26.4实际问题与二次函数 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数解决实际问题的核心知识点，先梳理二次函数最值由a及自变量范围决定的原理，再分步骤讲解无限制与有限制自变量范围的最值求法，进而延伸到几何面积、利润、抛物线形问题的应用，构建从理论到实践的学习支架。 该资料以问题驱动引导学生用数学眼光抽象实际变量关系，通过钢片做盒子、电影票利润、拱桥等多情境例题培养数学思维与模型意识，详解与专炼结合辅助课中教学，助力课后查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

26.4实际问题与二次函数 课节学习目标 1. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 2. 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 3. 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 4. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. 5. 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 课节知识点解读 知识点1. 一、求二次函数的最大（或最小）值 问题1：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值由什么决定？ 结论：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值由a及自变量的取值范围决定. 问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值是多少？ 问题3 当自变量x有限制时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值如何确定？ 当自变量的范围有限制时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值可以根据以下步骤来确定： 1. 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴. 2. 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围. 3. 判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值. 注意：实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值. 知识点2. 实际问题与二次函数 1. 二次函数解决几何面积最值问题的方法 （1）求出函数解析式和自变量的取值范围； （2）配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值； （3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。 2. 利润问题中的数量关系 （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价. 注意：求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 3. 利用二次函数解决实物抛物线形问题 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤 (1)实际问题。 （2）建立二次函数模型。 （3）利用二次函数的图象和性质求解。 （4）确定实际问题的解。 方法总结：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点 （1）运用配方法求最值； （2）构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； （3）建立函数模型求最值； （4）利用基本不等式或不等分析法求最值． 课节知识点例题讲析 【例题1】用一块边长为60㎝的正方形薄钢片制作一个长方体盒子：如果要做成一个没有盖的长方体盒子,可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，如图(1),然后把四边折合起来，如图(2) （1）求做成的盒子底面积y(㎝2)与截去小正方形边长x(㎝)之间的函数关系式； （2）当做成的盒子的底面积为900㎝2时,试求该盒子的容积. 【例题2】“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数：y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润=票房收入﹣运营成本）． （1）试求w与x之间的函数关系式； （2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【例题3】有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时宽20，水位上升3就达到警戒线，这时水面宽度为10. （1）在如图的坐标系中，求抛物线的解析式. （2）若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？（水位以每小时0.2的速度上升） 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（　　） A．1秒 B．2秒 C．4秒 D．20秒 2. 如图，抛物线的顶点为（1，1），此抛物线交轴于,两点． （1）求抛物线表达式； （2）求△的面积； （3）若抛物线上另一点满足,求点的坐标． 3.工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系. （1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 4. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 5. 某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润． 6.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求这条抛物线的解析式． 7.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图甲所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m． （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图乙所示)，求抛物线的解析式； （2）求支柱的长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由． 甲 乙 26.4 实际问题与二次函数 课节学习目标 1. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 2. 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 3. 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 4. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. 5. 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 课节知识点解读 知识点1. 一、求二次函数的最大（或最小）值 问题1：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值由什么决定？ 结论：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值由a及自变量的取值范围决定. 问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值是多少？ 问题3 当自变量x有限制时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值如何确定？ 当自变量的范围有限制时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值可以根据以下步骤来确定： 1. 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴. 2. 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围. 3. 判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值. 注意：实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值. 知识点2. 实际问题与二次函数 1. 二次函数解决几何面积最值问题的方法 （1）求出函数解析式和自变量的取值范围； （2）配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值； （3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。 2. 利润问题中的数量关系 （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价. 注意：求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 3. 利用二次函数解决实物抛物线形问题 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤 (1)实际问题。 （2）建立二次函数模型。 （3）利用二次函数的图象和性质求解。 （4）确定实际问题的解。 方法总结：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点 （1）运用配方法求最值； （2）构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； （3）建立函数模型求最值； （4）利用基本不等式或不等分析法求最值． 课节知识点例题讲析 【例题1】用一块边长为60㎝的正方形薄钢片制作一个长方体盒子：如果要做成一个没有盖的长方体盒子,可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，如图(1),然后把四边折合起来，如图(2) （1）求做成的盒子底面积y(㎝2)与截去小正方形边长x(㎝)之间的函数关系式； （2）当做成的盒子的底面积为900㎝2时,试求该盒子的容积. 【答案】（1）y=4x2-240x+3600；（2）该盒子的容积为13500cm3. 【分析】（1）先表示出盒子的正方形底面的边长，然后根据正方形的面积公式即可得出x，y的函数关系式； （2）可将底面积代入（1）的式子中，求出高，然后根据底面积×高=容积，即可得出容积是多少． 【详解】（1）由题意可得y=(60-2x)2=4x2-240x+3600； （2）当y=900时(60-2x)2 =900 ∴60-2 x=±30 ∴x1=15 x2=45 ∵x2=45不符合题意∴x=15， ∴该盒子的容积为900×15=13500 （cm3）， 答：该盒子的容积为13500cm3. 故答案为：（1）y=4x2-240x+3600；（2）该盒子的容积为13500cm3. 【点睛】本题考查正方形的面积公式的运用，一元二次方程的解法，长方体容器的容积的运用，解答时求出容器的高是解题的关键． 【例题2】“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数：y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润=票房收入﹣运营成本）． （1）试求w与x之间的函数关系式； （2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）w=﹣4x2+220x﹣1000；（2）影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元． 【详解】 （1）根据题意，得：w=（﹣4x+220）x﹣1000=﹣4x2+220x﹣1000； （2）∵w=﹣4x2+220x﹣1000=﹣4（x﹣27.5）2+2025，∴当x=27或28时，w取得最大值，最大值为2024，答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元． 【例题3】有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时宽20，水位上升3就达到警戒线，这时水面宽度为10. （1）在如图的坐标系中，求抛物线的解析式. （2）若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？（水位以每小时0.2的速度上升） 【答案】（1）；（2）再持续5到达拱桥顶. 【解析】（1）设所求抛物线的解析式为. 设，则， 把、的坐标分别代入， 得解得 ∴. （2）∵， ∴ ∴拱桥顶到的距离为1，. 故再持续5到达拱桥顶. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，将实际问题抽象成二次函数的问题． 深化对课节知识点理解的试题专炼 1. 把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（　　） A．1秒 B．2秒 C．4秒 D．20秒 【答案】B 【解析】∵h＝20t﹣5t2＝﹣5t2+20t中， 又∵﹣5＜0， ∴抛物线开口向下，有最高点， 此时，t＝﹣＝2． 【点拨】已知函数式为二次函数解析式，最高点即为抛物线顶点，求达到最高点所用时间，即求顶点的横坐标． 2. 如图，抛物线的顶点为（1，1），此抛物线交轴于,两点． （1）求抛物线表达式； （2）求△的面积； （3）若抛物线上另一点满足,求点的坐标． 【答案】（1）； （2）1； （3）P（，-1）或（，-1）． 【分析】（1）抛物线的顶点为（1，1），设顶点式，,让抛物线过原点O（0，0）即可， （2）让y=0，即，求出与x轴的另一交点B，OB=2，过A作AC⊥OB于C，则AC=1，S△ABO=代入计算即可， （3）设P（x，h），， 当h=1时，，则P舍去， 当h=-1时，求之，讨论要求抛物线上另一点是否满足条件即可． 【详解】（1）抛物线的顶点为（1，1）， 设抛物线的解析式为,由抛物线过原点O（0，0），代入抛物线， ， ， ， ， （2）=0， ， ，B(2,0)， OB=2， 过A作AC⊥OB于C， 则AC=1， S△ABO=， （3）抛物线上另一点满足， 设P（m，h）， ， ， ， ， 当h=1时，，解得x=1，则P（1，1）为A，要求抛物线上另一点舍去， 当h=-1时，， ， ， ， P（，-1）或（，-1）， 要求抛物线上另一点， P（，-1）或（，-1）满足要求． 【点睛】本题考查抛物线的解析式，抛物线中三角形的面积问题，掌握抛物线的性质，会用待定系数法求抛物线解析式，会求三角形的面积，会利用面积构造方程是解题关键． 3.工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系. （1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 【答案】见解析。 【解析】本题主要考查一次函数和二次函数的应用. 认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；根据利润=（售价-成本）×件数，列出利润的表达式，求出最值． （1）当0＜x≤20且x为整数时，y=40； 当20＜x≤60且x为整数时，y=-x+50； 当x＞60且x为整数时，y=20； （2）设所获利润w（元）， 当0＜x≤20且x为整数时，y=40， ∴w=(40-16)×20=480元， 当0＜x≤20且x为整数时，y=40， ∴当20＜x≤60且x为整数时，y=-x+50， ∴w=(y-16)x=(-x+50-16)x， ∴w=-x2+34x， ∴w=-（x-34）2+578， ∵-＜0， ∴当x=34时，w最大，最大值为578元． 答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元． 4. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为； （2）运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【解析】【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，， 设抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）令，则， 解得（负值舍去）， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． 5. 某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润． 【答案】见解析。 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）由销售该商品每周的利润w＝销售单价×销售量，可求函数解析式，由二次函数的性质可求解． 【解析】（1）由题意可得：， ∴， 答：k＝﹣1，b＝80； （2）∵w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+80）＝﹣（x﹣60）2+400， ∴当x＝60时，w有最大值为400元， 答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元． 6．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求这条抛物线的解析式． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）利用现以O点为原点，抛物线最大高度为6米，底部宽度OM为12米，得出点M及抛物线顶点P的坐标即可； （2）利用顶点式将P点M点代入求出抛物线解析式即可． 【详解】（1）∵其最大高度为6米，底部宽度OM为12米， ∴点M及抛物线顶点P的坐标分别为：M（12，0），P（6，6）． （2）设抛物线解析式为：， ∵抛物线经过点（0，0）， ∴，即， ∴抛物线解析式为：，即． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求二次函数解析式，利用数形结合得出抛物线解析式是解题关键． 7.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图甲所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m． （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图乙所示)，求抛物线的解析式； （2）求支柱的长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由． 甲 乙 【答案】见解析。 【解析】（1）根据题目条件，的坐标分别是． 设抛物线的解析式为， 将的坐标代入， 得 解得． 所以抛物线的表达式是． （2）可设，于是 从而支柱的长度是米． （3）设是隔离带的宽， 是三辆车的宽度和，则点坐标是． 过点作垂直交抛物线于， 则． 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $