2027届高三数学一轮复习-集合讲义

该高中数学讲义围绕集合核心考点，按概念、关系、运算逻辑层次展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建知识体系，突破元素互异性、子集关系等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用实例对比和分层训练策略，如通过具体集合辨析培养数学眼光，用子集个数规律总结提升数学思维，设置基础到综合的题型训练。配合即时方法指导，确保学生高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

高三数学一轮复习教材 集合 第1讲 集合 教学目标： 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义. 3.（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 教学过程 第一课时 集合的概念及集合间的子集关系 集合的概念：引入元素的概念，研究的对象成为元素，一些元素组成的总体叫做集合。 1.元素与集合 （1）集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性；（互异性是个重要考点，拓展下。） （2）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法；（加一个区间法，闭区间开区间等。）描述法也是个难点。 （3）元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉； （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集. 提醒　（1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0. 拓展补充： Eg1：比较以下集合的区别？ Eg2:比较一下集合的区别，并进行化简： 练1化简： 2.集合间的基本关系 （1）子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；（读作A包含于B或者B包含A） 子集小。（你有的我都有，A小B大，可能会相等。） （2）真子集：若A⊆B，存在x∈B，且x∉A，则A⫋B； （3）相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；（说明集合中的每个元素都是相同的，重要考点）（可以类比于实数的大于号小于号） （4）⌀是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. Eg3:写出所有的子集。（再添加一个个数为2个的集合的子集，然后总结子集的个数规律） 总结：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.非空子集为2n－1，非空真子集为2n－2. 题型一　集合的基本概念 1.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界.这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为 （　　） A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 2．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 3.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x｜x∈A且2x∈A}，则集合B为　　　　.  4．（2025·陕西西安·一模）已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 5．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 题型二 集合间的基本关系 例1　(1)已知集合A＝{x∈N｜x2－x－6＜0}，以下可为A的子集的是 （　　） A.{x｜－2＜x＜3}　 　　B.{x｜0＜x＜3} C.{0，1，2} D.{－1，1，2} (2)（25-26高一上·云南曲靖·阶段练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（   ） A． B． C． D． 方法总结： 对于描述法的集合判断子集关系，可以通过列举法化抽象为具体，就可以直观地观察子集关系。 练1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的关系可表示为（　　） 例2 （25-26高三上·上海宝山·阶段练习）已知集合，其中为实常数. 若，则实数的取值范围是 易错点：等号是否取得，可以举例子，四种情况，两个空心，两个实心，外空内实，外实内空。只有外空内实不能加等号。 练1已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为　　　　.  练2.若集合A＝{1，2}，B＝{x｜x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为　　　　.  第二课时 集合的基本运算 3.集合的基本运算 并集 交集 补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x｜x∈A，或x∈B} {x｜x∈A，且x∈B} {x｜x∈U，且x∉A} Eg4: ,求其在R上的补集。 求其在R上的补集 C=，求D在C集合上的补集。 补充:等价关系：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B 题型三　集合的基本运算 考向1：集合间的运算 例1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 练1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 变式1已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 变式2 已知集合A=，则中的元素的个数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 例2设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，则A∪＝（　　） A． {2} B．{0，1} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，3，4，5} 练1已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝( ) A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7} 例3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 练1．设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( ) A． {2} B．{2，3} C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4} 练2.已知集合M＝{1，3}，N＝{1－a，3}，若M∪N＝{1，2，3}，则a＝ （　　） A.－2 B.－1 C.0 D.1 练3.已知集合M＝{x｜x2－3x－10＜0}，N＝{x｜－3≤x≤3}，且M，N都是全集R的子集，则如图所示Venn图中阴影部分所表示的集合为 （　　） A.{x｜3＜x≤5} B.{x｜x＜－3或x＞5} C.{x｜－3≤x≤－2} D.{x｜－3≤x≤5} 考向2　利用集合的运算求参数 例4　（1）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x｜x2－4x＋m＝0}，若1∈A∩B，则A∪B＝ （　　） A.{1，2，3} B.{0，1，2，4} C.{0，1，2} D.{0，1，2，3} （2）已知集合A＝{x｜x＜－1或x≥0}，B＝{x｜x≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是 （　　） A.（－∞，－1） B.（－∞，－1] C.（－∞，0） D.（－1，0） 考向3　集合的新定义问题（新定义问题可以省略） 例5　（1）对于集合A，B，定义集合A－B＝{x｜x∈A且x∉B}.已知集合U＝{x｜－2＜x＜6，x∈Z}，A＝{0，2，4，5}，B＝{－1，0，3}，则∁U（A－B）＝ （　　） A.{－1，0，1} B.{－1，0，1，2} C.{－1，0，1，3} D.{0，1，3} （2）当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x｜ax2－1＝0，a＞0}，N＝{－，，1}，若M与N“相交”，则a＝　　　　.  练1.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x∉B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝　　　　　　.  课堂小结（题型总结，知识总结） 必修第一册P35 容斥原理 第11题 学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛。同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人，只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学一轮复习教材 集合 第1讲 集合 教学目标： 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义. 3.（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 考点分析（教师使用） 1. 了解元素的互异性，能计算集合元素的个数，记住需要检验元素的互异性。 2. 掌握常见的数集，主要是自然数集，正整数集，整数集。理解集合的几种表示方法。理解集合间的基本关系，会通过集合的基本关系求参数范围。能求集合的子集个数。 3. 掌握和熟练运用数轴解决集合间的交、并、补运算。 常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是x还是y。 教学过程 第一课时 集合的概念及集合间的子集关系（2节课） 集合的概念：引入元素的概念，研究的对象成为元素，一些元素组成的总体叫做集合。 1.元素与集合 （1）集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性；（互异性是个重要考点，拓展下。） （2）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法；（加一个区间法，闭区间开区间等。）描述法也是个难点。 （3）元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉； （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集. 提醒　（1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0. 拓展补充： Eg1：比较以下集合的区别？ Eg2:比较一下集合的区别，并进行化简： 练1化简： 2.集合间的基本关系 （1）子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；（读作A包含于B或者B包含A） 子集小。（你有的我都有，A小B大，可能会相等。） （2）真子集：若A⊆B，存在x∈B，且x∉A，则A⫋B； （3）相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；（说明集合中的每个元素都是相同的，重要考点）（可以类比于实数的大于号小于号） （4）⌀是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. Eg3:写出所有的子集。 总结：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.非空子集为2n－1，非空真子集为2n－2. 题型一　集合的基本概念 1.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界.这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为 （　　） A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 解析：C　由集合中元素的互异性知，两个“墩”相同，去掉一个，“容”“融”不同都保留，所以有5个元素.故选C. 2．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 3.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x｜x∈A且2x∈A}，则集合B为　　　　.  解析：由题意知，0∈A且2×0∈A，1∈A且2×1∈A，2∈A且2×2∈A，故B＝{0，1，2}. 答案：{0，1，2} 4．（2025·陕西西安·一模）已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 【答案】C 【分析】由两集合相等及分式的分母不为可求出，再利用集合相等和互异性求，代入计算即可. 【详解】因为，，所以，故， 此时集合为，根据集合相等，必有，解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故选：C. 5．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】由已知可得，可取-1，0，1.分别令、、，求解出即可. 【详解】因为，，，所以，可取-1，0，1. 当时，原式为，又，所以； 当时，原式为，又，所以或或； 当时，原式为，又，所以. 所以，，共有5个元素. 故选：B． 方法总结： 核心点是要弄清楚集合元素的意义，是数集还是点集，二就是看限制条件。 题型二 集合间的基本关系 例1　(1)已知集合A＝{x∈N｜x2－x－6＜0}，以下可为A的子集的是 （　　） A.{x｜－2＜x＜3}　 　　B.{x｜0＜x＜3} C.{0，1，2} D.{－1，1，2} 解析：C　 (2)（25-26高一上·云南曲靖·阶段练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项.. 【详解】依题意，， ，则， ，则， 所以的关系满足. 故选：A 方法总结： 对于描述法的集合判断子集关系，可以通过列举法化抽象为具体，就可以直观地观察子集关系。 练1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的关系可表示为（　　） 解析：A　因为N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故选A. 例2 （25-26高三上·上海宝山·阶段练习）已知集合，其中为实常数. 若，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】利用子集的含义可求答案. 【详解】因为，，所以， 故答案为： 练1已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为　　　　.  解析　（1）A＝{x∈N｜x2－x－6＜0}＝{x∈N｜－2＜x＜3}＝{0，1，2}，∵{0，1，2}⊆{0，1，2}.故选C. （2）∵B⊆A，∴若B＝⌀，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；若B≠⌀，则解得2≤m≤3.故实数m的取值范围为（－∞，3]. 答案　（1）C　（2）（－∞，3] 注意要先考虑空集。 练2.若集合A＝{1，2}，B＝{x｜x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为　　　　.  解析：若B＝⌀，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－，此时B＝{2，}，不符合题意.综上所述，实数m的取值范围为[－2，2）. 第二课时 集合的基本运算 3.集合的基本运算 并集 交集 补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x｜x∈A，或x∈B} {x｜x∈A，且x∈B} {x｜x∈U，且x∉A} Eg4: ,求其在R上的补集。 求其在R上的补集。 C=，求D在C集合上的补集。 补充:等价关系：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B 题型三　集合的基本运算 教法分析： 数集类：分三种类型：无限集与无限集的集合运算，利用数轴。 有限集合有限集的运算，利用韦恩图或者直接排除。（观察法来做） 有限集和无限集的运算。利用韦恩图。 考向1：集合间的运算 例1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出集合，，由交集的定义求解即可. 【详解】由题可得：集合，则 故选：D 练1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出集合和集合，再根据并集定义求出． 【详解】集合是函数的值域，而， 集合，可表示为． 集合是的定义域，即，解得， 集合， ． 变式1已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 变式2 已知集合A=，则中的元素的个数为（ B ） A.3 B.2 C.1 D.0 方法总结：核心点要会解各种不等式，一元二次，分式绝对值及指数对数不等式，有时候会要求其函数的值域和定义域。 例2设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，则A∪＝（　C　） A．{2} B．{0，1} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，3，4，5} 练1已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝( C ) A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7} 方法总结：直接利用定义即可。 例3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由，则， 解得，所以， 且， 所以. 故选：D. 练1．设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( D ) A． {2} B．{2，3} C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4} 练2.已知集合M＝{1，3}，N＝{1－a，3}，若M∪N＝{1，2，3}，则a＝ （　　） A.－2 B.－1 C.0 D.1 解析：B　因为M∪N＝{1，2，3}，M＝{1，3}，2∉M，所以2∈N，又N＝{1－a，3}，所以1－a＝2，解得a＝－1，故选B. 练3.已知集合M＝{x｜x2－3x－10＜0}，N＝{x｜－3≤x≤3}，且M，N都是全集R的子集，则如图所示Venn图中阴影部分所表示的集合为 （　　） A.{x｜3＜x≤5} B.{x｜x＜－3或x＞5} C.{x｜－3≤x≤－2} D.{x｜－3≤x≤5} 解析：C　由题图知阴影部分所表示的集合为N∩（∁RM）.∵M＝{x｜x2－3x－10＜0}＝{x｜（x－5）·（x＋2）＜0}＝{x｜－2＜x＜5}，∴∁RM＝{x｜x≤－2或x≥5}，∴N∩（∁RM）＝{x｜－3≤x≤－2}，故选C. 方法技巧 1．集合的基本运算的求解策略 (1)求解思路一般是先化简集合，再根据交、并、补的定义求解（化简其实就是给出不等式，不等式由一元二次或一元一次不等式，二是对数指数不等式，三是）． (2)求解原则一般是先算括号里面的，再按运算顺序求解． (3)求解思想一般是注重数形结合思想的运用，利用数轴、Venn图等． 考向2　利用集合的运算求参数 例4　（1）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x｜x2－4x＋m＝0}，若1∈A∩B，则A∪B＝ （　　） A.{1，2，3} B.{0，1，2，4} C.{0，1，2} D.{0，1，2，3} （2）已知集合A＝{x｜x＜－1或x≥0}，B＝{x｜x≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是 （　　） A.（－∞，－1） B.（－∞，－1] C.（－∞，0） D.（－1，0） 解析　（1）由于1∈A∩B，所以12－4×1＋m＝0，m＝3，x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}，所以A∪B＝{0，1，2，3}.故选D. （2）如图，在数轴上表示出集合A，若A∪B＝R，则由图易知a≤－1，所以实数a的取值范围是（－∞，－1]，故选B. 答案　（1）D　（2）B 考向3　集合的新定义问题 例5　（1）对于集合A，B，定义集合A－B＝{x｜x∈A且x∉B}.已知集合U＝{x｜－2＜x＜6，x∈Z}，A＝{0，2，4，5}，B＝{－1，0，3}，则∁U（A－B）＝ （　　） A.{－1，0，1} B.{－1，0，1，2} C.{－1，0，1，3} D.{0，1，3} （2）当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x｜ax2－1＝0，a＞0}，N＝{－，，1}，若M与N“相交”，则a＝　　　　.  解析　（1）结合新定义可知A－B＝{2，4，5}，又U＝{－1，0，1，2，3，4，5}，所以∁U（A－B）＝{－1，0，1，3}，故选C. （2）M＝{－，}，若＝，则a＝4，若＝1，则a＝1.当a＝4时，M＝{－，}，此时M⊆N，不合题意；当a＝1时，M＝{－1，1}，满足题意. 答案　（1）C　（2）1 练1.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x∉B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝　　　　　　.  解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}. 答案：{x｜－3≤x＜0或x＞3} 课堂小结（题型总结，知识总结） 1 学科网（北京）股份有限公司 $