专题2.4 有理数的乘方9大题型（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦有理数乘方的核心知识点，系统梳理乘方定义（底数、指数、幂的概念）、运算符号法则及科学记数法，衔接有理数乘法与后续混合运算，构建从概念理解到实际应用的学习支架。 资料通过概念辨析（如负数乘方与相反数乘方区分）、符号规律探究（奇次幂偶次幂符号差异）及实际应用题型（折纸面积、细菌分裂），培养抽象能力、推理意识与应用意识。即学即练即时巩固，综合题型覆盖多维度，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺。

专题2.4 有理数的乘方 教学目标 1. 理解有理数乘方的定义，掌握底数、指数、幂的概念及数学含义。 2. 能正确读写乘方算式，区分乘方与乘法的联系与本质区别。 3. 掌握有理数乘方符号法则，能准确判断正数、负数乘方的结果符号。 4. 熟练进行简单有理数乘方运算，规范书写解题步骤与格式。 5. 运用乘方知识解决基础数学问题，培养归纳推理与运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握乘方相关概念，准确识别算式中的底数与指数，理解幂的意义。 （2）熟记有理数乘方符号规律，熟练完成各类简单乘方的计算。 （3）掌握乘方与乘法的转化方法，规范乘方运算的书写格式。 2.难点 （1）正确区分负数乘方与相反数乘方，避免底数识别错误导致失分。 （2）理解奇次幂、偶次幂的符号差异，灵活运用符号规律解题。 （3）结合混合运算准确计算乘方，规避运算顺序混乱的计算错误。 知识点01 有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 【即学即练】 1．的意义是（     ） A．乘以 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加 【答案】C 【详解】解：的意义是个相乘． 2．，，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 【答案】 负2的4次方 负的2的4次方 2的4次方的相反数 【分析】本题考查了有理数乘方的定义． 根据有理数乘方的定义，表示底数为的4次幂，读法强调底数是负数；表示2的4次幂的相反数，读法有两种，一种强调负号与指数的关系，另一种强调相反数的意义． 【详解】解：中，括号表示底数是，指数4表示4个相乘，即，读作“负2的4次方”； 中，没有括号，指数运算优先于负号，即4个2相乘的积的相反数，结果为，读作“负的2的4次方”或“2的4次方的相反数”； 故答案为：负2的4次方，负的2的4次方，2的4次方的相反数． 知识点02 有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【即学即练】 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． （1）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （2）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （3）按照有理数的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 4．阅读下列各式：解答下列问题： (1)猜想：________． (2)用学过的知识说明（1）中式子成立的理由． (3)计算：． 【答案】(1) (2) 理由如下： ． (3) 32 【分析】本题考查了有理数的乘方和对幂的概念的理解，以及有理数的简便运算. （1）根据题干规律即可推导出结果； （2）利用有理数的乘方和乘法运算进行证明即可； （3）将小数化成分数，然后根据前两问得到的结论进行求解即可. 【详解】（1）解：根据题干的规律可得： ； 故答案为：. （2）略 （3）解：原式 ． 知识点03 科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 【即学即练】 5．近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需先将亿化为普通整数，再按规则改写即可得到结果． 【详解】解：∵亿， ∴将其改写为符合要求的科学记数法，可得． 6．2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法定义，将还原时，只需把的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】中， 将的小数点向右移动位，得到原数为，故选B． 题型01 有理数幂的概念理解 1．在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 【答案】C 【分析】本题考查乘方的定义，表示n个a相乘（n为正整数），据此可得答案． 【详解】解：根据乘方的定义可知表示k个2相乘， ∴两个人的说法都不正确， 故选：C． 2．计算的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方和乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据乘方和乘法的意义列式即可． 【详解】解：原式表示10个2相加，10个3相乘，再将结果相加， 10个2相加即为，10个3相乘即为， 那么原式， 故选：A． 3．表示（   ） A．与5相乘的积 B．5个相乘的积 C．3个5相乘的积的相反数 D．5个2相乘的积 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解题的关键． 根据乘方运算的定义， 表示n个a相乘判断即可． 【详解】解：A、与5相乘的积：，故选项不符合题意； B、5个相乘的积：，故选项符合题意； C、3个5相乘的积的相反数：，故选项不符合题意； D、5个2相乘的积：，故选项不符合题意． 故选： B． 4．已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 【答案】A 【分析】本题考查乘方运算中底数的概念和运算顺序．的底数是3，而 的底数是 -3，因此底数不同；计算结果分别为和9，不同，即可得到答案． 【详解】解：，底数为3； ，底数为． 则甲的说法正确，乙的说法错误， 故选：A． 题型02 有理数的乘方运算 5．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 【答案】D 【详解】解：． 6．计算：________． 【答案】 【分析】按照乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：； （4）解： 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)9 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算： （1）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 题型03 有理数乘方逆运算 9．若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的运算与绝对值的性质，结合不等式条件确定、的取值是解题的关键．根据先确定、的所有可能值，再利用的条件筛选出符合要求的组合，进而求出的值． 【详解】解：， 或， ， ， 或， 又， 当时，不满足，满足， ， 当时，不满足，满足， ， 的值为或． 故选：． 10．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 11．已知，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义、乘方运算的逆运算以及有理数的混合运算，解答时，根据题意分别求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴或 当时，， 当时，， ∴的值为． 12．已知，，．若，求的值． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，有理数乘方的逆运算求出a、b、c的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数乘方的逆运算，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题的关键． 题型04 乘方运算的符号规律 13．下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 14．当n为正整数时，的值是（ ） A．0 B．2 C． D．2或 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的乘方，乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．利用的幂次性质：偶次幂为1，奇次幂为． 【详解】解：∵ n为正整数， ∴为偶数，为奇数， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 15．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了逆用同底数幂的乘法，积的乘方法则，将化成，结合奇负偶正，同底数幂乘法的逆运算，即可求解； 【详解】解：原式 ， 故答案为：. 16．请判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)负 (2)负 (3)负 (4)正 【分析】题目主要考查有理数的乘方运算，判断计算结果的正负，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）（2）（3）（4）分别根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （2）解：是的相反数， 因为是正数，所以其相反数为负数， 故的结果为负； （3）解：∵的指数是7，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （4）解：∵的指数是8，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正． 题型05 乘方的应用 17．有一块面积为2米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米2？ 【答案】米2． 【分析】本题考查了有理数乘方：求个相同因数积的运算，叫做乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方．根据第1次截去一半，剩下的面积米2，第2次截去一半，剩下的面积米2，依此类推，即可得到6次后剩下的纸片的面积． 【详解】解：第1次截去一半，剩下的面积米2， 第2次截去一半，剩下的面积米2， 第6次截去一半，剩下的面积（米2）． 所以第6次后剩下的纸片的面积是米2． 18．一张纸的厚度大约，对折1次厚，对折2次厚． (1)对折次，用代数式表示厚度； (2)当时，求出厚度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的定义，有理数乘方的计算，理解乘方的定义是解题的关键． （1）根据有理数的乘方的定义，对折n次为，然后进行计算即可得解； （2）将代入求出结果即可． 【详解】（1）解：对折n次后的厚度为． （2）当时，． 19．如图所示，将一张长方形的纸对折，可得一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次的折痕与上次的折痕保持平行，得到3条折痕，如图（2）所示，连续对折三次后，可以得到7条折痕． (1)连续对折4次，可以得到______条折痕； (2)连续对折多少次．可以得到1023条折痕？ (3)连续对折次呢，可以得到______条折痕． 【答案】(1)15 (2)10 (3) 【分析】本题考查图形的变化规律以及乘方运算的应用，解决本题的关键在于发现每次对折后折痕数量与对折次数之间的关系． （1）根据对折次数与折痕数之间的关系求解即可； （2）设对折a次可以得到1023条折痕，根据规律求解即可； （3）根据对折次数与折痕数之间的关系求解出规律求解即可． 【详解】（1）解：∵对折1次，折痕数为；   对折2次，折痕数为； 对折3次，折痕数为； 则对折4次，折痕数为； 故答案为：15； （2）解：设对折a次可以得到1023条折痕， 根据上述规律可得， 即， ∴， 即连续对折10次．可以得到1023条折痕； （3）解：根据上述规律可知，连续对折次，可以得到条折痕． 故答案为：． 20．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键． （1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （2）满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：101110转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解：由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为， 孩子已经出生了42天． 题型06 用科学记数法表示绝对值大于1的数 21．哈啰出行是一家致力于为用户提供自由出行工具的共享单车公司，年月开始陆续在包头地区进行投放，让包头市民都能便捷出行．《上半年中国共享单车行业监测报告》显示，哈啰单车月活跃用户规模最高达到万人，将数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把万表示为的形式，其中，为整数进行解答，即可． 【详解】解：万． 22．2025年，安徽省农业产量再创新高，全年粮食总产量达到亿斤，连续9年稳定在800亿斤以上，居全国第6位．其中数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于绝对值大于1的数，根据科学记数法，将数据写成（其中，n为正整数）的形式，确定a与n值即可． 【详解】解：亿． 23．根据苏州市文化广电和旅游局及官方媒体发布的最新数据，2026年春节期间（含除夕至正月十五或法定假期延长段，具体统计口径为春节假日期间），苏州市各景区共接待游客约为17500000人次，可用科学记数法表示为__________人次． 【答案】 【分析】当原数的绝对值大于等于10时，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．根据科学记数法的定义，确定参数a和n的值即可． 【详解】解：． 24．据报道今年国庆出游的全国旅客数达到826000000人次，数据826000000用科学记数法可表示为____． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，熟练掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数是解题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．根据科学记数法的表示方法，确定a和n的值即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型07 将用科学记数法表示的数变回原数 25．山东省面积大约为平方千米 ，用科学记数法表示的数，原数是__________． 【答案】150000 【详解】解：． 26．人体中大约有个红细胞，用科学记数法表示的数，原来是__________ 【答案】 【详解】解：对于，将的小数点向右移动位，得． 27．一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的概念，将科学记数法还原为原数，再数出原数中0的个数即可解题． 【详解】解：， 数原数可得，原数中0的个数为7． 故选：D． 28．一份最新报告显示，到2035年，元宇宙每年对中国的贡献将超过元，数据“”表示的数为（    ） A．31920000000000 B．31920000万 C．3192亿 D．31920亿 【答案】D 【分析】根据科学记数法的转换，结合单位换算即可得到结果． 【详解】解：∵亿， ∴亿． 题型08 有理数乘方运算的规律 29．观察等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，77＝823543，78＝5764801，79＝40353607，…，它们的个位数字有什么规律？用你发现的规律写出492021的个位数字是（　　） A．7 B．9 C．3 D．1 【答案】B 【分析】观察等式可知：7的幂的个位数字规律为每4个为一个循环，依次为：7，9，3，1；而492021＝（72）2021＝74042，因此492021的个位数字符合7的幂的个位数字的规律，利用4042÷4＝1010余2，说明492021的个位数字与72的个位数字相同，结论可得． 【详解】解：观察等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，77＝823543，78＝5764801，79＝40353607，…，它们的个位数字的规律为：每4个为一个循环，依次为：7，9，3，1； ∵492021＝（72）2021＝74042， 又4042÷4＝1010•••2， ∴492021的个位数字与72的个位数字相同， ∴492021的个位数字为9． 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方个位数字的变化，解答时要先通过计算较小的数字得出规律，然后得到相关结果. 30．根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（    ） A． B． C．254 D．256 【答案】C 【分析】本题考查图形中的数字规律问题，含乘方的有理数的混合运算，根据图形中的数字，抽象概括出数字规律是解题的关键． 先找到三角形每个位置上的数字规律，确定第⑨个图中的数字，再进行计算即可． 【详解】解：设三角形左上位置的数字为：，右上位置上的数字为：，下方位置上的数字为：，由图可知： ， ， ， ∴， ∴； ， ， ， ∴， ∴； ， ， ， ∴， ∴； ∴； 故选C． 31．大衍数列：，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，对于按一定规律排列的数：，…，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是________． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，乘方的运算，理解材料的计算方法，找出规律是关键，根据材料提示的计算方法，设为序号（的正整数），即第个数，其计算规律为：当序号是奇数时，第个数为，当序号是偶数时，第个数为，第11个数为奇数，由此代入计算即可求解． 【详解】解：设为序号（的正整数），即第个数， ∴，即第1个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第2个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第3个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第4个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第5个数，序号为奇数，对应的数字为：， ， 当，即第11个数，序号为奇数，对应的数字为：， 故答案为：． 32．观察下列各式： ；；；；…… (1)根据你发现的规律，计算算式的值：； (2)请用一个含的算式表示这个规律：； (3)根据发现的规律，请计算算式：的值（写出必要的解题过程）． 【答案】(1)91 (2) (3)2485 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，熟练掌握有理数混合运算顺序是解题的关键． （1）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （2）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （3）用的值减去的值，再类比所给的4个算式进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 题型09 有理数乘方运算的新定义问题 33．对于有理数a，b，定义运算：．若有理数x，y满足，则的值为（   ） A． B．2 C． D．12 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值、有理数的运算、绝对值和偶次方的非负性，读懂新运算的定义是解题关键．先根据绝对值和偶次方的非负性可求出的值，再根据新运算的定义代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 34．对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据新定义运算的规律得到，将2026转化为，即可求解． 【详解】解：由和， 可得． 因为，所以． 故答案为：． 35．根据乘方的定义，可得： (1)请你写出一个类似上述特点的式子； (2)猜想并根据乘方的定义证明：________（其中为正整数）； (3)根据上述探索的结论，计算：． 【答案】(1)答案不唯一，合理即可， (2) (3) 【分析】本题考查的是乘方运算规律的探究，理解乘方运算的含义是解本题的关键； （1）举例，结合乘方运算的含义可化为，即可得到答案； （2）根据题干的提示与（1）的示例总结归纳，再模仿证明即可； （3）把化为，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：（其中为正整数）； 证明： （3）解： ； 36．（1）计算：①______；______； ②______；______． （2）根据乘方的定义和乘法交换律、结合律，可以作出如下推导：______ （3）猜想：当n为正整数时，______． （4）利用上述结论，求：①；② 【答案】（1）①，；②225，225；（2）；（3）；（4）①；② ； 【分析】本题考查有理数的乘方、有理数的乘法，掌握乘方的意义是解题的关键． （1）①根据乘方的意义直接计算即可； ②根据乘方的意义直接计算即可； （2）根据乘方的意义直接计算即可； （3）根据以上的规律猜想，并利用乘方的意义求解即可； （4）②逆用（3）中得到的结论计算即可；②变形后逆用（3）中得到的结论计算即可． 【详解】（1）①；； ②；； 故答案为：36；36；225；225； （2） ， 故答案为：； （3）当n为正整数时，， 故答案为：； （4）① ； ② ． 1．（2025九年级·安徽合肥·专题练习）表示的原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的定义，移动小数点即可得到原数． 【详解】解：科学记数法形式为（，为正整数），还原原数时需将的小数点向右移动位， 本题中，，将的小数点向右移动位， 得到原数为． 2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 3．（2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 4．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】A 【详解】解：∵任意数的平方和绝对值都是非负数，且， ∴，， 解得 ，， 将， 代入 得：. 5．（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据每过30分钟便会由1个分裂成2个，由4小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数． 【详解】解：4小时求出分裂的次数为（次）， 经过30分钟，这种细胞由1个能分裂成个 经过60分钟，这种细胞由1个能分裂成个， ...， ∴经过4小时，这种细胞由1个能分裂成个． 6．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）用分数表示：_______． 【答案】 【分析】先将化成分数，再根据乘方定义计算出结果． 【详解】解：． 37．（2022九年级·安徽合肥·专题练习）全球每年大约有立方米的水从海洋和陆地转化为大气中的水蒸气，将科学记数法表示的数还原为原数是__________ 【答案】577000000000000 【详解】解：． 8．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若，则________． 【答案】2 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 9．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 10．（25-26七年级上·广东梅州·期中）设、都表示有理数，规定一种新运算“△”：当时，；时，．则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 11．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 12．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5，y是最大的负整数，求的值． 【答案】98 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值以及有理数相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据题意确定，，，，然后代入求值即可． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴原式． 13．（25-26八年级上·河南许昌·阶段检测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… (1)根据规律写出第④个等式： (2)利用规律计算：　　　　　　 (3)计算：（结果用幂的形式表示）． 【答案】(1) (2) 31 (3) 【分析】（1）根据题目已给出的式子判断出规律得到第4个等式即可； （2）根据（1）中的规律写出答案即可； （3）根据规律得求解即可． 本题主要考查了数字的变化类，有理数的乘方运算，解决本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． 【详解】（1）解：根据规律得第④个等式：． （2）由（1）得． （3） ． 14．（25-26七年级上·河北廊坊·期中）观察下面三行数： 第①行：，4，，16，，64，…； 第②行：0，6，，18，，66，⋯； 第③行：，2，，8，，32，．．．． (1)第①行中的第个数是_____（用含的代数式表示）； (2)观察第②、③行与第①行中每个对应位置上的数，写出第②、③行的第个数（用含的代数式表示）； (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了数字规律探索，列代数式，有理数混合运算，根据已知数据找到变化规律是解题的关键． （）根据第①行的数排列为：，，，，，即可求解； （）根据第②行的数比第①行对应的数大，第③行的数是第①行对应的数的即可求解； （）根据找到的规律列式计算即可． 【详解】（1）解：∵第①行的数排列为：，，，，，， ∴第①行第个数是， 故答案为：； （2）解：第②行的第个数是． 第③行的第个数是． （3）解：每行中第10个数的和是 ． 15．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给的错位相减法进行求解即可． 【详解】解：设①， 将等式两边同时乘以6得：②， 再将得：， 即． 16．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 17．（25-26六年级上·山东烟台·期中）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 【详解】解：依次判断各数： ∵ ，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ，是负数， ，是正数， 既不是正数也不是负数， ∴负数共有个． 18．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 19．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）若一个正整数，将其拆分为两半后，两数之和的平方恰好等于原数，则称这个数为雷劈数．如3025，拆分为两半30和25，而，，则称3025为雷劈数．下列哪个数是雷劈数（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，正确理解雷劈数的定义是解题关键．根据雷劈数的定义，将四位数拆分为前两位与后两位，计算两数之和的平方，判断是否等于原数，由此即可得． 【详解】解：A、2023拆分为20和23，，，则此项不是雷劈数； B、2024拆分为20和24，，，则此项不是雷劈数； C、2025拆分为20和25，，，则此项是雷劈数； D、2026拆分为20和26，，，则此项不是雷劈数； 故选：C． 20．（25-26七年级上·四川眉山·期中）已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，按照有理数混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的，根据给定的运算法则逐步计算即可． 【详解】解：． 21．（25-26七年级·全国·暑假作业）如图是洪涛同学的小测卷，他的得分应是______分． 姓名洪涛               得分？ 填空（每小题25分，共100分） ①2的相反数是； ②倒数等于它本身的数是1和； ③1的绝对值是1； ④2的立方是6． 【答案】75 【分析】根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的性质以及有理数乘方的定义，逐一判断题干解答的正误，再结合每题分值计算总得分． 【详解】解：①的相反数是，该题解答正确； ②倒数等于它本身的数是和，该题解答正确； ③的绝对值是，该题解答正确； ④的立方为，该题解答错误； 则洪涛答对道题，每题分，总得分（分）． 22．（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数． 【详解】解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． 23．（2026·广东惠州·二模）日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域．十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F分别表示10，11，12，13，14，15．如表示十六进制数，将它转换成十进制形式是，那么将十六进制数转换成十进制数为___． 【答案】2026 【分析】根据十六进制转换为十进制的规则，将十六进制数每一位上的数字乘以的对应幂次，再求和即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，表示，表示，可得： ． 24．（2022·甘肃武威·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】4 【分析】观察已知等式可知，以2为底的幂的个位数字按，，，依次循环，计算得到余数，根据余数即可确定的个位数字． 【详解】解：观察给出的等式，，，，，…， ∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，． ， ∴的个位数字与的个位数字相同，是． 25．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 26．（25-26七年级下·全国·课后作业）某种细胞分裂时，1个细胞分裂1次变为2个，分裂2次变为4个，分裂3次变为8个……你能由此说明的合理性吗？ 【答案】 是合理的. 【分析】根据细胞分裂的规律可得分裂n次变为个，据此规律解答． 【详解】解：∵1个细胞分裂1次变为个； 分裂2次变为个； 分裂3次变为个， ∴这种细胞分裂n次变为个， 则没有分裂表示为个， ∴． 则是合理的． 27．（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 即． 28．（25-26九年级下·湖北孝感·阶段检测）综合与实践 素材1 进位制是为了计数和运算方便约定的计数系统，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．其中十进制数“1024”记作1024，二进制数“1011”记作，五进制数“1024”记作等． 素材2 例：八进制数“1024”转换成十进制数为：．其他进位制也有类似的算法… 素材3 将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为0，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：把十进制数66转换为七进制． 任务：请同学们认真阅读上面素材，解决下面的题目： (1)把转换为十进制数为 ；把十进制数21转换为三进制数为 ． (2)请尝试将转换为五进制数． 【答案】(1)11； (2) 【分析】（1）由题意，依据二进制转十进制的算法算出对应的十进制数，再用十进制转三进制的方法得出21对应的三进制数即可． （2）先将转为十进制，再按十进制转五进制的规则将其转换为五进制数即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； 十进制数21转换为三进制数，可得 （2）解：转换为十进制数，可得， 再将转换为五进制数，可得 ， 将转换为五进制数为． 29．（25-26六年级上·山东泰安·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：________， =________． (2)关于除方，下列说法错误的是（   ） A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； B．对于任何正整数n，； C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． =________；=_________；=_______ (4)想一想∶的圈次方写成幂的形式等于 ． (5)算一算： 【答案】(1) (2)C (3) ，， (4) (5) 【分析】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正确的判断； （3）观察例题得到规律，一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，按规律得到结果； （4）根据定义写出答案即可； （5）根据圈a的运算规定，按着有理数的运算顺序、运算法则计算出结果. 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，4． （2）解：，， 由于， ， 其它三个选项均正确， 所以选项错误， 故选：C． （3）解：； ； ； 故答案为：；；； （4）解：的圈次方， 故答案为：； （5）解： ． 30．（25-26七年级上·福建南平·期末）我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千，7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子：．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1． 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．将(1011)2转换为十进制数，如下：． 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号为1到12．四张卡片A，B，C，D上的数字为0或1（顺序为），如：A．1，B．1，C．0，D．0，记为，然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号． （1）请将二进制数转换为十进制数； （2）若A，D卡片上的数字都为0，B，C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A，B，C，D，E组成的二进制数来表示1号到31号中的一天，五张卡片A，B，C，D，E上的数字为0或1（顺序为）．他的生日是八月的某天，若A，D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由． 【答案】（1）12； （2）对应的生肖是蛇．理由如下： 因为    所以对应的生肖是蛇． （3）他的生日是八月18号．理由如下： 因为     所以他的生日是八月18号． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制、十进制数的定义以及计算方法是正确解答的关键． （1）根据二进制与十进制的计算方法进行计算即可； （2）根据二进制的定义以及与十进制的计算方法进行计算即可； （3）根据二进制的定义以及与十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）略 （3）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 有理数的乘方 教学目标 1. 理解有理数乘方的定义，掌握底数、指数、幂的概念及数学含义。 2. 能正确读写乘方算式，区分乘方与乘法的联系与本质区别。 3. 掌握有理数乘方符号法则，能准确判断正数、负数乘方的结果符号。 4. 熟练进行简单有理数乘方运算，规范书写解题步骤与格式。 5. 运用乘方知识解决基础数学问题，培养归纳推理与运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握乘方相关概念，准确识别算式中的底数与指数，理解幂的意义。 （2）熟记有理数乘方符号规律，熟练完成各类简单乘方的计算。 （3）掌握乘方与乘法的转化方法，规范乘方运算的书写格式。 2.难点 （1）正确区分负数乘方与相反数乘方，避免底数识别错误导致失分。 （2）理解奇次幂、偶次幂的符号差异，灵活运用符号规律解题。 （3）结合混合运算准确计算乘方，规避运算顺序混乱的计算错误。 知识点01 有理数乘方的意义求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 【即学即练】 1．的意义是（     ） A．乘以 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加 2．，，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 知识点02 有理数乘方的运算有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 1. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 2. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【即学即练】 3．计算： (1)； (2)； (3)． 4．阅读下列各式：解答下列问题： (1)猜想：________． (2)用学过的知识说明（1）中式子成立的理由． (3)计算：． 知识点03 科学记数法科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 1. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 【即学即练】 5．近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 6．2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 题型01 有理数幂的概念理解 1．在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 2．计算的算式是（    ） A． B． C． D． 3．表示（   ） A．与5相乘的积 B．5个相乘的积 C．3个5相乘的积的相反数 D．5个2相乘的积 4．已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 题型02 有理数的乘方运算 5．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 6．计算：________． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型03 有理数乘方逆运算 9．若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 11．已知，，且，求的值． 12．已知，，．若，求的值． 题型04 乘方运算的符号规律 13．下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 14．当n为正整数时，的值是（ ） A．0 B．2 C． D．2或 15．计算：________． 16．请判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05 乘方的应用 17．有一块面积为2米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米2？ 18．一张纸的厚度大约，对折1次厚，对折2次厚． (1)对折次，用代数式表示厚度； (2)当时，求出厚度． 19．如图所示，将一张长方形的纸对折，可得一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次的折痕与上次的折痕保持平行，得到3条折痕，如图（2）所示，连续对折三次后，可以得到7条折痕． (1)连续对折4次，可以得到______条折痕； (2)连续对折多少次．可以得到1023条折痕？ (3)连续对折次呢，可以得到______条折痕． 20．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 题型06 用科学记数法表示绝对值大于1的数 21．哈啰出行是一家致力于为用户提供自由出行工具的共享单车公司，年月开始陆续在包头地区进行投放，让包头市民都能便捷出行．《上半年中国共享单车行业监测报告》显示，哈啰单车月活跃用户规模最高达到万人，将数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 22．2025年，安徽省农业产量再创新高，全年粮食总产量达到亿斤，连续9年稳定在800亿斤以上，居全国第6位．其中数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 23．根据苏州市文化广电和旅游局及官方媒体发布的最新数据，2026年春节期间（含除夕至正月十五或法定假期延长段，具体统计口径为春节假日期间），苏州市各景区共接待游客约为17500000人次，可用科学记数法表示为__________人次． 24．据报道今年国庆出游的全国旅客数达到826000000人次，数据826000000用科学记数法可表示为____． 题型07 将用科学记数法表示的数变回原数 25．山东省面积大约为平方千米 ，用科学记数法表示的数，原数是__________． 26．人体中大约有个红细胞，用科学记数法表示的数，原来是__________ 27．一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 28．一份最新报告显示，到2035年，元宇宙每年对中国的贡献将超过元，数据“”表示的数为（    ） A．31920000000000 B．31920000万 C．3192亿 D．31920亿 题型08 有理数乘方运算的规律 29．观察等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，77＝823543，78＝5764801，79＝40353607，…，它们的个位数字有什么规律？用你发现的规律写出492021的个位数字是（　　） A．7 B．9 C．3 D．1 30．根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，的值是（    ） A． B． C．254 D．256 31．大衍数列：，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，对于按一定规律排列的数：，…，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是________． 32．观察下列各式： ；；；；…… (1)根据你发现的规律，计算算式的值：； (2)请用一个含的算式表示这个规律：； (3)根据发现的规律，请计算算式：的值（写出必要的解题过程）． 题型09 有理数乘方运算的新定义问题 33．对于有理数a，b，定义运算：．若有理数x，y满足，则的值为（   ） A． B．2 C． D．12 34．对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是______． 35．根据乘方的定义，可得： (1)请你写出一个类似上述特点的式子； (2)猜想并根据乘方的定义证明：________（其中为正整数）； (3)根据上述探索的结论，计算：． 36．（1）计算：①______；______； ②______；______． （2）根据乘方的定义和乘法交换律、结合律，可以作出如下推导：______ （3）猜想：当n为正整数时，______． （4）利用上述结论，求：①；② 1．（2025九年级·安徽合肥·专题练习）表示的原数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 3．（2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 4．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 5．（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）用分数表示：_______． 37．（2022九年级·安徽合肥·专题练习）全球每年大约有立方米的水从海洋和陆地转化为大气中的水蒸气，将科学记数法表示的数还原为原数是__________ 8．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若，则________． 9．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 10．（25-26七年级上·广东梅州·期中）设、都表示有理数，规定一种新运算“△”：当时，；时，．则______． 11．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5，y是最大的负整数，求的值． 13．（25-26八年级上·河南许昌·阶段检测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… (1)根据规律写出第④个等式： (2)利用规律计算：　　　　　　 (3)计算：（结果用幂的形式表示）． 14．（25-26七年级上·河北廊坊·期中）观察下面三行数： 第①行：，4，，16，，64，…； 第②行：0，6，，18，，66，⋯； 第③行：，2，，8，，32，．．．． (1)第①行中的第个数是_____（用含的代数式表示）； (2)观察第②、③行与第①行中每个对应位置上的数，写出第②、③行的第个数（用含的代数式表示）； (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和． 15．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 16．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 17．（25-26六年级上·山东烟台·期中）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）若一个正整数，将其拆分为两半后，两数之和的平方恰好等于原数，则称这个数为雷劈数．如3025，拆分为两半30和25，而，，则称3025为雷劈数．下列哪个数是雷劈数（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 20．（25-26七年级上·四川眉山·期中）已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 21．（25-26七年级·全国·暑假作业）如图是洪涛同学的小测卷，他的得分应是______分． 姓名洪涛               得分？ 填空（每小题25分，共100分） ①2的相反数是； ②倒数等于它本身的数是1和； ③1的绝对值是1； ④2的立方是6． 22．（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 23．（2026·广东惠州·二模）日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域．十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F分别表示10，11，12，13，14，15．如表示十六进制数，将它转换成十进制形式是，那么将十六进制数转换成十进制数为___． 24．（2022·甘肃武威·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 25．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 26．（25-26七年级下·全国·课后作业）某种细胞分裂时，1个细胞分裂1次变为2个，分裂2次变为4个，分裂3次变为8个……你能由此说明的合理性吗？ 27．（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 28．（25-26九年级下·湖北孝感·阶段检测）综合与实践 素材1 进位制是为了计数和运算方便约定的计数系统，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．其中十进制数“1024”记作1024，二进制数“1011”记作，五进制数“1024”记作等． 素材2 例：八进制数“1024”转换成十进制数为：．其他进位制也有类似的算法… 素材3 将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为0，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：把十进制数66转换为七进制． 任务：请同学们认真阅读上面素材，解决下面的题目： (1)把转换为十进制数为 ；把十进制数21转换为三进制数为 ． (2)请尝试将转换为五进制数． 29．（25-26六年级上·山东泰安·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：________， =________． (2)关于除方，下列说法错误的是（   ） A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； B．对于任何正整数n，； C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． =________；=_________；=_______ (4)想一想∶的圈次方写成幂的形式等于 ． (5)算一算： 30．（25-26七年级上·福建南平·期末）我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千，7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子：．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1． 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．将(1011)2转换为十进制数，如下：． 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号为1到12．四张卡片A，B，C，D上的数字为0或1（顺序为），如：A．1，B．1，C．0，D．0，记为，然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号． （1）请将二进制数转换为十进制数； （2）若A，D卡片上的数字都为0，B，C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A，B，C，D，E组成的二进制数来表示1号到31号中的一天，五张卡片A，B，C，D，E上的数字为0或1（顺序为）．他的生日是八月的某天，若A，D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $