1.5 有理数的乘法和除法 讲义 2026-2027学年湘教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数乘法和除法核心知识点，以情境引入（气温下降问题）为起点，系统梳理乘法法则（同号得正、异号得负，绝对值相乘）、多个有理数相乘符号规则（负因数个数偶正奇负），过渡到倒数概念（乘积为1，0无倒数）和除法法则（除以一个数等于乘其倒数），最终整合乘除混合运算步骤，构建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于情境贴近生活（气温下降、股票涨跌），通过数轴重复跳跃、四象限图直观理解运算意义，总结五大易错点强化符号判断，分层练习（A组基础到C组综合）与拓展提升（字母运算、巧算）结合。培养数学眼光（抽象现实数量关系）、数学思维（运算推理）和数学语言（符号口诀表达），课中助力教师授课，课后辅助学生查漏补缺。

第一章 有理数 · 1.5 有理数的乘法和除法 湘教版七年级上册 · 第一章 有理数 1.5 有理数的乘法和除法讲义 学习目标 1. 掌握有理数乘法法则，能正确进行有理数乘法运算。 1. 理解有理数除法法则，会把除法转化为乘法。 1. 理解倒数的概念，会求一个数的倒数。 1. 能灵活运用乘除法解决实际问题。 一、情境引入 某地气温每小时下降 3℃，4 小时后气温共下降多少度？ 用加法：4 个 −3 相加 = (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = −12。 用乘法更快捷：(−3) × 4 = ? → 引出有理数乘法！ ▶ 每小时降 3℃ × 4 小时 = 共降 12℃：5 + (−12) = −7℃ 二、有理数的乘法 1. 乘法法则 法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与 0 相乘，都得 0。 2. 符号法则（四象限图） ▶ 同号得正，异号得负 ← 先看符号，再算绝对值 3. 多个有理数相乘 多个非零数相乘：负因数的个数为偶数时，积为正；为奇数时，积为负。 简便步骤：先确定符号（数负因数个数），再算绝对值的乘积。 【例1】 计算：(−3) × 4。 【分析】异号两数相乘，得负，绝对值相乘。 【解答】符号：异号 → 负 绝对值：3 × 4 = 12 ∴ (−3) × 4 = −12。 【例2】 计算：(−3) × (−2)。 【分析】同号两数相乘，得正，绝对值相乘。 【解答】符号：同号 → 正 绝对值：3 × 2 = 6 ∴ (−3) × (−2) = +6。 4. 乘法在数轴上（重复跳跃） 3 × 2 = 6：从 0 出发，每次走 +3，走 2 次到达 6。 (−3) × 2 = −6：从 0 出发，每次走 −3，走 2 次到达 −6。 【例3】 计算：(−2) × (−3) × (−4)。 【分析】3 个因数，负因数有 3 个（奇数），积为负。绝对值 2×3×4=24。 【解答】负因数个数 = 3（奇数）→ 符号为负 绝对值：2 × 3 × 4 = 24 ∴ 原式 = −24。 三、倒数与有理数的除法 1. 倒数的概念 乘积为 1 的两个数互为倒数。如 2 与 ，−3 与 − 。 注意：0 没有倒数（因为任何数 × 0 = 0 ≠ 1）。 2. 除法法则 有理数除法法则：除以一个数（不等于 0），等于乘以这个数的倒数。 公式：a ÷ b = a × ()（b ≠ 0） 3. 除法是乘法的逆运算 ▶ (−6) × 3 = −18 ↔ (−18) ÷ 3 = −6 【例4】 计算：(−18) ÷ 3。 【分析】除法转乘法：除以 3 等于乘以 。 【解答】(−18) ÷ 3 = (−18) × ← 转乘法 = −6。 ← 异号得负，18÷3=6 ∴ 结果为 −6。 【例5】 计算：(−18) ÷ (−3)。 【分析】除法转乘法：除以 −3 等于乘以 (− )。 【解答】(−18) ÷ (−3) = (−18) × (− ) ← 转乘法 = +6。 ← 同号得正，18÷3=6 ∴ 结果为 +6。 【例6】 计算：0 ÷ (−5)。 【分析】0 除以任何非零数都等于 0。 【解答】0 ÷ (−5) = 0。 ∴ 结果为 0。 四、乘除混合运算 乘除混合运算时，可以统一转化为乘法（把除法写成“乘以倒数”），再确定符号并计算。 步骤：① 把除法全变为乘法；② 数负因数总个数定符号；③ 算绝对值乘积。 【例7】 计算：(−12) ÷ 3 × (−2)。 【分析】先转乘法：(−12) × × (−2)。负因数 2 个（偶数），积为正。 【解答】原式 = (−12) × × (−2) 负因数个数 = 2（偶数）→ 正号 绝对值：12 × × 2 = 8 ∴ 结果为 +8。 五、实际应用 股票涨跌：某股票周一 100 元，周二上涨 5%（× 1.05），周三下跌 5%（× 0.95），求周三收盘价。 ▶ 100 × 1.05 = 105，105 × 0.95 = 99.75 元 【例8】 （实际应用）股票问题：100 × 1.05 × 0.95。 【分析】先算 100 × 1.05 = 105，再算 105 × 0.95。 【解答】100 × 1.05 = 105 105 × 0.95 = 99.75 ∴ 周三收盘价为 99.75 元。 六、五大易错点（务必牢记） 易错点 1：符号判断错误 错误：(−3) × (−2) = −6 ✖ 正确：(−3) × (−2) = +6 ✔（同号得正） 易错点 2：除法忘记转乘法 错误：(−18) ÷ 3 = −18 × 3 = −54 ✖ 正确：(−18) ÷ 3 = −18 × = −6 ✔ 易错点 3：0 的倒数不存在 0 没有倒数，0 不能做除数或分母。 易错点 4：多个数相乘时负因数个数数错 口诀：负因数个数为偶数 → 积为正；为奇数 → 积为负。先数个数再下笔！ 易错点 5：除以负数时符号变化 a ÷ (−b) = −(a ÷ b)。如 12 ÷ (−4) = −3，不是 +3。 七、课堂练习（共 16 题） A 组 · 乘法基础 (1) 3 × 5 = ______。 (2) (−3) × 5 = ______。 (3) 3 × (−5) = ______。 (4) (−3) × (−5) = ______。 (5) 0 × (−7) = ______。 B 组 · 除法运算 (6) 12 ÷ 4 = ______。 (7) (−12) ÷ 4 = ______。 (8) 12 ÷ (−4) = ______。 (9) (−12) ÷ (−4) = ______。 (10) 0 ÷ (−6) = ______。 C 组 · 综合应用 (11) 计算：(−2) × (−3) × (−4) × (−5)。 (12) 计算：(−24) ÷ (−6) × 2。 (13) 求下列各数的倒数：2，− ，−1。 (14) 某地气温每小时下降 2℃，3 小时后共下降多少？用乘法表示。 【参考答案】 (1) +15 (2) −15 (3) −15 (4) +15 (5) 0 (6) +3 (7) −3 (8) −3 (9) +3 (10) 0 (11) 负因数 4 个（偶数）→ 正，2×3×4×5=120 → +120 (12) = (+4) × 2 = +8 (13) 2 的倒数是 ½；− 的倒数是 − ；−1 的倒数是 −1 (14) 4 个 (−2) 相加 = (−2) × 4 = −8℃，共下降 8℃ 八、拓展提升 【拓 1】 （字母运算）若 a < 0，b < 0，c > 0，判断 a × b × c 的符号。 【分析】a、b 同为负，积为正；正数 c 乘正数仍为正。 【解答】a < 0，b < 0 → a × b > 0（同号得正） (a × b) × c > 0（正 × 正 = 正） ∴ a × b × c > 0，结果为正。 【拓 2】 （巧算）计算：(−25) × 16 × (−4) × (−125)。 【分析】利用交换律和结合律，把能凑整的数先乘。 【解答】原式 = [(−25) × (−4)] × [16 × (−125)] = (+100) × (−2000) = −200000。 技巧：25×4=100，125×8=1000，先凑整再算。 【拓 3】 （规律探索）观察： 1 ÷ 1 = 1 0 ÷ 1 = 0 (−1) ÷ 1 = −1 若除数不变，被除数依次减 1，商如何变化？由此猜测除法与减法的关系。 【分析】被除数每减 1，商也减 1。说明除法可以看成“连续减去除数”的简便运算。 【解答】1 ÷ 1 = 1 0 ÷ 1 = 0 （被除数减 1，商减 1） (−1) ÷ 1 = −1 （被除数再减 1，商再减 1） 规律：被除数每减 1，商也减 1。 除法本质：a ÷ b = 从 a 中连续减去 b，能减多少次。 📋 九、课堂小结 运算 法则 口诀 乘法·同号 同号得正，绝对值相乘 同号得正 乘法·异号 异号得负，绝对值相乘 异号得负 多个数相乘 数负因数个数：偶正奇负 偶数个负=正，奇数个负=负 倒数 乘积为 1，互为倒数 a × 1/a = 1（a≠0） 除法 a ÷ b = a × (1/b) 除变乘，除数变倒数 乘法口诀：同号得正，异号得负，绝对值相乘。 除法口诀：除变乘，除数变倒数，再按乘法算。 多个数相乘：数清负因数个数，偶正奇负定符号。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $