专题13 规律探索与逻辑推理（5年汇编）（安徽专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦规律探索与逻辑推理，汇编2022-2026年安徽中考真题及模拟题，以项目式学习和综合实践为载体，体现图形结合递推与跨考点融合趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|为主|规律探索（勾股数有序表示、正多边形密铺）、逻辑推理（代数性质判断）|结合5年考情，突出观察归纳与递推思想，如2026年勾股数探究题| |填空题|适中|数字序列、图形累加规律|嵌入项目拓展设问，如杨辉三角系数规律探究| |选择题|基础|真假命题、条件充分性判断|轮换考点设计，如2024年实数性质推理题|

专题13 规律探索与逻辑推理 5年真题1年模拟 考点分类 安徽考情（2022-2026） 命题规律 考点01规律探索 2026 2025 2024 2023 2022 1.常见类型：数字序列规律、图形累加规律、点阵规律、循环周期规律； 2.考查核心：观察归纳、递推思想，常要求写出第n项通项公式； 3.难度中档偏上，区分基础生与优等生； 4. 趋势：单纯数字规律减少，图形结合递推成为主流。 考点02 逻辑推理 2024 1.题型：选择小题为主； 2.内容：真假命题判断、简单演绎推理、反例辨析、条件充分性判断； 3.命题特点：不年年必考，属于轮换考点； 4.考向预测：常和几何命题、代数性质结合，很少单独出复杂大题； 5. 注意：近年有融合趋势，偶尔嵌入规律探索综合设问。 考点01 规律探索 1．（2026·安徽·中考真题）项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为． 设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数． 【规律探究】 分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 序号 2 1 1 3 1 2 2 3 4 1 4 2 5 3 6 … … … … 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： (1)，对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____； (2)勾股数对应的_____，_____； (3)序号为15的勾股数是（_____，_____，_____）． 【项目拓展】 (4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 2．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 3．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 4．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 5．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 考点02 逻辑推理 1．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知实数满足：，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽滁州·三模）若，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知两个非负实数a、b与实数满足，且，则下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽合肥·三模）已知，为实数，且，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足， ，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽·二模）已知实数，满足，且，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·安徽马鞍山·二模）已知三个实数，，，满足，，则下列结论不正确的是(    ) A． B．若，则 C． D． 10．（2026·安徽六安·二模）已知实数满足，则下列判断有误的是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·安徽六安·模拟预测）已知三个实数满足，且，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．4 12．（2026·安徽马鞍山·三模）已知 ，则下列不等式不正确的是（     ） A． B． C． D． 13．（2026·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，将点沿箭头方向按如图所示规律移动，当点首次位于轴上时，停止移动．甲、乙、丙三位同学的结论如下， 甲：点的坐标为； 乙：若在直线两侧的点（点，，，）的个数相等，则的取值范围为； 丙：直线与折线相交于点，从到的运动中的值先减小后增大． 则下列判断正确的是（   ） A．甲、乙正确 B．甲、丙正确 C．乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 二、填空题 14．（2026·安徽淮北·二模）如图，线段，以为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的前6个小半圆的弧长之和为________． 15．（2026·安徽淮北·模拟预测）项目式学习：我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．“杨辉三角”的构造法为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．如图，图中的第n行对应的展开式，如在第2行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第3行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．定义，代表第n行第个系数（k为自然数，且）． (1)根据上面的规则，结合系数表规律，则________，________；由系数表规律可推测第一斜列（每一行的第1个系数组成第一斜列，以此类推）中________，第二斜列中________； (2)当n大于1，每个系数均为其上方右边和左边两系数之和，现研究第三斜列规律：完成填空，即；；可以看成_____________； 可以看成__________________；……由此可以得出________； (3)在（2）的条件下，若是其右上方系数的倍（），则m的值为________． 三、解答题 16．（2026·安徽阜阳·二模）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把，这样的数称为“三角形数”，某数学兴趣小组对“三角形数”进行了研究． 【规律发现】 ①第个“三角形数”可以表示为； ②第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 【规律应用】 (1)第5个等式为___________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 17．（2026·安徽阜阳·三模）某数学兴趣小组研究发现“十位数之和为10，个位数相等的两个两位数相乘，所得的积具有一定的规律”，并写出了如下等式： 第1组：； 第2组： 第3组：； …… (1)根据上述运算规律，请将等式补充完整：__________________； (2)设一个两位数的十位数字为整数a（），个位数字为整数b（），请你用含a，b的等式表示上述规律，并进行证明． 18．（2026·安徽合肥·三模）如图，将若干个小正方体按如图所示的规律摆成“L”立体图形 (1)图形1中小正方体个数记作，图形2中小正方体个数记作，…图形5中的小正方体有________个；图形（是正整数）中的小正方体有________个（用含的代数式表示，结果需化简）； (2)结合上述规律，试判断是否存在正整数，使得等于的3倍？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】某数学实践小组在研究教材《问题出在哪里》这部分内容的时候，对于斐波那契数列和图形拼接产生了兴趣． 【项目准备】 （）斐波那契数列知识学习：数列从和开始，之后的每一项都是前两项之和．前几项为：，，，，，，，，，，①________，，，… （）教材《问题出在哪里》内容大致如下：图是一个的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图中的矩形． 图面积，图面积，，说明图的四个图形之间有缝隙． （）构造一个新的图形拼接：图是一个的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图中的矩形． 图面积，图面积，，说明图的四个图形之间有重叠． （）依据斐波那契数列进行图形拼接的规律探究： 设斐波那契数列的第项为，第项为，…，第项为，第项为． 则当为偶数时，图形拼接之后四个图形之间有②________（填“缝隙”或“重叠”）； 【项目分析】依据斐波那契数列进行图形拼接可能会出现有缝隙或者重叠的现象，那么有没有可能采用另一种拼法，拼出既没有缝隙也没有重叠的矩形？ （）方案一：将图中的正方形拼接成图中的矩形，请画出分割线； （）方案二：将边长分别为斐波那契数列，，，，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形，请在图中给定网格中画出拼接后的矩形及正方形之间的分割线； 正方形的面积和为：③________； 矩形的面积正方形的面积和宽长④________（填数字）； （）方案二规律总结：将边长分别为斐波那契数列，，，，，…，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形时，矩形的面积为⑤________； 【项目实施】请将上述材料中横线上所缺内容补充完整，并将图形按照要求进行拼接： ①________；②________；③________；④________；⑤________． 20．（2026·安徽亳州·一模）综合与实践 【项目主题】数学兴趣小组研究某款自行车所用链条的节数 【项目准备】 （1）如图，节链条由个直径为的圆圈和个连接两个圆圈之间的部分组成，其长度为； （2）节链条由个直径为的圆圈和个连接两个圆圈之间的部分组成，其长度为； （3）节链条由个直径为的圆圈和个连接两个圆圈之间的部分组成，其长度为； …… 【问题解决】 (1)请直接写出节链条的长度为______cm； (2)根据上述规律，猜想节链条的长度为______（用含的式子表示）； 【实际应用】 (3)已知主动轮的直径为，从动轮的直径为，连接主动轮与从动轮的链条与相切于点，，与相切于点，，如图，若，求这辆自行车所用链条的节数．（参考数据：） 21．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．顶点都在格点上的多边形称为格点多边形（指边不自交、无洞、内部连通）．图①、图②分别是格点三角形和格点四边形．格点多边形内部格点数记为，边界格点数记为，格点多边形的面积记为．下面我们探究与，之间的关系． (1)观察与填写 多边形 内部格点数a 边界格点数b 面积S 图① ① 图② ② ③ ④ 其中①的值是________，②的值是________，③的值是________，④的值是________； (2)猜想规律 与，之间满足关系式，其中的值是________，的值是________； (3)验证与应用 如图③，若一个格点四边形的内部格点与边界格点数之和为18，则这个格点四边形面积的最大值是________． 22．（2026·安徽芜湖·一模）如图1，用相同的小木棒按如图方式拼成图形． (1)按图形规律完成下表： 图形 1 2 3 4 5 … 所用木棒根数 6 14 22 … (2)按这种方式拼下去，则图形n需要 根小木棒（用n的代数式表示）； (3)如图2，将图形n放在直角坐标系中，设一根小木棒长度为2，图形1的中心为，图形2的中心为，以此类推，则的坐标是 ． 23．（2026·安徽安庆·一模）某校举办科技节，同学们用正六边形卡片拼出如图所示的图案，每个图案由若干个正六边形组成．按照图示规律，第1个图案有2个正六边形，第2个图案有5个正六边形，第3个图案有8个正六边形，． (1)按此规律，第6个图案中有多少个正六边形？第n个图案中有多少个正六边形？（用含n的代数式表示） (2)在这一组图案中存在两个相邻的图案，它们所含正六边形个数之和为2053，求这两个图案分别是第几个图案； (3)在这组图案中是否存在一个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍？若存在，求出该图案是第几个图案（用含a，b的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 24．（2026·安徽亳州·二模）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． 【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推． 【规律总结】 (1)人行道上每增加1块正方形地砖时等腰直角三角形地砖增加___________块； (2)若一条这样的人行道有（为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为_________块；（用含的代数式表示） 【问题解决】 (3)现有2026块等腰直角三角形地砖，按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 25．（2026·安徽阜阳·二模）【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为____________； (2)第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 26．（2026·安徽六安·一模）我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． (1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示） (3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 27．（2026·安徽合肥·一模）【观察思考】 【规律发现】 (1)第5个图案中“◎”的个数为_____； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，．．．，第个图案中“★”的个数可表示为_____． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“◎”的个数的3倍． 28．（2026·安徽蚌埠·二模）【观察思考】如图所示，是用图形“”和“●”按一定规律设计的图案． (1)【规律发现】第⑥个图案中“●”的个数为 ，第个图案中“●”的个数为 （用含的代数式表示）； (2)【规律发现】第①个图案中“”的个数可表示为，第②个图案中“”的个数可表示为，第③个图案中“”的个数可表示为，第④个图案中“”的个数可表示为，…，第⑥个图案中“”的个数为 ，第个图案中“”的个数为 （用含的代数式表示）； (3)【规律应用】按照此规律继续摆下去，第个图案中的“”的个数是“●”个数的倍，求的值． 29．（2026·安徽·二模）综合与实践： 某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为． 【观察思考】 当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②）；当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块（如图③）；…；以此类推． 【规律总结】 (1)按图示规律，第一个图案（图②）的长为______，第六个图案的长为______； (2)若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为（为正整数），则______（用含的代数式表示）； 【问题解决】 (3)若要使走廊的长不小于91，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？ 30．（2026·安徽蚌埠·三模）某校数学兴趣小组开展探究活动，他们结合所学内容，决定研究数的一些“神秘”性质． (1)任何一个大于1的整数m的平方都可以写成m个连续奇数之和．举例论证：；；．请你按照规律写出：①______． (2)当m是奇数（如9）时，则等号右边式子中的中间数（即第5个数）为m（即9）．当m为偶数（如10）时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）分别为②______、______（即______、______）． (3)利用上面结论计算：③______． (4)若n表示正整数，则的值为（④______）． 31．（2026·安徽芜湖·三模）【综合实践】 【项目前景】王老师教七年级学生做数正方形小游戏．问图1（）中有多少个正方形，孩子一眼就看出有5个正方形，接着问图2（）中有多少个正方形，孩子安静下来，不到半分钟，说有14个正方形；老师说：“你们真棒！”，问哪位小朋友能说出图3（）中有多少个正方形，我手中的这个玩具就给谁！大概1分钟，大家都异口同声地回答，有30个．老师先是高兴，接着慌了，手中只有一个玩具，于是打电话找班主任求助！ 【数据分析与运用】 花有重开日，人无再少年，作为新时代的我们，更应该努力学习． (1)任务1：图3中有30个正方形，小朋友是如何想出来的，请帮助小朋友写出正确的过程． (2)任务2：图4（）中，设正方形的个数为，，则_______．参考公式：． (3)任务3：如图5，我们将正方形改为的长方形，请帮助计算它有多少个正方形？ 32．（2026·安徽阜阳·一模）【问题背景】小林和小明在探究“5、8、13、20、29、…”这列数字的第个数字是什么时，他们之间有不同的方法． (1)【小林】他发现这组数据中后一个数字减去前一个数字的差分别是3、5、7、9、…，后一个数字也恰好等于前一个数字加上他们的差，如： 、、、，… 按此规律，我们发现第个数字就是：________的和；这一列数据求和又该如何计算？ 小林翻阅资料发现：在计算时，是按照下列方法计算： ， 按此规律，________；请你按此规律计算出第个数字是________； (2)【小明】小明联想到在“完全平方公式”的证明时，采用数形结合的方式进行证明．于是小明发现“5、8、13、20、29…”这列数字可对应下列图案： 每个图案的外围有________个点，而中间点的数量是按照“1、4、9、16、25…________”（填第个图案中间点的数量）延续下去，于是我们可以知道第个图案的点数由两部分组成，从而求出第个数字． (3)【规律应用】结合上述两种方法，请你运用“数形结合”思想，通过画图来探究“4、10、18、28、40、…”第个数字是什么？请画出对应图案． 33．（2026·安徽合肥·二模）【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． (1)探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（     ）2； ②猜想：（     ）2（是正整数）． (2)探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． (3)【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 34．（2026·安徽滁州·三模）如果两个变量之间的数量关系比较简单，探究两者之间的数量关系通常可以用“观察规律”或“猜想验证”来进行．观察下面“品”字形中各数之间的关系． 【问题1】探究与之间数量关系． 方法一：观察第1～4个图中与所具有共同的规律，并用等式将数量关系表示出来，如表格所示： 图形 与之间关系式 第1个图 1 2 第2个图 2 5 第3个图 3 8 第4个图 4 11 (1)我们知道数列：1，2，3，4，…，第个数可以用来表示；数列：1，3，5，7，…，第个数可以用含的代数式表示为 ① ，第个图中，与的数量关系可表示为 ② ． 方法二：猜想与是一次函数关系，设，代入第1个图和第2个图中相应的值，解方程组，求出，的值，可得出关系式，再验证第3个图；第4个图相应的值对此关系式是否成立；若成立，猜想正确，这样也可以求出与之间的数量关系． 【问题2】探究与，之间数量关系． (2)方法一：观察第1～4个图中与，所具有共同的规律，并用等式将数量关系表示出来，完成下列表格： 图形 y 与，之间的关系式 第1个图 1 2 3 第2个图 2 5 9 第3个图 3 8 17 ③    第4个图 4 11 27 ④ 与，之间数量关系是 ⑤ ． (3)方法二：如果只考虑与之间的数量关系．简单计算验证可发现与不具有一次函数关系，猜想与之间是二次函数关系，设，代入第1个图、第2个图和第3个图中相应的值，解方程组，可求出，，的值，从而得出与之间是二次函数关系为 ⑥ ．这个猜想经验证是成立的． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 规律探索与逻辑推理 5年真题1年模拟 考点分类 安徽考情（2022-2026） 命题规律 考点01规律探索 2026 2025 2024 2023 2022 1.常见类型：数字序列规律、图形累加规律、点阵规律、循环周期规律； 2.考查核心：观察归纳、递推思想，常要求写出第n项通项公式； 3.难度中档偏上，区分基础生与优等生； 4. 趋势：单纯数字规律减少，图形结合递推成为主流。 考点02 逻辑推理 2024 1.题型：选择小题为主； 2.内容：真假命题判断、简单演绎推理、反例辨析、条件充分性判断； 3.命题特点：不年年必考，属于轮换考点； 4.考向预测：常和几何命题、代数性质结合，很少单独出复杂大题； 5. 注意：近年有融合趋势，偶尔嵌入规律探索综合设问。 考点01 规律探索 1．（2026·安徽·中考真题）项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为． 设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数． 【规律探究】 分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 序号 2 1 1 3 1 2 2 3 4 1 4 2 5 3 6 … … … … 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： (1)，对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____； (2)勾股数对应的_____，_____； (3)序号为15的勾股数是（_____，_____，_____）． 【项目拓展】 (4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 【答案】(1)24，10，26，7 (2)6，1 (3)11，60，61 (4)不正确， 理由：当，时，，序号为； 当，时，，序号为； ∵，， ∴序号从10增加到11时，的值减小， ∴他的猜想不正确． 【知识点】数字类规律探索、因式分解法解一元二次方程、勾股树（数）问题、举反例 【分析】（1）根据表格中的规律求解即可； （2）根据题干中勾股数的定义可得，，，把、两式相加并结合已知条件则求出m的值，然后把m的值代入求解即可； （3）根据表格中的规律发现：每一个m对应的勾股数组数为组，从得出m值从2取到k时，勾股数的总组数为组，然后根据题意得出，求出k的值，即可求解； （4）举反例说明即可． 【详解】（1）解∶当，时，，，， ∴，对应的勾股数是，序号为7； （2）解：根据题意，得，，， ∴，即， 又， ∴， 把代入，得， 解得， ∴勾股数对应的，； （3）解：由表格知，当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； …… 当（的整数）时，符合题意的勾股数有组； 此时一共有组勾股数， 当时，解得或（舍去）， ∴序号为15时，，， ∴，，， 序号为15的勾股数是； 2．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】；；；；； 【知识点】图形类规律探索、求一元一次不等式解的最值 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度．涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量，进而计算每行成本和总成本．方案二的计算方法与方案一类似． 【详解】解：项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得增加的长度为3个边长，即 计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令， 移项可得，即， 两边同时除以，解得， 每行可以先拼块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 拼块拼接单元， 共用去个正六边形和个正三角形组件． 由知，所拼长度为， 剩余，无法再摆放组件． 由知，方案二每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本． 方案二所需的总成本为元． 项目实施： 两种方案比较可知：． 选方案二完成实践活动． 故答案为：；；；；；． 3．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、提公因式法分解因式 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 4．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1） 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， （3）解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 5．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2) 解：第n个等式为， 证明如下： 等式左边：， 等式右边： ， 故等式成立． 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、平方差公式分解因式 【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答； （2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明． 【详解】（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：， 故答案为：； 【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 考点02 逻辑推理 1．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集 【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 一、单选题 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知实数满足：，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件做等量代换，逐一推导各选项的正误即可，解题关键是利用消元，代入不等式推导结论． 【详解】解：，， ，故选项A正确，不符合题意； 由得，代入， 得 ，故选项B正确，不符合题意； ，代入，得， ，即，故选项C错误，符合题意； 由以上推导可知，即， ，两边同除以正数得 ，即， ，两边同除以正数得 ，即， ，故选项D正确，不符合题意． 2．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； 综上只有选项A正确. 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过等量代换求出和的取值范围，再化简各选项的表达式，结合不等式性质判断正误即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得，故A错误， ∴，即，故B错误， 对于C，， ∵， ∴， ∴，即，故C错误， 对于D，， ∵， ∴，即，故D正确． 4．（2026·安徽滁州·三模）若，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件用表示，代入不等式求出的取值范围，再根据不等式性质推导各选项的范围，判断正误. 【详解】解：， ， 将代入不等式， 解得： ， 选项A： ， ， 即 ，故A错误.； 选项B：∵，∴ 故B错误； 选项C：∵， ， ， 即， 故C正确； 选项D：∵， ， ， 即， 故D错误. 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知两个非负实数a、b与实数满足，且，则下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件整理得到各变量间的关系，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵a，b为非负实数， ∴，， 已知，， 将代入得， 整理得， 即． ，故A错误． ，故B正确． 由得，结合得，故C错误． 由a为非负实数可知，故D错误． 6．（2026·安徽合肥·三模）已知，为实数，且，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件用表示，结合不等式得到的取值范围，再将所求代数式化为关于的单变量式子进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入得：， 整理得， 把代入得：， ∵随增大而减小， ∴随增大而增大， 当取最大值时，原式取得最大值， 代入得：， 即的最大值为． 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足， ，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知等式得到与的等量关系，代入不等式求出的取值范围，再得到的范围，最后分别化简各选项的表达式，结合不等式性质判断正误即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 整理得，两边同时减，得， ，两边同时除以，得 ，故A错误； ∵，， ∴，故B错误； 对于C，， ∵， ∴， ∴， 即，故C错误； 对于D，， ∵， ∴， 即，故D正确． 8．（2026·安徽·二模）已知实数，满足，且，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程和代数式取值范围的求解，解题思路是利用已知方程将其中一个未知数用另一个未知数表示，代入所求代数式得到关于单个未知数的一次式，再根据已知的未知数范围，不等式变形得到所求代数式的取值范围． 【详解】， 移项整理得， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 即； 9．（2026·安徽马鞍山·二模）已知三个实数，，，满足，，则下列结论不正确的是(    ) A． B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质结合二次函数的性质对各选项逐一判断即可. 【详解】解：由，得 ，代入中，得 ， ∴， ∴A选项正确． ， ，结合，不能判定， 例如，，，符合题意，显然， ∴B选项不正确． 由，得 ①， 由，得②， ①②，得， C选项正确． 对于函数，根据题意可知，函数图象经过点，点 ． ， 点在第三象限． 若，则已知的两式变为 ， ∴ ， 解得， 成立， 若，则抛物线一定与x轴有两个不同的交点，且 ∴即成立， ∴D选项正确． 10．（2026·安徽六安·二模）已知实数满足，则下列判断有误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，利用已知等式用一个变量表示另一个变量，代入不等式得到变量范围，再逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 将代入不等式得， 化简得， 解得，因此选项A正确，不符合题意． ∵， ∴，即，因此选项B正确，不符合题意． ∵， ∴，即，因此选项C正确，不符合题意． ∵， ∴，即． ∵，即， ∴，因此D判断错误． 11．（2026·安徽六安·模拟预测）已知三个实数满足，且，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】根据已知等式变形，结合韦达定理构造一元二次方程，利用方程有实数根得出判别式大于等于零，建立关于c的不等式求解范围，最后验证取值成立，求出c的最小值． 【详解】解：， ． ，， ， ． 、是一元二次方程的两个实数根． 方程有实数根， ， ， ． ，两边同时除以16，得 ， 两边同乘正数，得 ． ， ． 当时，方程为，解得， 即，． 将，，代入原式，，，符合题意． 的最小值为1． 12．（2026·安徽马鞍山·三模）已知 ，则下列不等式不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知等式用a表示b和c，结合不等式得到a的符号，即，再结合每个选项的式子进行整理化简，分析，然后判断选项正误即可． 【详解】解：依题意，即 得， 化简得， 将代入①得， 解得， 将 代入， 得 ， 化简得 ， 解得 ， ∴ ，， ∵， ∴ ， 故A选项不符合题意； ∵， ∴ ， 故B选项符合题意； 则， ∵， ∴ ， 故C选项不符合题意； 则， ∵， ∴ ∴， 故D选项不符合题意； 13．（2026·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，将点沿箭头方向按如图所示规律移动，当点首次位于轴上时，停止移动．甲、乙、丙三位同学的结论如下， 甲：点的坐标为； 乙：若在直线两侧的点（点，，，）的个数相等，则的取值范围为； 丙：直线与折线相交于点，从到的运动中的值先减小后增大． 则下列判断正确的是（   ） A．甲、乙正确 B．甲、丙正确 C．乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 【答案】A 【分析】根据题意可推出（k为正整数），，据此求出点的坐标为，则可判断甲；求出点的坐标为，则一共有10个点；再分别求出直线经过时k的值，则可判断乙；当点P在上时，逐渐变小，不变，则k逐渐变小，当点P在上时，逐渐变大，不变，则k逐渐变小，据此可判断丙． 【详解】解：由题意得，当n为奇数时，第n次移动为向下移动1个单位长度，当n为偶数时，第n次移动为向右移动一个单位长度， ∵， ∴，即（k为正整数）， ∴， ∵，， ∴点的坐标为，故甲说法正确； ∴点的坐标为， ∴一共有10个点； 同理可得， 当直线经过时，，解得 当直线经过时，，解得， ∴当时，在直线两侧的点（点，，，）的个数相等，故乙说法正确； ∵， ∴， 当点P在上时，逐渐变小，不变，则k逐渐变小， 当点P在上时，逐渐变大，不变，则k逐渐变小， 综上所述，从到的运动中的值逐渐变小，故丙说法错误． 二、填空题 14．（2026·安徽淮北·二模）如图，线段，以为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的前6个小半圆的弧长之和为________． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式计算得出半圆①、②、③的弧长，从而得出规律，求和即可得出结果． 【详解】解：∵，以为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①， ∴半圆①的弧长为， ∵取的中点，以为直径画半圆②； ∴半圆②的弧长为； ∵取的中点，以为直径画半圆③， ∴半圆③的弧长为； …， 同理可得：半圆④的弧长为；半圆⑤的弧长为，半圆⑥的弧长为， ∴大半圆内部依次画出的前6个小半圆的弧长之和为． 15．（2026·安徽淮北·模拟预测）项目式学习：我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．“杨辉三角”的构造法为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．如图，图中的第n行对应的展开式，如在第2行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第3行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．定义，代表第n行第个系数（k为自然数，且）． (1)根据上面的规则，结合系数表规律，则________，________；由系数表规律可推测第一斜列（每一行的第1个系数组成第一斜列，以此类推）中________，第二斜列中________； (2)当n大于1，每个系数均为其上方右边和左边两系数之和，现研究第三斜列规律：完成填空，即；；可以看成_____________； 可以看成__________________；……由此可以得出________； (3)在（2）的条件下，若是其右上方系数的倍（），则m的值为________． 【答案】(1)1，5；1，n； (2)1，2；1，2，3；（或） (3) 【分析】（1）根据的定义以及“杨辉三角”的结构即可解答； （2）先根据等量代换填空，然后再归纳规律即可； （3）由题意可得：是其右上方系数，再利用是其右上方系数的倍（）以及（2）的结论列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：表示第二行第1个数，即为1； 表示第五行第2个数字，即为5； 由系数表规律可推测第一斜列（每一行的第1个系数组成第一斜列，以此类推）中,第二斜列中． （2）解：∵；；，， ∴12； ∵， ∴； 归纳规律可得：； （3）解：由题意可得：是其右上方系数， ∵，，是其右上方系数的倍（）， ∴，即，解得：或（不合题意舍去）． 三、解答题 16．（2026·安徽阜阳·二模）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把，这样的数称为“三角形数”，某数学兴趣小组对“三角形数”进行了研究． 【规律发现】 ①第个“三角形数”可以表示为； ②第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 【规律应用】 (1)第5个等式为___________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据前四个等式确定变化规律，然后确定第5个等式即可； （2）根据题意即可写出第n个等式，再进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2），证明如下： ∵左边右边， ∴等式成立． 17．（2026·安徽阜阳·三模）某数学兴趣小组研究发现“十位数之和为10，个位数相等的两个两位数相乘，所得的积具有一定的规律”，并写出了如下等式： 第1组：； 第2组： 第3组：； …… (1)根据上述运算规律，请将等式补充完整：__________________； (2)设一个两位数的十位数字为整数a（），个位数字为整数b（），请你用含a，b的等式表示上述规律，并进行证明． 【答案】(1)，3264 (2)，证明见解析 【分析】（1）观察规律可知，这两个两位数相乘等于这两个两位数十位数字的乘积加上个位数字，然后再乘以100，最后再加上个位数字的平方，据此即可解得； （2）先用a，b表示出这两个两位数，根据观察的规律即可用含a，b的等式表示上述规律，再化简等式左边，证明等式左边等于右边即可得证． 【详解】（1）解：根据前3组的规律可知； （2）解：由题意，这两个两位数为，， 用含a，b的等式表示上述规律为． 证明：左边 右边， 故规律成立． 18．（2026·安徽合肥·三模）如图，将若干个小正方体按如图所示的规律摆成“L”立体图形 (1)图形1中小正方体个数记作，图形2中小正方体个数记作，…图形5中的小正方体有________个；图形（是正整数）中的小正方体有________个（用含的代数式表示，结果需化简）； (2)结合上述规律，试判断是否存在正整数，使得等于的3倍？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)13， (2)不存在，理由如下： ， ， ， 解得， n取正整数， 故不存在值． 【分析】（1）先观察得到，推导出，再代入求值； （2）把代入等式，得到关于的一元一次方程，解方程判断是否存在正整数解． 【详解】（1）解：由题意： ，， 观察图形规律： 图形1：， 图形2：， 图形3：， 图形的小正方体个数：， 将代入：． 19．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】某数学实践小组在研究教材《问题出在哪里》这部分内容的时候，对于斐波那契数列和图形拼接产生了兴趣． 【项目准备】 （）斐波那契数列知识学习：数列从和开始，之后的每一项都是前两项之和．前几项为：，，，，，，，，，，①________，，，… （）教材《问题出在哪里》内容大致如下：图是一个的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图中的矩形． 图面积，图面积，，说明图的四个图形之间有缝隙． （）构造一个新的图形拼接：图是一个的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图中的矩形． 图面积，图面积，，说明图的四个图形之间有重叠． （）依据斐波那契数列进行图形拼接的规律探究： 设斐波那契数列的第项为，第项为，…，第项为，第项为． 则当为偶数时，图形拼接之后四个图形之间有②________（填“缝隙”或“重叠”）； 【项目分析】依据斐波那契数列进行图形拼接可能会出现有缝隙或者重叠的现象，那么有没有可能采用另一种拼法，拼出既没有缝隙也没有重叠的矩形？ （）方案一：将图中的正方形拼接成图中的矩形，请画出分割线； （）方案二：将边长分别为斐波那契数列，，，，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形，请在图中给定网格中画出拼接后的矩形及正方形之间的分割线； 正方形的面积和为：③________； 矩形的面积正方形的面积和宽长④________（填数字）； （）方案二规律总结：将边长分别为斐波那契数列，，，，，…，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形时，矩形的面积为⑤________； 【项目实施】请将上述材料中横线上所缺内容补充完整，并将图形按照要求进行拼接： ①________；②________；③________；④________；⑤________． 【答案】 【项目准备】 ①；②缝隙； 【项目分析】 （）如图所示，即为所求； （）如图所示，即为所求． ③；④5；⑤ 【详解】【项目准备】 （）①； （）②斐波那契数列从和开始，之后的每一项都是前两项之和， 对于其中的每个偶数项都有，当为偶数时，图形拼接之后四个图形之间有缝隙； 【项目分析】 （）如图所示，即为所求； （）如图所示，即为所求． ③正方形的面积和为：； ④矩形的面积正方形的面积和宽长，故答案为； （）结合（）可得，将边长分别为斐波那契数列，，，，，…，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形时，矩形的面积为． 20．（2026·安徽亳州·一模）综合与实践 【项目主题】数学兴趣小组研究某款自行车所用链条的节数 【项目准备】 （1）如图，节链条由个直径为的圆圈和个连接两个圆圈之间的部分组成，其长度为； （2）节链条由个直径为的圆圈和个连接两个圆圈之间的部分组成，其长度为； （3）节链条由个直径为的圆圈和个连接两个圆圈之间的部分组成，其长度为； …… 【问题解决】 (1)请直接写出节链条的长度为______cm； (2)根据上述规律，猜想节链条的长度为______（用含的式子表示）； 【实际应用】 (3)已知主动轮的直径为，从动轮的直径为，连接主动轮与从动轮的链条与相切于点，，与相切于点，，如图，若，求这辆自行车所用链条的节数．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)这辆自行车大约需要节链条 【分析】（1）根据每增加节链条，链条的长度增加解答即可； （2）根据（1）中的计算过程找出规律即可； （3）过点作于，根据切线的性质得出四边形为矩形，利用三角函数求出，求出，，利用弧长公式，结合的长，求出链条总长度，利用（2）中所得规律即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴每增加节链条，链条的长度增加， ∴节链条的长度为． （2）解：节链条的长度为， 节链条的长度为， 节链条的长度为， …… ∴节链条的长度为． （3）解：过点作于， ∵主动轮的直径为，从动轮的直径为， ∴，， ∵连接主动轮与从动轮的链条与相切于点，，与相切于点，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴链条长度为， ∴， 解得（节）， 答：这辆自行车大约需要节链条． 21．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．顶点都在格点上的多边形称为格点多边形（指边不自交、无洞、内部连通）．图①、图②分别是格点三角形和格点四边形．格点多边形内部格点数记为，边界格点数记为，格点多边形的面积记为．下面我们探究与，之间的关系． (1)观察与填写 多边形 内部格点数a 边界格点数b 面积S 图① ① 图② ② ③ ④ 其中①的值是________，②的值是________，③的值是________，④的值是________； (2)猜想规律 与，之间满足关系式，其中的值是________，的值是________； (3)验证与应用 如图③，若一个格点四边形的内部格点与边界格点数之和为18，则这个格点四边形面积的最大值是________． 【答案】(1)；；； (2)； (3) 【分析】（1）结合图象确定格点数，再使用面积公式或者割补法计算面积即可； （2）根据题意列出方程组，求解出和即可； （3）设内部的格点数为，则边界的格点数为，根据（2）的结论可得，根据格点多边形的定义，，即，最后结合一次函数的增减性求出的最大值． 【详解】（1）解：由图①可知，三角形的面积为； 由图②可知，内部格点数为12个，边界格点数为4个， 四边形的面积为； （2）解：由（1）的表格可知，当，时，；当，时，， ∴， 解得； （3）解：设内部的格点数为，则边界的格点数为， 由（2）可知，， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵格点四边形每个顶点都在格点上， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值． 22．（2026·安徽芜湖·一模）如图1，用相同的小木棒按如图方式拼成图形． (1)按图形规律完成下表： 图形 1 2 3 4 5 … 所用木棒根数 6 14 22 … (2)按这种方式拼下去，则图形n需要 根小木棒（用n的代数式表示）； (3)如图2，将图形n放在直角坐标系中，设一根小木棒长度为2，图形1的中心为，图形2的中心为，以此类推，则的坐标是 ． 【答案】(1)30，38； (2) (3) 【分析】（1）观察图形发现，图形n所用木棒根数为，据此完成表格即可； （2）根据（1）所得规律作答即可； （3）标记各点，过点、、、作轴的垂线，垂足分别为、、、，连接、，由题意可知，六边形是正六边形，分别求出，，，，观察发现，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可知，图形1所用木棒根数为， 图形2所用木棒根数为， 图形3所用木棒根数为， …… 观察发现，图形n所用木棒根数为， 则图形4所用木棒根数为，图形5所用木棒根数为； （2）解：由（1）可知，按这种方式拼下去，则图形n需要根小木棒 （3）解：如图，标记各点，过点、、、作轴的垂线，垂足分别为、、、，连接、， 由题意可知，六边形是正六边形， ，，，， ， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 同理可证，，， ，，， ，，， ， 的坐标是，即． 23．（2026·安徽安庆·一模）某校举办科技节，同学们用正六边形卡片拼出如图所示的图案，每个图案由若干个正六边形组成．按照图示规律，第1个图案有2个正六边形，第2个图案有5个正六边形，第3个图案有8个正六边形，． (1)按此规律，第6个图案中有多少个正六边形？第n个图案中有多少个正六边形？（用含n的代数式表示） (2)在这一组图案中存在两个相邻的图案，它们所含正六边形个数之和为2053，求这两个图案分别是第几个图案； (3)在这组图案中是否存在一个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍？若存在，求出该图案是第几个图案（用含a，b的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)这两个图案分别是第个图案与第个图案 (3)在这组图案中存在这样的一个图案，该图案是第个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍 【分析】（1）根据图形找到规律，即可求解； （2）根据规律，列出方程，求解检验即可； （3）先求出第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍，再根据规律得第n个图案中正六边形个数为，当时，，且符合实际意义． 【详解】（1）解：由图可得，第1个图案中正六边形的个数为：； 第2个图案中正六边形的个数为：； 第3个图案中正六边形的个数为：； 第n个图案中正六边形的个数为； 当时，， 则第6个图案中有个正六边形，第n个图案中有个正六边形； （2）设这两个相邻的图案分别是第n个图案与第个图案， 由题可列，， 解得，符合实际意义， ， 则这两个图案分别是第个图案与第个图案； （3）存在， 第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍是， 则， 而由（1）得，第n个图案中正六边形个数为， 令，则， a，b为正整数，n也是正整数， 在这组图案中存在这样的一个图案，该图案是第个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍． 24．（2026·安徽亳州·二模）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． 【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推． 【规律总结】 (1)人行道上每增加1块正方形地砖时等腰直角三角形地砖增加___________块； (2)若一条这样的人行道有（为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为_________块；（用含的代数式表示） 【问题解决】 (3)现有2026块等腰直角三角形地砖，按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 【答案】(1)2 (2) (3)1011块 【分析】（1）由图观察即可； （2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可； （3）利用上一小题得到的公式建立不等式，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量． 【详解】（1）解：由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖； （2）解：由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖； 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即； 所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有块； （3）解： 由（2）的规律知，解得， 的最大值为1011， ∴当等腰直角三角形地砖剩余最少时，需要正方形地砖1011块． 25．（2026·安徽阜阳·二模）【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为____________； (2)第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 【答案】(1)8 (2) (3)盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 【分析】（1）根据盆景的盆数比序号数多1解答； （2）先写出前4个图案花卉的盆数，再得出数字变化规律，即可得出答案； （3）先表示出第n个图案有盆景的盆数，再根据题意得出方程，然后整理成完全平方公式的形式，开方可得方程的解． 【详解】（1）解：第1个图案有盆景的盆数为2； 第2个图案有盆景的盆数为3； 第3个图案有盆景的盆数为4； 第4个图案有盆景的盆数为5； 第7个图案有盆景的盆数为8； （2）解：第1个图案有花卉的盆数为； 第2个图案有花卉的盆数为； 第3个图案有花卉的盆数为； 第4个图案有花卉的盆数为； 第n个图案有花卉的盆数为； （3）解：由（1）可知第n个图案有盆景的盆数为，则根据题意，得， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 26．（2026·安徽六安·一模）我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． (1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示） (3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)能； (2)； (3) 不存在，理由如下： 设第个图案中所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大， ∵由（2）可得第个图案中有个正方形， ∵由图案观察，第个图案中有个正六边形， 即：， 解得：， ∴显然不符合题意， ∴不存在这样的图案． 【分析】（1）算出正三角形、正四边形和正六边形的内角，根据平面镶嵌的性质判断即可； （2）根据图案的规律进行推理即可； （3）根据图案规律推出第第个图案中正方形、正六边形的个数，再根据所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大，列方程求解即可． 【详解】（1）能，∵正三角形的每一个内角是，正方形的每一个内角是，正六边形的每一个内角是， 观察图案的拼接点，可发现：，拼接点处的内角和恰好为，满足平面镶嵌的条件； （2）第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， …… 观察以上规律，第个图案有个正方形 27．（2026·安徽合肥·一模）【观察思考】 【规律发现】 (1)第5个图案中“◎”的个数为_____； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，．．．，第个图案中“★”的个数可表示为_____． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“◎”的个数的3倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图形得出规律即可； （2）根据题意得出规律即可； （3）根据题意可知第个图案中“◎”的个数为个，，故可得出方程，解出的值即可． 【详解】（1）解：∵第1个图案中“◎”的个数为个； 第2个图案中“◎”的个数为6个； 第3个图案中“◎”的个数为9个； 第4个图案中“◎”的个数为12个； …… 第个图案中“◎”的个数为个； ∴当时，“◎”的个数为个． （2）解：结合题干信息，得出规律， 第个图案中“★”的个数可表示为． （3）解：第个图案中“◎”的个数为个， ∵， 结合题意，得出方程， 化简得， 解得（舍去）或． 28．（2026·安徽蚌埠·二模）【观察思考】如图所示，是用图形“”和“●”按一定规律设计的图案． (1)【规律发现】第⑥个图案中“●”的个数为 ，第个图案中“●”的个数为 （用含的代数式表示）； (2)【规律发现】第①个图案中“”的个数可表示为，第②个图案中“”的个数可表示为，第③个图案中“”的个数可表示为，第④个图案中“”的个数可表示为，…，第⑥个图案中“”的个数为 ，第个图案中“”的个数为 （用含的代数式表示）； (3)【规律应用】按照此规律继续摆下去，第个图案中的“”的个数是“●”个数的倍，求的值． 【答案】(1)14， (2)21， (3)的值为10 【分析】1）根据图形找出规律为第n个图案中“●”的个数为个，再把代入求解即可； （2）根据题干的列举信息，直接得出结论； （3）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题知，第①个图案“●”的个数为：； 第②个图案中“●”的个数为：； 第③个图案中“●”的个数为：； .... 所以第n个图案中“●”的个数为个， 当时，， 即第⑥个图案中“●”的个数为14个，第个图案中“●”的个数为个； （2）解：第①个图案中“”的个数可表示为， 第②个图案中“”的个数可表示为， 第③个图案中“”的个数可表示为， 第④个图案中“”的个数可表示为， …， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 即第⑥个图案中“”的个数为个，第个图案中“”的个数可表示为； （3）解：由题意得，， 整理得：， 解得：或（舍）． 29．（2026·安徽·二模）综合与实践： 某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为． 【观察思考】 当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②）；当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块（如图③）；…；以此类推． 【规律总结】 (1)按图示规律，第一个图案（图②）的长为______，第六个图案的长为______； (2)若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为（为正整数），则______（用含的代数式表示）； 【问题解决】 (3)若要使走廊的长不小于91，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？ 【答案】(1)，9.1 (2)； (3)65 【分析】（1）先观察图案中圆形地砖数量与横向地砖块数的变化规律，推导块数表达式，再结合单块地砖边长，换算得到图案长度； （2）由前两个图案的长度，归纳出n块圆形地砖对应走廊长度的通用代数式； （3）根据长度不小于91的不等关系，列出一元一次不等式，求解并结合为正整数，确定最小取值． 【详解】（1）解：第一个图案的长度， 第二个图案的长度， …， 第n个图案边长为； ∴第六个图案的长为； （2）解：由（1）得第n个图案的长为； （3）解：由题意得：， 解得， ∴至少需要带有圆形花纹的地砖65块 30．（2026·安徽蚌埠·三模）某校数学兴趣小组开展探究活动，他们结合所学内容，决定研究数的一些“神秘”性质． (1)任何一个大于1的整数m的平方都可以写成m个连续奇数之和．举例论证：；；．请你按照规律写出：①______． (2)当m是奇数（如9）时，则等号右边式子中的中间数（即第5个数）为m（即9）．当m为偶数（如10）时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）分别为②______、______（即______、______）． (3)利用上面结论计算：③______． (4)若n表示正整数，则的值为（④______）． 【答案】(1) (2)，，9，11 (3)2601 (4) 【分析】（1）根据题干中的规律解答即可； （2）根据题干中的规律求解； （3）首先求出中间数为51，然后根据结论求解即可； （4）首先求出中间数为，然后根据结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴的中间数为51， ∴； （4）解：∵， ∴的中间数为， ∴． 31．（2026·安徽芜湖·三模）【综合实践】 【项目前景】王老师教七年级学生做数正方形小游戏．问图1（）中有多少个正方形，孩子一眼就看出有5个正方形，接着问图2（）中有多少个正方形，孩子安静下来，不到半分钟，说有14个正方形；老师说：“你们真棒！”，问哪位小朋友能说出图3（）中有多少个正方形，我手中的这个玩具就给谁！大概1分钟，大家都异口同声地回答，有30个．老师先是高兴，接着慌了，手中只有一个玩具，于是打电话找班主任求助！ 【数据分析与运用】 花有重开日，人无再少年，作为新时代的我们，更应该努力学习． (1)任务1：图3中有30个正方形，小朋友是如何想出来的，请帮助小朋友写出正确的过程． (2)任务2：图4（）中，设正方形的个数为，，则_______．参考公式：． (3)任务3：如图5，我们将正方形改为的长方形，请帮助计算它有多少个正方形？ 【答案】(1)边长为的正方形有个，边长为的正方形有个，边长为的正方形有个，边长为的正方形有个， ∴正方形的个数一共有（个）． (2) (3) 【分析】（1）分析每种边长的正方形的个数，求和即可； （2）根据前三个图总结出规律可得，再计算出，最后求比值即可； （3）分别计算每种边长的正方形的个数，求和即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题干总结规律可得，， ， ∴； （3）解：如图， 边长为1的正方形每一行有10个，共4行， ∴共有个； 边长为2的正方形每一行有9个，共3行， ∴共有个； 边长为3的正方形每一行有8个，共2行， ∴共有个； 边长为4的正方形每一行有7个，共1行， ∴共有个； 综上，正方形个数为（个）． 32．（2026·安徽阜阳·一模）【问题背景】小林和小明在探究“5、8、13、20、29、…”这列数字的第个数字是什么时，他们之间有不同的方法． (1)【小林】他发现这组数据中后一个数字减去前一个数字的差分别是3、5、7、9、…，后一个数字也恰好等于前一个数字加上他们的差，如： 、、、，… 按此规律，我们发现第个数字就是：________的和；这一列数据求和又该如何计算？ 小林翻阅资料发现：在计算时，是按照下列方法计算： ， 按此规律，________；请你按此规律计算出第个数字是________； (2)【小明】小明联想到在“完全平方公式”的证明时，采用数形结合的方式进行证明．于是小明发现“5、8、13、20、29…”这列数字可对应下列图案： 每个图案的外围有________个点，而中间点的数量是按照“1、4、9、16、25…________”（填第个图案中间点的数量）延续下去，于是我们可以知道第个图案的点数由两部分组成，从而求出第个数字． (3)【规律应用】结合上述两种方法，请你运用“数形结合”思想，通过画图来探究“4、10、18、28、40、…”第个数字是什么？请画出对应图案． 【答案】(1)；； (2)4； (3)；画出图形如下： 图案上面的点的数量是按照“1、4、9…”延续下去，图案下面的点的数量是按照“3、6、9…”延续下去， ∴第个数字是． 【分析】（1）观察这组数据中的最后一个数字，得出规律即可写出第个数字；第二空仿照示例即可求解；第个数字为，根据求和公式计算即可； （2）观察图案，得出规律即可得解； （3）根据所给数列，画出规律的图案，即可解答． 【详解】（1）解：按此规律，我们发现第个数字就是：； ， 第个数字为： ； （2）解：每个图案的外围有4个点，而中间点的数量是按照“1、4、9、16、25…”（填第个图案中间点的数量）延续下去， 故答案为：4；； 33．（2026·安徽合肥·二模）【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． (1)探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（     ）2； ②猜想：（     ）2（是正整数）． (2)探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． (3)【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 【答案】(1)①5；② (2)①6，30；② (3)还需要600块正三角形地砖 【分析】（1）根据给出的等式进行推导即可得出结果； （2）观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形，据此进行求解即可； （3）根据（2）中规律进行作答即可. 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； …， ∴；； （2）解：观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形， ∴①第层中分别含有6块正方形和块正三角形； ②第层中分别含有6块正方形和块正三角形； （3）解：铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案10层； ∵铺设层需要正三角形地板砖的数量为：， ∴当时，． 故铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖． 34．（2026·安徽滁州·三模）如果两个变量之间的数量关系比较简单，探究两者之间的数量关系通常可以用“观察规律”或“猜想验证”来进行．观察下面“品”字形中各数之间的关系． 【问题1】探究与之间数量关系． 方法一：观察第1～4个图中与所具有共同的规律，并用等式将数量关系表示出来，如表格所示： 图形 与之间关系式 第1个图 1 2 第2个图 2 5 第3个图 3 8 第4个图 4 11 (1)我们知道数列：1，2，3，4，…，第个数可以用来表示；数列：1，3，5，7，…，第个数可以用含的代数式表示为 ① ，第个图中，与的数量关系可表示为 ② ． 方法二：猜想与是一次函数关系，设，代入第1个图和第2个图中相应的值，解方程组，求出，的值，可得出关系式，再验证第3个图；第4个图相应的值对此关系式是否成立；若成立，猜想正确，这样也可以求出与之间的数量关系． 【问题2】探究与，之间数量关系． (2)方法一：观察第1～4个图中与，所具有共同的规律，并用等式将数量关系表示出来，完成下列表格： 图形 y 与，之间的关系式 第1个图 1 2 3 第2个图 2 5 9 第3个图 3 8 17 ③    第4个图 4 11 27 ④ 与，之间数量关系是 ⑤ ． (3)方法二：如果只考虑与之间的数量关系．简单计算验证可发现与不具有一次函数关系，猜想与之间是二次函数关系，设，代入第1个图、第2个图和第3个图中相应的值，解方程组，可求出，，的值，从而得出与之间是二次函数关系为 ⑥ ．这个猜想经验证是成立的． 【答案】(1)①；②（或 ）； (2)③；④； ⑤； (3)⑥． 【分析】对于①，观察奇数列的n与对应数值的关系，可得代数式为，由表格规律，可得． 对于②，结合表格中x的拆分形式，将n与①得到的奇数列第n项相加，得到x与n的关系． 对于③、④参考前两个图的y的表达式结构，对应代入第3、4个图的x和n的值，写出对应等式． 对于⑤，归纳前四个图y的表达式的共同结构，写出y与x、n的关系． 对于⑥，将前三组n、y值代入二次函数一般式，解三元一次方程组求参数，得到y与n的关系式后验证． 【详解】（1）解：奇数数列， 第个数满足：第一个数是1，相邻两个数的差为2，因此代数式为； 由表格规律，，验证前4个图形均符合． （2）解：观察前两个图形给出的规律：， 因此第3个图代入得， 第4个图代入得， 总结得通用关系式． （3）解：将代入，得； 通过代入，得 ， 解得， 因此，验证第4个图也成立． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $