30.2三角形的内切圆同步训练2026—2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形内切圆核心概念与性质，通过阶梯式题型构建“概念-性质-计算-证明”逻辑链，强化推理意识与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-4|内心定义辨析（角平分线交点）|从外心对比切入，建立位置关系认知| |性质应用|选择2/7、填空10|内心角度公式（90°+∠A/2）|由角平分线性质推导角度计算通法| |综合计算|选择5/8、填空9/12、解答13|切线长定理设元法、面积法求半径|勾股定理与内切圆半径公式联动| |证明推理|解答15/17|内心与外接圆关系转化|角平分线性质与圆周角定理综合应用|

30.2三角形的内切圆同步训练人教版2026一2027学年九年级数学上册 姓名： 班级： 学号 、 学校： 一、选择题 1.三角形内切圆的圆心为() A.三条高的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点 2.如图，在△ABC中，∠A=60°，点I是△ABC的内心，连接B1,CI,则∠BIC的度数是 () A.110° B.120° C.130° D.140° 3.如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，点C恰好与△ABC的内心I重合，若∠ACB=40° ,则∠EIA+∠FIB=() A.210° B.220 C.230° D.240° 4.下列说法中正确的是() A.三点确定一个圆 B.三角形的外心一定在三角形内 C.长度相等的弧是等孤 D,三角形的内心到三边距离相等 5.一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为() 3 A.2 B.1 C.3 D.5 6.如图为△ABC的内切圆，点D,E分别为边AB,AC上的点，且DE为OI的切线，若 △ABC的周长为21，BC边的长为6，则△ADE的周长为() A.15 B.9 c.7.5 D.7 7.在△ABC中，∠ABC=46°，∠ACB=84°.⊙0是△ABC的内切圆，连接OB、OC,则 ∠B0OC的度数为() A.105o B.110° C.115 D.125° 8.如图，∠ACD=∠BCD=45°，AC=8,BC=6,△ACD内切圆半径为() 15-5W2 15+5V2 A 4 B 4 C.3√2-2 D.3√2+2 二、填空题 9.如图，△ABC的周长为17，点O为△ABC的内心，连接OB、OC,OD⊥BC于点D .若OD=2,则△ABC的面积是 D AD 10.如图，△ABC内接于⊙0，CD1AB于D点，若0为△BCD的内心，则BD 0 1.如图，在平面直角坐标系中，点4(0，)，点B(2,0),点'是01B的内心，则点1关 ,点 于y轴对称的点的坐标是 1. 0 12.如图，在△ABC中，∠ABC=90,∠BAC=30°，⊙0是△ABC的内切圆，与三边分别相 切于点D,B,刀若BD=引，则EF的长为一， (结果保留兀) B E 三、解答题 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,⊙0是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F. ⊙ D (1)连接OA、OB,则∠AOB= (2)若BD=6,AD=4,求⊙0的半径. (3)在(2)的条件下，Rt△ABC的外心和内心的距离等于一 14.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5cm, BC=7cm.CA=6cm B (1)求AF的长. @已知5ac=66cm,求0D的长 15.如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D,与AC交 于点E,延长CD,BA相交于点F,∠ADF的平分线交AF于点G. D (I)求证：DG∥AC (2)求证：AD=ID. 16.如图，△ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F 图1 图2 (1)点O是△ABC的心； (2如图1，若AB=9,BC=14,CA=13.设AF=x,求BF的值： (3)如图2，若∠B=90°，AB,BC,CA的长分别是a,b,c,则⊙0半径是 一（用含 a,b,c的式子表示). 17.如图，AB是⊙0的直径，△ABC内接于⊙0，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交 于点D,B是BC上任意一点，连接MD,BD,BE,CE. ⊙0 B (1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数： (2)找出图中所有与D1相等的线段，并证明： B)若CI=45,D1=I35,求△4BC 的周长」 18.追本溯源 题(1)来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题(2). 4 图1 图2 (1)如图1，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心.求∠BOC 的度数. 变式拓展 (2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，点O是△ABC的内心. ①求∠BOC的度数： ②若BC=13,AC=5,求OB的长. 参考答案 1.C 4.D 5.c 6.B 7.c 8.c 9.17 10.V2-1 11.（3,3) 2号 13.【详解】(1)解：OO是△ABC的内切圆， ∴.OA平分∠CAB，,OB平分∠CBA, 在Rt△ABC中，∠C=90°， .∠CAB+∠CBA=90°， ∠01B+20BA-C4B+2CB0=4, ∴.∠A0B=180°-45°=135° (2)解：设半径为，连接OE、OF :OO是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F, ∴由切线长定理得：BE=BD=6,AF=AD=4,CE=CF, :∠C=90°OE⊥BCOF⊥AC ∴四边形OECF是正方形，CE=CF=r, .AC=AF+CF=4+r,BC=BE+CE=6+r, :AB=AD+BD=4+6=10, 在Rt△ABC中，由勾股定理得： (4+r)2+(6+r)2=102 解得：r=2或r=-12(舍去负值)， ∴.⊙0的半径r=2. (3)解：由(2)知AC=6,BC=8,AB=10, 设斜边AB的中点为M,则M是Rt△ABC的外心， 分别连接OM,OD」 :AD=4,AB=10 AM=号8=5， .MD=AM-AD=5-4=1 :OD是内切圆半径，OD⊥AB, ∴.OD=r=2, 在RtAOMD中，由勾股定理得： 0M=VOD2+MD2=V22+12=V5 .Rt△AB 的外心和内心的距离为5 ⊙ D 14.【详解】(1)解：，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, .AF=AE,BF=BD,CD=CE. 设AF=AE=x, BF=BD=5-x,EC=DC=6-x, 根据题意得：5-x+6-x=7 解得：x=2cm AF=2cmBD=5-x=5-2=3(cm)）EC=6-x=6-2=4(cm)） 则AF的长为2cm; (2)解：AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm, 半月长=B+BC+C4.5+7+6-9(em). 2 2 又5aBc=66cm2 .6√6=r9 26 3 2W6】 则OD的长为3cm 15.【详解】(1)证明：点I是△ABC的内心， .∠2=∠7， O :DG平分∠ADF, 4DF :∠ABC+∠ADC=180° .∠ADF=∠ABC, ∠1=∠2， ∠3=∠2 ∠1=∠3. DG∥AC: (2)证明：，点I是△ABC的内心， ∴.∠5=∠6， .∠4=∠7+∠5=∠3+∠6， 即∠4=∠DAI, .AD=ID 16.【详解】(1)解：，⊙0是△ABC的内切圆， 点O是△ABC的内心. 故答案为：内： (2)解：：△ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, .AE=AF,BF=BD,CE=CD .AB=9,BC=14,CA=13,AF=x, .AE=AF=x, BD=BF=AB-AF=9-x,CD=CE=AC-AE=13-x, .BC=BD+CD=9-x+13-x=14,解得x=4, .BF=9-x=5. (3)解：如下图，连接OD,OE,OF :△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, :.AE=AF,BF=BD,CE=CD,∠OFB=∠ODB=90°， 设⊙0半径为r, ..OD=OF=r .∠B=∠OFB=∠ODB=90° 四边形ODBF为矩形， 又.OD=OF :,四边形ODBF为正方形， ∴.BD=BF=r, :'AE=AF=a-r,CE=CD=b-r, .AC=AE+CE=a-r+b-r=c, ∴.a+b-2r=c, ..r=a+b-c 2 a+b-c 故答案为： 2· 17.【详解】(1)解：：AB是⊙0的直径， ∴，∠ACB=90° .∠ABC=25° .∠CAB=90°-25°=65° :四边形ABEC是⊙O的内接四边形， .∠CEB+∠CAB=180°， .∠CEB=180°-∠CAB=115° (2)解：DI=AD=BD,证明如下： 如图所示，连接AI, D B :点I为△ABC的内心 ·LCA=∠BA,∠ACI=∠BCI=∠4CB=45 2 AD=BD .∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD, :∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI, ∴.∠DAI=∠DLA, .DI=AD=BD; 3)解：过I分别作0⊥AB,F⊥AC,P⊥BC,垂足分别为Q、R、P, D :点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心. ∴.Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点， .AO=AF,CF=CP,BQ=BP, CI=4W5.∠Fc=90°∠4C1=45 ..CF=4=CP, DI=AD=BD DI=132 ZADB=909 :.AB=√AD2+BD2=26 :.△ABC的周长为AB+AC+BC =AB+AF+CF+CP+BP =AB+AO+BO+2CF =2AB+2CF =2×26+2×4 =60, 18.【详解】解：(1)，点O是△ABC的内心. .OB平分∠ABC,OC平分∠ACB, A∠OBC=)∠ABC,∠0CB=∠ACB】 2 2 .∠ABC=50°，∠ACB=75° .L0BC=25°，∠0CB=37.5° .∠B0C=180°-∠0BC-∠0CB=117.5°； (2)①.在△ABC中，∠BAC=90°， .∠ABC+∠ACB=90° 点O是△ABC的内心， :.∠0BC+∠0CB=)(∠ABC+∠ACB)=450】 ∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°-45°=135° ②如图，画出△ABC的内切圆⊙O,过点O分别作OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥AC,垂足 分别为E,F,G,连接OA E」 根据三角形的内切圆的性质可知垂足E,F,G也是△ABC三边与OO的切点， ..OE=OF=OG,AE=AG,BE=BF,CF=CG :∠BAC=90°，BC=13,AC=5, :4B=VBC2-AC=132-5=12 设BE=x,则BF=x, :AE=AB-BE=12-x,CF=BC-BF =13-x, ..CG=CF=13-x,AG=AE=12-x, .CG+AG=AC. .13-x+12-x=5 解得x=10, .BE=10, 设OE=r, Sac=Saos+Sac+Saoc, ·2*5x12= 1 2×(6+12+13). 解得r=2, .OE=2 :0B=VBE2+0E=102+2=2√26