专题3.2 函数的性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的单调性、最值、奇偶性及图象四大核心知识点，系统梳理从定义（如单调性的增减定义、奇偶性的对称定义）到性质（单调区间、复合函数“同增异减”、奇偶函数图象对称性），再到应用题型（判断单调性、求参数、比较大小、解不等式等）的完整学习支架。 资料以知识点与题型紧密结合为特色，通过表格对比（如单调性与奇偶性定义表格）帮助学生用数学眼光抽象概念，例题与变式题训练数学思维中的推理能力，函数图象识别题型培养几何直观，课中辅助教师系统授课，课后练习助力学生查漏补缺。

专题3.2 函数的性质【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型 1··函数单调性的判断及单调区间的求解】 3 【题型 2·根据函数的单调性求参数】 5 【题型 3·利用函数的单调性比较大小】 6 【题型 4·利用函数的单调性解不等式】 8 【题型 5·函数奇偶性的判断】 11 【题型 6·由函数奇偶性求函数值、解析式】 13 【题型 7·由函数奇偶性求参数】 17 【题型 8·函数奇偶性的应用】 18 【题型 9·函数图象的识别与判断】 20 【课后练习】 22 知识点1 函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的 . 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的 . (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x) g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x) g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【题型 1··函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（25-26高一上·湖南·期中）已知函数，． (1)求的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将代入解析式即可构造方程求得的值； （2）设，由可证得结论. 【详解】（1），. （2）由（1）得：， 设， ， ，，，又，， ，在上是减函数. 【变式1-1】（3.2.1单调性与最大（小）值）已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用定义证明减函数； （2）由单调性求值域. 【详解】（1）任取，且， 则 ， 又因为，且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数． （2）由（1）知函数在区间上是减函数，又， 所以函数在区间上的值域为． 【变式1-2】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）根据函数的单调性的定义判断并证明. （2）根据单调性即可求解. 【详解】（1）任取， 函数， 则， ，故， 所以函数在上为减函数. （2）在上单调递减， ∴﹒ 【变式1-3】（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数 . (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论； (2)若，求函数的最大值和最小值. 【答案】(1) 函数在上是减函数，证明如下： 任取，且， 则)==， 因为，所以，， 所以，即， 所以在区间上是减函数. (2)， 【分析】（1）利用函数单调性定义即可证明得出结论； （2）由单调性代入即可得出其最值. 【详解】（1）略 （2）因为函数在区间上是减函数， 所以，. 【题型 2·根据函数的单调性求参数】 【例2】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由函数在上单调递减， 可得，可得，解得. 故答案为：. 【变式2-1】（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】代入临界值即可得到不等式，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，解得， 则a的取值范围是. 故答案为：. 【变式2-2】（24-25高一上·广东清远·期中）若在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义及单调性列不等式，解不等式即可. 【详解】分段函数在是减函数需满足， 解得， 故选：D. 、【题型 3·利用函数的单调性比较大小】 【例3】（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性比较即可. 【详解】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·天津·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可． 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 【变式3-2】（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为 ，所以不能判断的大小关系； B：因为，且函数在区间上单调递减， 所以有，因此本选项不正确； C：因为 ，所以不能判断的大小关系； D：由B可知本选项正确， 故选：D 【变式3-3】（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知二次函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性和单调性即可得到答案. 【详解】因为二次函数的最大值为， 所以的图象关于直线对称，所以，且在上是减函数， 因为，所以. 故选：A． 题型 4·利用函数的单调性解不等式】 【例4】（25-26高一上·广西河池·阶段检测）已知函数是定义在上的减函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性结合函数的定义域列出不等式求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的减函数，由， 得，解得. 故选：A． 【变式4-1】（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】由，且函数是定义在上的减函数， 则，解得， 则实数的取值范围是. 故选：B 【变式4-2】（021限时小练16单调性与最大（小）值（1）高中数学必修第一册�RA）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 【变式4-3】（25-26高一上·山西大同·期中）若函数在上单调递减，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单调性得到不等式，解出即可. 【详解】因为函数在上单调递减，且， 所以，解得. 故选：B. 知识点2 函数的最值 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)x∈1，都有f(x)≤M； (2)x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)x∈1，都有f(x)≥m； (2)x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 知识点3 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型 5·函数奇偶性的判断】 【例5】（24-25高一上·广西南宁·期中）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义，依次分析各选项. 【详解】对于A，，定义域为R，=， 不是偶函数，不符合题意； 对于B，，定义域为R，，是偶函数，符合题意； 对于C， ，定义域为R，， 是奇函数，不符合题意； 对于D，，定义域为，定义域不关于原点对称， 是非奇非偶函数，不符合题意； 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法即可求出答案. 【详解】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为， ， ，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确； ， 当时，，此时函数在为减函数，故D错误. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·北京顺义·期末）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，函数关于直线对称，不是偶函数，故A不符合； 对于B，因为函数在上均为偶函数，所以为偶函数， 且当时，，所以函数在区间上单调递减，故B符合； 对于C，函数在上为非奇非偶函数，故C不符合； 对于D，因为函数在上均为奇函数， 所以为奇函数，故D不符合. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到为奇函数，图像关于原点对称，且时，可得，结合选项，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，图像关于原点对称， 当时，可得，所以只有选项A的图像符合. 故选：A. 【题型 6·由函数奇偶性求函数值、解析式】 【例6】（25-26高一上·四川内江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，． (1)求； (2)求出函数在上的解析式； 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用是奇函数的性质，由代入计算即可； （2）利用奇偶性求出，及时的解析式即得上的函数解析式. 【详解】（1）因函数是定义域为的奇函数， 则； （2）因为函数是定义域为的奇函数，所以； 当时，，， 又是奇函数，所以． 综上，. 【变式6-1】（25-26高一上·四川成都·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，且. (1)求的值及； (2)求在上的解析式. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）代入解析式求出的值，即可得到解析式，再求出，最后根据奇函数的性质计算可得； （2）根据奇函数的性质求出当时的解析式，再由，即可得解. 【详解】（1）因为当时，，且， 所以，解得，所以， 则， 又是定义在上的奇函数，所以； （2）因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以， 令，则，所以， 又为奇函数，所以，则； 综上可得. 【变式6-2】（24-25高一上·吉林·阶段检测）已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)求出的值域． 【答案】(1) (2)单增区间为，，单减区间为，. (3) 【分析】（1）令求出，再根据偶函数的定义即可； （2）根据二次函数的性质得出在上的单调性，再结合偶函数的性质即可； （3）根据二次函数的单调性以及偶函数的性质可得. 【详解】（1）若，则，则， 因是偶函数，则， 则. （2）时，的图象开口朝上且对称轴为， 则的单增区间为，单减区间为， 因是偶函数，则的单增区间为，， 单减区间为，. （3）由的单调性以及偶函数的性质可知，， 故的值域为    【变式6-3】．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知定义在上的奇函数，且当． (1)分别求、的值； (2)求的解析式； (3)画出函数的图像，求的单调递增区间以及的解集． 【答案】(1)，； (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用奇函数的性质进行求解即可； （2）根据奇函数的性质进行求解即可； （3）利用奇函数的对称性，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）因为定义在上的奇函数，且当， 所以有， ； （2）因为定义在上的奇函数，且当， 所以当时，， 所以； （3）由二次函数的图象特征，根据奇函数关于原点对称，画出函数的图象如下图： 的单调递增区间为， 的解集为. 【题型 7·由函数奇偶性求参数】 【例7】（24-25高一上·广西桂林·期中）已知定义在上的奇函数，则______. 【答案】 【分析】根据奇函数的定义求得，再检验即可． 【详解】由题意，， 所以，而，是奇函数． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26高一上·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，则____________. 【答案】0 【分析】根据求出，再利用奇函数的定义检验. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 此时，，则，故是奇函数， 故. 故答案为： 【变式7-2】（25-26高一上·安徽六安·期中）函数是偶函数，则__________. 【答案】 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称，可得答案. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以， 解得：. 此时，符合题意. 故 . 故答案为： 【题型 8·函数奇偶性的应用】 【例8】（25-26高一上·广西玉林·期中）已知为偶函数，为奇函数，且，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】利用奇偶性的定义结合条件计算即可. 【详解】因为为偶函数，为奇函数，则， 所以，两式相加得，即. 故选：D． 【变式8-1】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数性质得，，再利用其单调性即可比较出大小. 【详解】因为偶函数，则，， 又因为其在区间上单调递减，则， 即. 故选：A. 【变式8-2】（24-25高一上·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则______. 【答案】 【分析】根据分段函数和函数的奇偶性求函数值. 【详解】因为，. 所以. 故答案为： 【变式8-3】（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段检测）若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数的性质即可求解 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以 故选：A 知识点4 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型 9·函数图象的识别与判断】 【例9】（25-26高一上·山东青岛·期中）函数的大致图象是（   ） A． B．   C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域排除CD，取特值可判断AB. 【详解】由的定义域为，故CD错误； 当时，且，故A错误. 故选：B. 【变式9-1】（24-25高一上·北京·期中）函数的图象不可能是（    ） A．  B．C．   D．   【答案】A 【分析】对进行分类讨论，由此确定正确答案. 【详解】当时，，对应图象是B选项. 当时，对应图象是D选项. 当时，在上单调递减， 对应图象是C选项. 所以不可能的是A选项. 故选：A 【变式9-2】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】化简函数的解析式，分析函数的单调性，即可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，且， 当时，因为函数、都单调递减，则函数单调递减， 当时，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 故符合函数的图象为B选项中的图象. 故选：B. 【变式9-3】（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式，判断其单调性以及单调区间，结合特殊点，可得答案. 【详解】由函数， 当时，根据函数与函数在上单调递增， 则函数在的单调递增，故排除BC； 当时，，故排除A，则D正确. 故选：D. 课后练习 【课后练习】 1.（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是奇函数，但不是增函数，故A错误； 是奇函数，且在上是增函数，故B正确； 是偶函数，故C错误； 定义域为，是非奇非偶函数，故D错误. 2．（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】先写出函数定义域，再应用奇函数定义判断求解. 【详解】∵的定义域为， ， 所以是奇函数. 3．（25-26高一上·重庆·期末）若函数是偶函数，且，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质判断即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以，，故A、B错误； 又，所以，故D正确，C错误. 故选：D 4．（25-26高一上·山东济南·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性求解. 【详解】函数的对称轴是，开口方向向上， 在区间上单调递减， 对称轴是在区间的右侧或对称轴为，. 故选：D 5．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知函数为奇函数，当时，，则（   ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题利用奇函数的定义,先求出,然后代入计算即可得出正确答案. 【详解】由题可得,又因为为奇函数，所以,因此. 故选：B 6．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性的性质，结合一次函数和二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以. 故选：D 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【详解】（1）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 函数的性质【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型 1·函数单调性的判断及单调区间的求解】 3 【题型 2·根据函数的单调性求参数】 4 【题型 3·利用函数的单调性比较大小】 4 【题型 4·利用函数的单调性解不等式】 5 【题型 5·函数奇偶性的判断】 7 【题型 6·由函数奇偶性求函数值、解析式】 8 【题型 7·由函数奇偶性求参数】 10 【题型 8·函数奇偶性的应用】 10 【题型 9·函数图象的识别与判断】 11 【课后练习】 12 知识点1 函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的 . 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的 . (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x) g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x) g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【题型 1··函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（25-26高一上·湖南·期中）已知函数，． (1)求的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数． 【变式1-1】（3.2.1单调性与最大（小）值）已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【变式1-2】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 【变式1-3】（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数 . (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论； (2)若，求函数的最大值和最小值. 【题型 2·根据函数的单调性求参数】 【例2】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 【变式2-1】（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________． 【变式2-2】（24-25高一上·广东清远·期中）若在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 、【题型 3·利用函数的单调性比较大小】 【例3】（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·天津·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知二次函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 题型 4·利用函数的单调性解不等式】 【例4】（25-26高一上·广西河池·阶段检测）已知函数是定义在上的减函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（021限时小练16单调性与最大（小）值（1）高中数学必修第一册�RA）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·山西大同·期中）若函数在上单调递减，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点2 函数的最值 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)x∈1，都有f(x)≤M； (2)x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)x∈1，都有f(x)≥m； (2)x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 知识点3 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题 【题型 5·函数奇偶性的判断】 【例5】（24-25高一上·广西南宁·期中）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·北京顺义·期末）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【题型 6·由函数奇偶性求函数值、解析式】 【例6】（25-26高一上·四川内江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，． (1)求； (2)求出函数在上的解析式； 【变式6-1】（25-26高一上·四川成都·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，且. (1)求的值及； (2)求在上的解析式. 【变式6-2】（24-25高一上·吉林·阶段检测）已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)求出的值域． 【变式6-3】．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知定义在上的奇函数，且当． (1)分别求、的值； (2)求的解析式； (3)画出函数的图像，求的单调递增区间以及的解集． 【题型 7·由函数奇偶性求参数】 【例7】（24-25高一上·广西桂林·期中）已知定义在上的奇函数，则______. 【变式7-1】（25-26高一上·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，则____________. 【变式7-2】（25-26高一上·安徽六安·期中）函数是偶函数，则__________. 【题型 8·函数奇偶性的应用】 【例8】（25-26高一上·广西玉林·期中）已知为偶函数，为奇函数，且，则（   ） A． B．1 C． D．3 【变式8-1】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则______. 【变式8-3】（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段检测）若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 知识点4 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型 9·函数图象的识别与判断】 【例9】（25-26高一上·山东青岛·期中）函数的大致图象是（   ） A． B．   C． D． 【变式9-1】（24-25高一上·北京·期中）函数的图象不可能是（    ） A．  B．C．   D．   【变式9-2】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【变式9-3】（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 课后练习 【课后练习】 1.（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 3．（25-26高一上·重庆·期末）若函数是偶函数，且，则必有（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东济南·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知函数为奇函数，当时，，则（   ） A．2 B． C．1 D．3 6．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $