高一下·山东青岛·期中）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 2．在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则四棱锥外接球的体积是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建泉州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________. 5．（24-25高一下·陕西西安·期末）在三棱锥中，底面ABC，，且，，，则三棱锥外接球的体积为______. 6．已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 题型02 利用三棱锥的三组对棱长分别相等模型 1．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径______． 题型03 圆柱、棱柱的外接球 1．（25-26高一下·广西百色·期中）已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________. 2．（25-26高一下·江苏·期中）在直三棱柱中，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为__________. 3．在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 4．已知正六棱柱的体积为，，则该正六棱柱外接球的表面积为______. 5．在三棱柱中，已知平面ABC，，，，则该三棱柱外接球的表面积为______. 6．如图，半径的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，该圆柱的表面积等于___________ 题型04 圆锥、正棱锥的外接球 1．已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为_____. 4．已知正六棱锥的侧面积为，，则该正六棱锥外接球的表面积为______． 题型05 圆台、棱台的外接球 1．已知某圆台下底面半径为2，高与上底面半径均为1，则该圆台外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 2．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则该正四棱台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知正三棱台的上、下底面的棱长分别为，高为3，则该棱台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·吉林延边·期中）已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是（    ） A． B． C． D． 5．某正六棱台的高为2，上下底面边长分别为2，4，其顶点都在同一球面上，该球的体积为（   ） A． B． C． D． 题型06 垂面模型 1．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 2．在三棱锥中，平面ABD，，，，则三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知三棱锥所有顶点都在球的表面上，若平面平面，，，，则球的体积为 A． B． C． D． 4．已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．四面体中，平面平面，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型07 其他模型 1．已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．在矩形中，，，沿矩形对角线将折起得到四面体，则四面体的外接球体积为（     ） A． B． C． D． 3．已知三棱锥各个顶点都在半径为的球的球面上，且，，，则球心到平面的距离为（   ） A． B． C．3 D． 4．三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四面体中，，分别为，的中点，且，，，则该四面体的外接球表面积为（   ）    A． B． C． D． 6．在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 题型08 内切球 1．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·期末）已知圆台存在内切球，圆台的上底面半径为2，母线长为6，则该内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（    ） A．1 B． C． D．2 5．若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为______. 6．已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为____ . 题型09 棱切球 1．（24-25高一下·陕西西安·期中）正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为_____． 2．正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为________． 3．已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______． 4．与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，且圆柱上、下底面圆的圆周都在球的球面上，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 2．已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．若正四面体的棱长为2，各条棱均与同一球面相切，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·福建莆田·期中）已知直三棱柱的各顶点都在以为球心的球面上，且，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知圆锥的体积为，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆台的内切球半径为2，圆台的体积为28π，则圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知正四面体的顶点均在球O的表面上，其内切球为球M，则球O与球M的表面积之比为（   ） A．3 B．9 C．3π D．9π 8．已知正四棱台的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径的球O的表面上，则该四棱台的高为（    ） A．2 B．8 C．2或12 D．4或8 9．正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 11．若半径为的球与正六棱柱的各个面均相切，则该正六棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 12．在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 13．在三棱锥中，，其余棱长均为2，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）四面体中，底面为等边三角形，，则四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 15．一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 16．在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 17．在三棱锥中，为边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的体积是_____． 19．在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 20．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的半径为______． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $