第3章 3.2 3.2.1 第1课时 函数的单调性-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学函数的单调性核心知识点，从艾宾浩斯遗忘曲线的直观观察切入，逐步抽象出增函数、减函数的定义及单调区间概念，构建从具体到抽象再到应用的学习支架，涵盖判定证明、单调区间求解、大小比较及综合应用等内容。 资料以情境引入培养数学眼光，通过定义抽象与证明步骤（如例1定义法证明单调性）提升逻辑推理（数学思维），结合例题变式训练（如例2图象法求区间）强化数学语言表达。课中助教师高效授课，课后分层练习题助学生巩固知识、查漏补缺。

3.2　函数的基本性质 3．2.1　函数的单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 课程标准 素养解读 1.利用函数图象，直观地观察函数的单调性 2．利用特殊函数，理解函数单调性及几何意义 3．会根据函数的单调性定义，判断、证明单调性 1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程，提升数学直观素养 2．在函数单调性的应用过程中，提升逻辑推理和数学运算素养 [情境引入] 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据： 时间 间隔t 刚记 忆完毕　 20分 钟后 60分 钟后 8～9 小时后　 1天后 2天后 6天后 一个 月后 记忆量 y(百 分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图． [问题]　(1)当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？ (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？ 提示：(1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变小，这个试验告诉我们，在以后的学习中，我们应及时复习刚学习过的知识． (2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线． [知识梳理] [知识点一]　增函数、减函数的概念　 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有　f(x1)<f(x2)　，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(如图①)． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上　单调递增　时，我们就称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有　f(x1)>f(x2)　，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(如图②)． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上　单调递减　时，我们就称它是减函数． 1.在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？ 提示：不能． [知识点二]　函数的单调性与单调区间　 如果函数y＝f(x)在区间D上　单调递增　或　单调递减　，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的　单调区间　. 2.区间D一定是函数的定义域吗？ 提示：不一定，可能是定义域的一部分． 3．函数y＝在定义域上是减函数吗？ 提示：y＝在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)． [预习自测] 1．下列结论中，正确的是(　　) A．函数y＝kx(k为常数，且k<0)在R上是增函数 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数y＝在定义域内是减函数 D．y＝在(－∞，0)上是减函数 答案：D 2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　　) A．f(x1)＜f(x2)　 B．f(x1)＞f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定 答案：D 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是　____________　. 答案：(－∞，1]和(1，＋∞) 　　　函数单调性的判定与证明 [例1] 求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． [思路点拨]　依函数单调性的定义证明． [证明]　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝－＝＝. ∵x1<x2<0， ∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xx>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数． 对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝. ∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，xx>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数． 1．利用定义判断或证明函数单调性的4个步骤 2．利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧有哪些？ (1)因式分解．当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解．如f(x)＝x3－1. (2)通分．当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解．如本例． (3)配方．当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号． (4)分子有理化．当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化．如f(x)＝ [变式训练] 1．已知函数f(x)＝且经过(－1，－1)，两点． (1)求函数f(x)的解析式； (2)利用单调性的定义证明：f(x)在(－1,1)上单调递增． 解：将点(－1，－1)，的坐标代入解析式得 解得故f(x)＝. (2)证明：任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝ ＝， 因为x1，x2∈(－1,1)，x1＜x2， 所以x1x2－1＜0，x2－x1＞0，x＋1＞0，x＋1＞0， 故f(x1)－f(x2)＝＜0， 故f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(－1,1)上单调递增． 　 　　求函数的单调区间 [例2] 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． [思路点拨]　先转化为分段函数，再画其图象． [解]　y＝－x2＋2|x|＋3 ＝ 函数图象如图所示． 函数在(－∞，－1)，[0,1)上是增函数， 函数在[－1,0)，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1)和[0,1)， 单调减区间是[－1,0)和[1，＋∞)． 　求函数单调区间的两个方法及三个关注点 (1)两个方法： 方法一：定义法，即先求定义域，再用定义法进行判断求解． 方法二：图象法，即先画出图象，根据函数图象求单调区间． (2)三个关注点： 关注一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域． 关注二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用． 关注三：函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． [变式训练] 2．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间． 解：f(x)＝的图象如图所示． 由图可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)；单调增区间为[2，＋∞)． 　 　　利用单调性比较大小 [例3] (1)若函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是(　　) A．f>f(a2－a＋1) B．f≥f(a2－a＋1) C．f<f(a2－a＋1) D．f≤f(a2－a＋1) (2)已知函数f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)≤f(3a－2)，则a的取值范围是　________　. [思路点拨]　依据单调性的定义判断． [解析]　(1)B　[∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且a2－a＋1＝2＋≥>0， ∴f(a2－a＋1)≤f.] (2)因为函数f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)≤f(3a－2)，所以－1<3a－2≤1－a<1，解得a∈. [答案]　 1．利用单调性比较大小的方法 (1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，即已知f(x)在区间D上为增函数，则对x1，x2∈D，x1<x2⇔f(x1)<f(x2)． (2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去． 2．利用函数单调性解不等式 　与函数单调性有关的结论 (1)正向结论：若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则 当x1<x2时，f(x1)<f(x2)； 当x1>x2时，f(x1)>f(x2)； (2)逆向结论：若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则 当f(x1)<f(x2)时，x1<x2； 当f(x1)>f(x2)时，x1>x2. (3)当y＝f(x)在给定区间上是减函数时，也有(1)(2)相应的结论． [变式训练] 3．已知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)<f(2x－3)，求x的取值范围． 解：∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f(x)<f(2x－3)， ∴解得<x<3. ∴x的取值范围是. 　　　单调性的综合应用 [例4] 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围． [思路点拨]　解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解． [解]　f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 ＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2， ∴此二次函数的对称轴为x＝1－a. ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]． ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合． ∴1－a≥4，解得a≤－3. 1．函数单调性的定义具有“双向性”；利用函数单调性的定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的范围． 2．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．例如，若函数f(x)的解析式是未知的，欲求x的取值范围，我们可以根据函数单调性的定义(也就是函数单调性的性质)，将符号“f”脱掉，只要注意到函数的定义域，即可列出关于x的不等式(组)． 3．若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 4．已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．利用已知函数研究函数单调性问题，像一次函数、二次函数、正、反比例函数的单调性不必用定义研究，直接判断即可． [变式训练] 4．(1)(多选)f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值可以是(　　) A.　　 B.　　 C．1　　　D. (2)若函数f(x)＝kx2＋(3k－2)x－5在(－∞，1]上单调递减，则实数k的取值范围是　________　. 解析：(1)BCD　[因为函数f(x)＝是R上的减函数，所以有解得＜a≤，因此选项B，C，D符合题意，故选BCD.] (2)当k＝0时，f(x)＝－2x－5，显然此函数在(－∞，1]上单调递减； 当k≠0时，函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减， 只需满足解得0＜k≤. 综上所述，实数k的取值范围是. 答案： 1．(多选)函数y＝f(x)是(0，＋∞)上的减函数，且0＜x1＜x2，则下列选项正确的是(　　) A．f(x1)＞f(x2) B．f(x1)－f(x2)＞0 C．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 D.＞0 答案：ABC 2．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，40] B．(40,64) C．(－∞，40]∪[64，＋∞) D．[64，＋∞) 答案：C 3．函数y＝x2－2x的单调递减区间是　________　，单调递增区间是　________　. 答案：(－∞，1]　[1，＋∞) 4．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)<f的实数x的取值范围为　________　. 答案： 5．用定义法证明：函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数． 证明：设x1，x2是R上的任意两个实数， 且x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝(x＋x2)－(x＋x1) ＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x)＋(x2－x1) ＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x＋1) ＝(x2－x1)[(x2＋)2＋x＋1]． ∵2＋x＋1>0，x2－x1>0. ∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， ∴函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数. 1．下列说法正确的是(　　) A．所有的函数在其定义域上都具有单调性 B．若函数y＝f(x)在区间[1,3]上单调递减，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1,3] C．若函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)＞f(3) D．若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)＜f(2)，则函数y＝f(x)是增函数 答案：C 2．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　) A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a) C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a2) 答案：D 3．已知函数f(x)＝x2＋2kx－5在[－2,4]上具有单调性，则实数k的取值范围为(　　) A．(－∞，－4] B．[2，＋∞) C．(－∞，－4]∪[2，＋∞) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞) 答案：C 4.的单调递减区间为(　　) A.　　　　　 B. C. D．(3，＋∞) 答案：B 5．(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　) A．y＝|x|＋1 B．y＝ C．y＝－ D．y＝x＋ 解析：CD　[y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C、D.] 6．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－1) B．(－3，－1) C．(0,1) D．(1,3) 解析：BC　[因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，对称轴为直线x＝1，开口向下，所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3. 所以－3<x<3. 又f(|x|)＝－x2＋2|x|＋1＝ 且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1， 所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是(－3，－1)和(0,1)．故选B、C.] 7．函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是　________　. 解析：当x≥2或x≤1时，f(x)＝x2－3x＋2，f(x)图象的对称轴方程为x＝， 当1＜x＜2时，f(x)＝－x2＋3x－2，f(x)图象的对称轴方程为x＝， 作出f(x)的图象如图所示， 由图可知，f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，. 答案：(－∞，1)， 8．若函数f(x)＝－x2＋4ax与g(x)＝在区间[1,2]上都单调递减，则实数a的取值范围是　________　. 解析：由题意，函数f(x)＝－x2＋4ax的图象对应的抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2a，故f(x)在[2a，＋∞)上单调递减， 若f(x)在区间[1,2]上单调递减，则2a≤1，解得a≤. 函数g(x)＝＝＝2＋，若g(x)在区间[1,2]上单调递减，则3a＋1＞0，且2a＜1或2a＞2，即－＜a＜或a＞1. 综上，实数a的取值范围是. 答案： 9．若f(x)＝(a－2)·x2＋(a－1)x＋3在[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是　________　，若在[2，＋∞)上是减函数，则a的范围是　________　. 解析：当a－2＝0，即a＝2时，f(x)＝x＋3在[2，＋∞]上是增函数； 当a－2>0，即a>2时，二次函数的图象开口向上，对称轴方程为x＝－，要使函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，则－≤2，解得a>2，综上a≥2. 当a－2<0，即a<2时，二次函数的图象开口向下，要使f(x)在[2，＋∞)上是减函数，则－≤2，a≤，综上a≤. 答案：[2，＋∞)　 10．证明：函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． 证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x－－x＋ ＝(x1－x2). ∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＋＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， ∴函数f(x)＝x2－在区间(0，＋∞)上是增函数． 11．已知定义在[1,4]上的函数f(x)是减函数，求满足不等式f(1－2a)－f(3－a)＞0的实数a的取值范围． 解：由题意，可得f(1－2a)＞f(3－a)． ∵f(x)在定义域[1,4]上单调递减， ∴，解得－1≤a≤0， ∴实数a的取值范围为[－1,0]． 12．已知函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．[－5,0) B．(－∞，－2) C．(－∞，0) D．[－5，－2] 解析：D　[当x≤1时，f(x)＝－x2－ax－9， 函数y＝－x2－ax－9的图象开口向下，对称轴为直线x＝－，当x＜－时，y＝－x2－ax－9单调递增． 当x＞1时，f(x)＝， 又因为函数f(x)在R上单调递增，当a＜0时，函数y＝在(0，＋∞)上单调递增． 所以解得－5≤a≤－2.] 13．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)若f＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f≤2. 解：(1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2， 则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1， 所以f(x2)－f(x1) ＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0， 所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函数． (2)因为f＝f(x)－f(y)， 所以f(y)＋f＝f(x)． 在上式中取x＝4，y＝2， 则有f(2)＋f(2)＝f(4)， 因为f(2)＝1，所以f(4)＝2. 于是不等式f(x)－f≤2等价于f[x(x－3)]≤f(4)(x≠3)．又由(1)，知f(x)是R上的增函数， 所以解得－1≤x<3或3<x≤4， 所以原不等式的解集为[－1,3)∪(3,4]． 学科网（北京）股份有限公司 $