第一周 灵山脚下牧草记——牛吃草问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学五年级奥数训练（竞赛版）

参考 第一周灵山脚下牧草记 一牛吃草问题 第37变 1.（20×10-24×6)÷（10-6)=14(份/天)！ （20×10-10×14)÷(18-14)=15(天) 2.（25×4-16×6)÷（6-4)=2（份/天) （25×4+2×4)÷（10+2)=9(天) 3.（7×60-8×40)÷(60-40)=5(份/天) 8×40-5×40=120(份) 120+5×30-6×30=90(份) 90÷（6+4-5)=18（天) 第38变 1.（14×30-70÷4×16)÷（30-16)=10(份) 14×30-10×30=120(份) 17+20÷4=22(份) 120÷(22-10)=10(天) 2.80羊=20牛，60羊=15牛 (16×20-20×12)÷（20-12)=10(份/天) 16×20-10×20=120(份) 120÷(10+15-10)=8(天) 3.30羊=10牛，15羊=5牛 （10×20-15×10)÷（20-10)=5(份/天) 15×10-5×10=100(份) 100÷(10+5-5)=10(天) 39变 1.(12×25-24×10)÷（25-10)=4(份/天) 12×25-4×25=200（份) (200+4×20)÷20=14（头) 2.(30×25-18×35)÷(35-25)=12(份/天) 30×25+12×25=1050(份) (1050一12×30)÷30=23（头） 3.(18×10-20×8)÷（10-8)=10(份/天) 要使草永远吃不完，只能吃新长的草，故最多 放10头牛。 第二周雷音寺前破三关 一类牛吃草问题 第40变 1.(30×4×10-700)÷10=50(人/分) 因为2×30>50，所以开放两个入口即可。 2.6×10-(10×4×20-400)÷20 答案 =40(（人/分) 400÷40=10（分) 3.5×3-(3×7-5×3)÷(7-3)×3=10.5(份) 10.5÷[(3×7-5×3)÷(7-3)] =7(分) 8时一7分钟=7时53分 第41变 1.(5×3-3×4)÷(4-3)=3（份/天) 5×3+3×3=24（份) 2.(20×5-12×7)÷（7-5)=8（份/天) （20×5+8×5)÷(6+8)=10(天) 3.(6×4-4×5)÷(5-4)=4（份/天) 6×4+4×4=40（份) [40-2×（2+4)]÷（3+4)=4(天) 第42变 1.（18×5-12×7)÷(7-5)=3（级/分) （18+3)×5=105(级) 2.（10-6)×3÷(16-10)=2（分) [10×(3+2)-6×(5+2)]÷2=4(级/分) 3.(20×5-15×6)÷(6-5)=10(级/分) (20+10)×5=150(级) 150÷2÷（10-150÷2÷10)-10=20(级/分) 第三周子母河畔玩游戏 —趣味相遇问题 第43变 1.(5+4)×[1×2÷(5-4)]=18(千米) 2.(60+52)×[16×2÷(60-52)]=448(千米) 3.(120×5-50×2-30)÷5=94(米/分) 第44变 1.200×[1000÷(60+40)]=2000(米) 2.50×[440÷（35+45)]=275（千米) 3.16×[100÷(6+4)]=160(千米) 第45变 1.（50+70)×2=240(米) (60+70)×[240÷(60-50)]=3120(米) 2.10×(70+30)÷(10+10)-30=20(米/分) 3.（100+75)×3÷（90-75)=35（分) (100+90)×35=6650（米) 121第一周 取经情境图 长老，这些草够这些 我徒弟 牛吃几天呀9 你算。 的订 牛羊混吃咋算？ 转成同一种动物！ 闯关前思考 唐僧师徒行至灵山脚下， 真不知道够吃几天，也不知道要 吃草’的算术题，俺们帮你算 跟随师徒四人，探究牛吃草问 灵山脚下牧草记 牛吃草问题 们能帮 2头牛能吃几天呀？ 先算新草和原草量！ 悟净算 得对！ 24牛 20牛吃10天 12天吃完需19头牛！ 遇一牧人愁眉不展。牧人告知：“这草天天长，牛羊天天吃， 养多少头牛才合适！”悟空听罢笑道：“这有何难？不过是‘牛 青楚！”什么是牛吃草问题？怎样解牛吃草问题？本周让我们 题的奥秘，帮牧人解决烦恼。 小学奥数72 变五年级 竞赛版 第37变。八戒牧场 考点人门 2分钟 入门须知： 牛吃草问题是伟大的科学家牛顿提出来的。牛 吃草问题的难，点在于草每天都在不断生长，草的数 量在不断变化。 几 定海神针： 草的生长速度=（吃得较多的天数×对应的牛 的头数一吃得较少的天数×相应的牛的头数)÷ (吃得较多的天数一吃得较少的天数) 原有草量=牛的头数×吃的天数一草的生长 速度×吃的天数 问路取经： 面对牧人的难题，八戒连连摇头：“这草还会长， 可咋算？”悟空在一旁点拨：“先算每天长多少草， 再算原来有多少草，把牛分两拔，一拔吃新草，一 拨吃原草，就简单啦！”让我们通过下面的例题， 一起帮八戒算明白吧！ 图解母题 3分钟 吃的 例 读题审题 (华罗庚金杯)牧场上有一片匀速生长 吃6天，或供23头牛吃9天，那么这片草地可供21头牛吃 →吃的草=原有的十9天中新长的 算草期 几天吃完一片草 牛到底能吃 天呀？ 算完新草和原草 就知道 =原有的十6天中新长的← 的草地，这片青草可供27头牛 几天？ 第一周灵山脚下牧草记 图示解析 原有草量 6天生长的新草量 27头牛6天吃的草 差是3天生长 !的新草量 原有草量 9天生长的新草量 23头牛9天吃的草 解题思路 易错点：忽略“草在生长” ①计算草的生长速度：两次吃草总 误认为草的数量是固定的。 量差是因为多生长了3天，用总 量差除以天数差，得出每天新长 规范解答 的草量(23×9-27×6)÷(9 假设1头牛1天吃1份草。 6)=15（份)。 每天新长的草： ②计算原有草量：用27头牛6天吃 (23×9-27×6)÷(9-6) 的总草量，减去6天新长的草量， =15(份) 得到牧场原有草量。27×6 原有草量： 15×6=72(份)。 27×6-15×6=72(份) ③计算吃的天数：21头牛中，15头 吃的天数： 专门吃每天新长的草，剩下6头 72÷(21-15)=12(天) 吃原有的草。72÷（21一15)= 答：这片草地可供21头牛吃12天。 12（天)。 通关模型角37变几天吃完一片草 通用解法：先假设1头牛1天吃1份草，通过两次不同牛数的吃草情况，求出草的生长 速度和原有草量，最后用“原有草量÷（牛的头数一草的生长速度）”计算吃的天数。 三步解题： 1.计算草的生长速度：先假设1头牛1天吃1份草，用“两次总草量差÷天数差”计 算每天新长的草量（草的生长速度）。 2.算原有草量：用“牛的头数×吃的天数一草的生长速度×吃的天数”进行计算。 3.算吃的天数：用“原有草量÷（牛的头数一草的生长速度)”进行计算。 3 小学奥数72变五年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（希望杯)一片牧场上的草每天都匀速生长，假设1头牛1天吃1份草，这些草可供20 头牛吃10天或供24头牛吃6天。这些草可供18头牛吃多少天？ 画图思考： 规范解答： 2.（祖冲之杯)天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。牧场上的草可供25头 牛吃4天，或可供16头牛吃6天。那么可供10头牛吃几天？ 画图思考 规范解答： 3.（走美杯)一片草地的草每天都在匀速增长，可供8头牛吃40天或供7头牛吃60天。如 果6头牛吃30天后又增加4头牛一起吃，那么还能吃多少天？ 画图思考： 规范解答： 第一周灵 第38变。悟空妙用转化 牛羊同 考点人门 2分钟 入门须知： 牛吃草问题有一类常考的题型，就是题 目中出现牛、羊等多种动物吃草的情况。在本 书中，我们称这类题型为“牛羊同吃一片草”。 牛羊混吃昨统 定海神针： 遇到有多种动物吃草的情况，先根据它 们的食量关系，将多种动物转化为一种动物， 再按照经典牛吃草问题求解。 吃的天数=原有草量÷（转化后牛的头 数一草的生长速度) 问路取经： 悟空运用转化法巧妙地帮助牧人解决了 按食量转成同 牛羊同吃一片草的难题。怎样运用转化法解 决牛吃草问题呢？让我们跟着悟空的思路一 探究竟吧！ 图解母题 3分钟 例■读题审题 (希望杯)张叔叔家有一片牧场，已知这片牧场的草每 同，现在这片牧场可供8头牛吃25天，或者30只羊吃15天，如果1头牛 于3只羊1天的吃草量，张叔叔决定同时饲养15头牛和15只羊，这片牧 多少天？ →1牛=3羊 →将羊全部转化为牛 山脚下牧草记 去 乾一片草 -呀？ 一种 天生长的速度相 1天的吃草量等 汤可以供它们吃 5 小学奥数2变五年级 竞赛版 图示解析 原有草量 15天生长的新草量 差是10天生长的新草量 原有草量 25天生长的新草量 解题思路 ①统一动物类型。由题意，得“1牛=3羊”，将羊全部转化为牛。8头牛吃25 天的草量：8×25=200（份）。30只羊吃15天（即10头牛吃15天)的草量： 10×15=150（份)。 ②计算草的生长速度和原有草量。草的生长速度：（200一150)÷（25一15)= 5(份/天)。原有草量：200-25×5=75（份)。 ③计算牛羊同吃一片草的天数。15头牛十15只羊=20头牛，75÷（20一5)= 5(天)。 规范解答 8×25=200（份) 10×15=150(份) 草的生长速度：（200一150)÷（25一15)=5（份/天） 原有草量：200-25×5=75（份) 15头牛+15只羊=20头牛 易错点：忘记统一动物类型， 天数：75÷（20-5)=5（天） 直接将牛数和羊数相加。 答：这片牧场可以供它们吃5天。 通关模型鱼38变牛羊同吃一片草 通用解法：遇到有多种动物吃草的情况，首先通过题目已知条件，将多种动物转化为一 种动物，再按照经典牛吃草问题求解。 三步解题： 1.统一动物类型：根据“1牛=几羊”，将所有动物转化为同一种动物（优先转化为牛)。 2.计算草的生长速度和原有草量。 3.求天数：将混合动物转化为单一动物，用“原有草量÷（转化后牛数一草的生长速度)” 得天数。 6 第一周灵山脚下牧草记 变式巧练 10分钟 1.（华罗庚金杯)牧场上有一片匀速生长的草地，可供14头牛吃30天，或可供70只羊吃16 天。如果1头牛1天的吃草量等于4只羊1天的吃草量，这片草地上的草可供17头牛和 20只羊一起吃多少天？ 画图思考： 规范解答： 2.（祖冲之杯)牧场上有一片匀速生长的草地，可供16头牛吃20天，或可供80只羊吃12 天。如果1头牛1天的吃草量等于4只羊1天的吃草量，这片草地上的草可供10头牛和 60只羊一起吃多少天？ 画图思考： 规范解答： 3.(走美杯)牧场的草每天都在匀速生长，可供15头牛吃10天或供30只羊吃20天。如果 1头牛1天的吃草量等于3只羊1天的吃草量，那么10头牛和15只羊一起吃，可以吃 多少天？ 画图思考： 规范解答： ⑦ 小学奥数72变五年级 竞赛版 第39变。沙僧巧算牛数量 几头牛吃一片草 考点人门 2分钟 入门须知 求一片每天生长的草能供几头牛吃固定天数也 是牛吃草问题中的典型题目。解答这类问题，仍需 悟净算得对！ 按照牛吃草问题的一般步骤进行。 定海神针 总草量=原有草量十草的生长速度×目标天数 牛的头数=总草量÷目标天数 问路取经： 面对牧人的第三个难题，沙僧逐步分析，巧妙 计算，很快得出结果，牧人连连道谢。沙僧是怎样 12天吃完需19头牛1 求一片每天生长的草能供几头牛吃固定天数的呢？ 让我们继续探究。 图解母题 3分钟 吃的草=原有的十8天中新长的《 例 读题审题 (希望杯)牧场上长满了牧草，可供25头牛吃8天，或供30头牛吃6 如果这些牧草每天匀速生长，那么，这片牧场可供多少头牛吃5天？ →吃的草=原有的十6天中新长的 图示解析 原有草量 8天生长的新草量 原有草量 6天生长的新草量 差是2天生长的新草量 8 第一周 灵山脚下牧草记 易错点：漏加“目标天数的新长草量” 解题思路 ①计算草的生长速度和原有草量。草的生长速度：（25×8一30×6)÷(8 6)=10(份/天)。原有草量（如用25头牛8天的总草量计算)：200一 10×8=120(份)。 ②计算目标天数(5天)的总草量：因草匀速生长，总草量=原有草量十草的生 长速度×目标天数，即120+5×10=170（份）。 ③计算可供牛的头数：用目标天数的总草量除以目标天数，得到可供牛的头数， 即170÷5=34（头）。 规范解答 25头牛8天吃的草量为：25×8=200（份) 30头牛6天吃的草量为：30×6=180（份） 每天新长的草量为：(200一180)÷(8-6)=10（份） 原有的草量为：200-10×8=120（份） 原有的草量加上5天内新长出的草量共有：120+5×10=170（份） 170÷5=34(头) 答：这片牧场可供34头牛吃5天。 通关模型鱼39变几头牛吃一片草 通用解法：先假设1头牛1天吃的草量为1份，然后根据题目条件计算出草地每天长出 新草的草量以及原有的草量，最后根据总草量和所吃的天数，计算出牛的头数。若草衰 减，总草量=原有草量一目标天数X衰减速度。 三步解题： 1.计算草的生长速度和原有草量：用“总草量差÷天数差”计算草的生长速度；用“牛 的头数×吃的天数一草的生长速度×吃的天数”计算原有草量。 2.计算总草量：根据草的生长或衰减情况，算目标天数的总草量。（生长：原有草量十 草的生长速度×目标天数。衰减：原有草量一草的衰减速度×目标天数) 3.计算所求牛数：用“总草量÷目标天数”得所求的牛的头数。 9 小学奥数72变五年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（希望杯)有一片牧草匀速生长的草场，可供12头牛吃25天或供24头牛吃10天。这片 草场上的牧草可供多少头牛吃20天？ 画图思考： 规范解答： 2.（走美杯)进入冬季后，草会枯萎。一片牧草地上的草每天都在匀速衰减，可供30头牛 吃25天，也可供18头牛吃35天。这片牧草地上的草能供多少头牛吃30天？ 画图思考： 规范解答： 3.（祖冲之杯)有一片牧场，草每天匀速生长，这些草可供20头牛吃8天或供18头牛吃10 天。要使草永远吃不完，最多可以放多少头牛？ 画图思考： 规范解答： 10