4.2.2指数函数的图象和性质（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的图象和性质，课堂导入遵循“背景—概念—图象和性质—应用”路径，联系幂函数研究经验，引导学生思考函数性质研究方法，搭建前后知识学习支架。 其亮点在于通过绘制具体函数图象、分析对称性，从特殊到一般归纳性质，体现数学眼光的几何直观；结合分类讨论、复合函数单调性等典例，培养数学思维的推理能力；小结系统梳理规律，助力数学语言表达。学生能建立“以形助数”思维，教师可高效开展教学。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.2.2指数函数的图象和性质 4.2 指数函数 学 习 目 标 1 2 3 能从具体指数函数的图象中抽象出指数函数的一般性质，体会从特殊到一般的认知规律。 能借助图象直观理解指数函数的单调性、值域、渐近线等性质，建立“以形助数”的思维习惯。 能利用指数函数的性质比较大小、判断图象特征，体会分类讨论（底数 a>1 与 0<a<1）的思想方法。 导语 知识讲解 互动探究 新课引入 对于具体的函数，我们一般按照“背景—概念—图象和性质—应用”的路径进行研究。前面一节我们从具有现实背景的问题中，学习得到了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质，并灵活应用。根据我们在第三章研究幂函数的经验思考：如何研究一个函数的性质？研究一个函数的性质主要是研究哪些方面？ 研究指数函数的图象和性质，首先要作出函数的图象，其次再根据图象概括函数的性质，最后还可以由性质进一步分析函数的图象。按照函数研究的一般过程，需要研究指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，以及其特有的一些性质。 3 目标一：指数函数的图象 特殊图象 知识讲解 互动探究 新课引入 首先画出指数函数的图象，我们先从简单的函数 y= 开始。请同学们利用计算器完成 x,y 的对应值表1，并用描点法画出函数 y= 的图象。 0.25 0.35 0.5 0.71 0 1 0.5 1.41 1 2 1.5 2.83 2 4 5 图象的对称性 知识讲解 互动探究 新课引入 为了得到指数函数 y= (a>0)，且 a≠1 的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察。用同样的方法，在同一直角坐标系内画出函数 y的图象，并与函数 y= 的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数 y= 的图象，画出函数 y的图象？ 对称分析 因为 y，点 (x,y) 与点 (-x,y) 关于 y 轴对称，所以函数 y= 图象上任意一点 P(x,y) 关于 y 轴的对称点 都在函数 y的图象上。 反之亦然。由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称。 应用对称 根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数 y= 的图象，画出 y的图象（如图） 6 图象特征 知识讲解 互动探究 新课引入 选取底数a（a>0，且a≠1）的若干个不同的值，例如a=3, a=4, a，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？ 特征 图象位置 全部在 轴上方（） 全部在 轴上方（） 过定点 恒过点 恒过点 左右趋势 左低右高 左高右低 渐近线 轴（）为渐近线，当 时， 轴（）为渐近线，当 时， 增长/衰减速度 随 增大， 增长越来越快（爆炸式增长） 随 增大， 衰减越来越慢（指数衰减） 对称性 与 的图象关于 轴对称 与 的图象关于 轴对称 底数影响 越大， 轴右侧图象越高（增长越快）， 轴左侧图象越贴近 轴 越小， 轴右侧图象越低（衰减越快）， 轴左侧图象越高 7 指数函数图象过定点 例1 已知关于x的函数2（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A， 则点A的坐标为( ) A. (1,0) B. (1,2) C. (2,2) D. (1,3) 典例分析 牛刀小试 答案: D 解析: 令x=1，则y=3，所以函数图象恒过定点(1,3).故选:D. 令指数为零，既使得x为定值，也能使y为定值，得到了定点。 指数函数图象识别 例2 如图是指数函数 f 的部分图象，已知 取 这四个值，则曲线 相对应的 依次为( ) B. C. D.   典例分析 牛刀小试 答案: D 解析: 当x=1时, y越大, a越大.的a值小于的a值小于的a值小于的a值.故选: D. 实际应用 例3 如图，某城市人口呈指数增长。 (1) 根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； (2) 该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 典例分析 牛刀小试 分析: (1) 因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期。 (2) 要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系。 解: (1) 观察图象，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年. (2) 因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番. 因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人. 目标二：指数函数的性质 归纳性质 知识讲解 互动探究 新课引入 性质 具体内容 定义域 （全体实数） 值域 （图象恒在 轴上方，取不到0和负数） 奇偶性 非奇非偶。（不满足 ，也不满足 ） 单调性 时：在 上单调递增（ 越大， 越大）； 时：在 上单调递减（ 越大， 越小）。 函数值分布 ① 时：若 ，则 ；若 ，则 。② 时：。③ 时：若 ，则 ；若 ，则 。 通过对图象的研究，我们发现指数函数 y= 的性质的状况，也是按底数 a 的取值，可分为 0<a<1 和 a>1 两种类型. 因此指数函数的性质也可以分 0<a<1 和 a>1 两种情况进行研究，设计的表格如表 12 单调性 例5 设函数f(x)=在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是() A.(-,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+) 典例分析 牛刀小试 此函数是由二次函数和指数函数组成的复合函数，整体增减性由双方共同决定：同增异减。 解析：因为函数 f(x)= 在区间 (0,1) 单调递减，所以函数 y=x(x-a) 在区间 (0,1) 单调递减，所以 ≥1，即 a≥2，故 a 的取值范围是 [2,+∞)，故选 D。 比大小 例5 比较下列各题中两个值的大小： , , , 典例分析 牛刀小试 分析：对于（1）（2），要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3），不能看作某一个指数函数的两个函数值。可以利用函数 y的单调性，以及“x=0 时，y=1”这条性质把它们联系起来。 解： (1) 和 可看作函数 当 分别取 2.5 和 3 时所对应的两个函数值。 因为底数 ，所以指数函数 是增函数。 因为 ，所以 。 (2) 同理，因为 ，所以指数函数 是减函数。 因为 ，所以 。 (3) 由指数函数的性质知 ，, 所以 。 利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系。 1. 同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较。 2. 指数相同底数不同时 分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当 x 取相同幂指数时可观察出函数值的大小。 3. 底数、指数都不同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较。 4. 底数含参数时，要按底数 (a > 1) 和 (0 < a < 1) 两种情况分类讨论。 比较幂的大小的办法 定义域 例6 函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 关键是解指数不等式，不等号两边化同底数，由单调性，转化为比较指数的大小。 由题意得 所以 即又指数函数 为 上的单调减函数， 所以 ，解得 。 定义域 例6 函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解析： 令 解得 且 ， 所以函数 的定义域为 。 故选：C。 值域 例9 函数 f(x)=（a>0，且 a≠1）在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大 ， 则 a 的值为______。 典例分析 牛刀小试 基本指数函数，值域由单调性及定义域决定。要分类讨论。 解析： 当 a>1 时，函数 f(x) 在区间 [1,2] 上单调递增，由题意可得： f(2)-f(1)=- 解得 a= 或 a=0（舍去）； 当 0<a<1 时，函数 f(x) 在区间 [1,2] 上单调递减，由题意可得： f(1)-f(2)= 解得 a= 或 a=0（舍去）； 综上所述：。 值域 例10 函数 f(x)=的值域为（ ） A. [,+∞) B. [0,+∞) C. [1,+∞) D. [2,+∞) 典例分析 牛刀小试 复合函数，外指内二次，双方配合求值域。 答案：A 解析： 因为 y=-1 的值域为 [-1,+∞)，且 y= 在 R 上单调递增， 所以 f(x)=的值域为 [,+∞)，故选：A。 目标三：针对训练 举一反三 1.已知 且 ， 与 的图象可以是（ ） 对 ，该函数过定点 (0,1)，且 恒成立， 对 ，该函数过定点 (0,0)，若 ，对 ，，则 在 上单调递减，又 ，故 在 上单调递增， 若 ，对 ，，则 在 上单调递增， 又 ，故 在 上单调递增，故排除 AB；对 ，由 且 ，故 在定义域内单调递增，故排除 C。故选：D。 举一反三 2.已知函数 的图象过原点，且无限接近直线 但又不与该直线相交。 （1）求该函数的解析式，并画出图象； （2）判断该函数的奇偶性和单调性。 解：(1) 由题意知，，∴ ，∴ ，即 举一反三 2.已知函数 的图象过原点，且无限接近直线 但又不与该直线相交。 （1）求该函数的解析式，并画出图象； （2）判断该函数的奇偶性和单调性。 (2) ∵ ,∴∴ 为偶函数。又∴ 在 上为减函数，在 上为增函数。 举一反三 3.已知函数 ，若 ，则 的最大值和最小值分别是（ ） A. B. C. D. 解析： 由 ，得到 ，令 ， 则 ，对称轴 ， 当 时， 取得最大值，最大值为 当 时， 取得最小值，最小值为 所以 的最大值和最小值分别是 、1， 举一反三 4.函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 解析： 令 ，则 ，则原函数可化为 进一步变形： 由基本不等式可得函数的值域为 目标四：小结 学海拾贝 情形 1：a>1（例：y=） 定义域：R 值域：(0,+∞) 定点：过定点 (0,1)，x=0 时，y=1 单调性：在 R 上单调递增 x>0⇒y>1； x<0⇒0<y<1 图象特征：自左向右上升，位于 x 轴上方，以 x 轴为渐近线 学海拾贝 情形 2：0<a<1（例：y 定义域：R 值域：(0,+∞) 定点：过定点 (0,1) 单调性：在 R 上单调递减 x>0⇒0<y<1； x<0⇒y>1 图象特征：自左向右下降，位于 x 轴上方，以 x 轴为渐近线 学海拾贝 3、重要图象规律 y= 与 y 的图象关于 y 轴对称； 在 y 轴右侧：底数越大，图象位置越高； 所有指数函数图象恒在 x 轴上方，函数值永远大于 0。 4.核心应用方法 1) 比较大小 同底不同指数：利用单调性； 同指数不同底：利用图象高低； 不同底不同指数：引入中间量（1,0）搭桥。 2) 简单不等式求解 将两侧化为同底指数式，根据底数范围，去掉底数后不等号方向是否改变。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $