第16章 整式的乘法与因式分解-2026-2027学年八年级数学上册练培优（人教版）

第16章整式的乘法 16.1同底数幂的乘法 1、化简a4.(-a)3的结果是() A.a12 B.-a12 C.a7 D.-a7 2、定义关于任意正整数m,n的一种新运算：f(m+n)=f(m)·f(n)。例如，规定f(2)=3, 则f(4)=f(2+2)=3×3=9,f(6)=f(2+2+2)=3×3×3=27。若规定f(5)= k(k≠0)，则f(5n)·f(15)=() A.nk+3 B.5k+n C.5n+3 D.kn+3 3、若ax=2,a=16,a”=32,则下列等式成立的是() A.n=5x+y B.n=xy C.n=x+y D.n=x-y 4、若2x.22x+1=16,则x= 5、计算： (1)-a3.(-a)2.(-a)5 (2)a·(-a)2.(-a)3-（-a)6 6、变式易错题：若a=x-y,将5题(2)中式子变为(x-y)·(y-x)2.y-x)3-y-x), 请计算新式子。 38/70 第16章整式的乘法 16.2幂的乘方与积的乘方 1、若a,b是正整数，且满足2a+2a+…+2a=2b×2b×…×2b,则a与b的关系正确的是() 8个2a相加 8个2相乘 A.a+3=8b B.3a=8b C.a+3=b8 D.3a=8+b 2、已知(xm·yn·y)3=xy5,则m,n的值分别为（) A.3,4 B.4,3 C.3,5 D.9,6 3、若n为正整数，且x2m=3,则(x3m)2的值为 4、若2x.5y=125,5×·2)=8,则x+y= 5、计算： (1)(-2x2)3+(-3x3)2+(x2)2.x2; (2)(-a3)2+(2a2)3-(-a)·(-a)2.(-a3): 6、若am=a(a>0且a≠1，m,n是正整数)，则m=n,利用上面的结论解决问题： (1)如果4×8x=25,求x的值。 (2)如果3x×2x+1+2x×3x+1=180,求x的值。 39/70 第16章整式的乘法 微专题一题练透利用幂的运算法则比较大小 阅读下列两则材料，解决问题。 材料一：比较322和411的大小。 解：411=(22)11=222，且3>2，·322>222，即322>411。 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小。 材料二：比较28和82的大小。 解：82=(23)2=26，且8>6,28>26，即28>82。 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小。 7、【方法运用】 (1)比较344,433,522的大小 (2)比较8131,2741,961的大小； (3)已知a2=2,b3=3,比较a,b的大小； (4)比较312×510与310×512的大小。 40/70 第16章整式的乘法 16.3单项式与多项式相乘 1、已知m-2m=1,则2m(m+1)-m(1+2n)+3的值为（) A.4 B.2 C.-4 D.-2 2、如图，边长分别为α，b的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为() 1 B吃a2 C(a+b) D.(a+b)2 3、某同学在计算一个多项式乘3x2时，因抄错运算符号，算成了加上-3x2,得到的结果是 x2-4x+1,那么正确的计算结果是 4、对于任意实数a,b,定义运算：a△b=ab+1,a☆b=am+bn,其中m,n为有理数。 若a△(b☆c)与(a△b)☆(a△c)相等，求m,n之间的数量关系。 5、阅读下列文字，并解决问题。 已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值。 解：2xy(x5y2-3x3y-4x) =2x6y3-6x4y2-8x2y =2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y =2×33-6×32-8×3 =-24. 我们称这样的方法为“整体代入法”。请你用上述方法解决问题： 已知ab=3,求(2a3b2-3ab+4a)·(-2b)的值 41/70 第16章整式的乘法 6、已知kx+2y一3x+6的值与x的取值无关，求k的值。 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项.例如将本题中的代数式合并同类项，得到(k一 3)x+2y+6,因为代数 式的值与x的取值无关，所以k-3=0,得到k=3· 根据上述方法，解决下列问题： 图1 图2 (1)若代数式m(3x+1)-6x的值与x的取值无关，求m的值。 (2)已知A=2x2+(1-3n)x,B=2m(x2-x+1),且A-B的值与x的取值无关，求m, n的值。 (3)现有7张长为α，宽为b的小长方形纸片，按图示放置在大长方形ABCD中（纸片间 无重叠、无间隙)，大长方形未被覆盖区域为S1、S2。若AD长度变化时，S1一S2始终为定 值，求a与b的数量关系。 42/70 第16章整式的乘法 16.4多项式与多项式相乘 1、观察下面两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律解决问题。若(x+α)(x+b)= x2-9x+14,a,b的值可能分别是() A.-2,-7 B.-2,7 C.2,-7 D.2,7 (x+2)(x+5=x247x+10 (x2(x+)=x2+3x10 2、设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长 方形纸片若干张，要拼一个边长为α+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片 和2张C类纸片。若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的长方形，则需要C类纸片的 张数为() A.6 B.7 C.8 D.9 3、现有一长方形地块，长比宽多20米。若将长增加10米，宽缩短5米，得到的长方形 地块与原长方形地块的面积相等，则原长方形地块的长为米。 4、已知(2x2+mx-n)(x-1)展开的结果中，不含x2项和x项（m,n为常数) (1)求m,n的值； (2)在(1)的条件下，先化简(m-n)(m2+mn+n),再求值。 43/70 第16章整式的乘法 5、在计算(2x+a)(x+b)时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x-24; 乙错把a看成了-a,得到的结果是2x2+14x+20 (1)求出a,b的值； (2)在(1)的条件下，计算(2x+a)(x+b)的结果。 6、甲、乙两个长方形的两邻边长分别为：甲长m+7、宽m+1;乙长m+4、宽m+2 (m为正整数)，面积分别为S1,S2。 m+7 m+4 m+1 S m+2 S2 甲 乙 (1)填空：S1-S2= (用含m的代数式表示)。 (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和。 ①设该正方形的边长为x,求x的值（用含m的代数式表示)。 ②设该正方形的面积为S3,试探究：S3与2(S1+S2)的差是不是常数？若是常数，求出这 个常数；若不是常数，请说明理由。 44/70 第16章整式的乘法 16.5整式的除法 1 1、若多项式A与- 山的积为-4a6+3a22-a山，则多项式A为0 3.1 A.-8a2b2+6ab-1 B.-2a2b2+2ab+4 3 C.8a2b2-6ab+1 D.202b2ab+1 2、已知A=3x2,B=-2xy2,C=8x2y2,计算：A·B2÷C 3、已知A,B均为整式，A=(xy+1)xy-2)-2x2y2+2,小马在计算A÷B时，误把“÷” 抄成了“_”，这样他计算的结果为一x2y2。 (1)化简整式A; (2)求整式B; (3)求A÷B的正确结果。 4、张老师给同学们出了一道题：当x=2025,y=2026时，求[2x2y(x-y)+x2y(2y- x)]÷(x2y)的值。小明说：“老师给的条件y=2026是多余的。”小兵说：“不多余，不给这 个条件，就不能求出结果。”你认为他们谁说的有道理？请说明你的理由。 45/70 第16章整式的乘法 5、我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？ 多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： 3x3-5x2+2x-1 ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； 2x+16x4-7x3-x2+0x-1 6x4+3x3 ②用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项； -10x3-x2 -10x3-5x2 ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐）， 4x2+0x 消去相等项； 4x2+2x -2x-I (④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到 -2x-1 0 余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止。 被除式=除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除。 例如：计算(6x4-7x3-x2-1)÷(2x+1),可用竖式计算， 商式为3x3-5x2+2x-1,余式为0。 例如：计算(6x4-7x3-x2-1)÷(2x+1),可用竖式计算，如图， 所以6x4-7x3-x2-1除以2x+1,商式为3x3-5x2+2x-1, 余式为0 根据材料，请回答下列问题： (1)(x2+2x-3)÷(x-1)=- (2)计算：(x3-x2-4)÷(x-2) (3)若x3+ax2+bx-2能被x2+2x+2整除，求a,b的值。 46/70 第16章整式的乘法 16.6平方差公式 1、若x2-y2=4,则(x-y)2(x+y)2的值为（) A.4 B.16 C.24 D.32 2、如图，在边长为a的正方形纸片正中间剪去一个边长为b(a>b)的小正方形，把剩下的 部分按照图中的虚线分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形ABCD,则 AB边上的高为() A.a B.b C.a-b D.a+b D b B 3、若(a2+b2+1)(a2+b2-1)=35,则a2+b2的值为() A.3 B.6 C.±3 D.±6 4、如图，点D,C,H,G分别在长方形ABJI的边上，点E,F在CD上。若正方形ABCD 的面积是15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积是 D H B 5、如果一个正整数能表示为两个连续非负偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。例 如，4=22-02,12=42-22。 (1)请你将68表示为两个连续偶数的平方差的形式。 (2)试说明“神秘数”能被4整除。 (3)两个连续正奇数的平方差是“神秘数”吗？试说明理由。 47/70 第16章整式的乘法 6、先阅读材料，再解决问题。 小明遇到下面一个问题：计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1). 经过观察，小明发现将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可 以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =(28-1)(28+1) =216-1. 请你根据小明解决问题的方法，解决以下问题. (1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)216+1)= (2)(3+1)32+1)34+1)(38+1)(316+1)= (3)化简：(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n)(m16+n16) 48/70 第16章整式的乘法 16.7完全平方公式 1、已知(a2+b2+3)(a2+b2-3)=7,ab=3,则(a+b)2=() A.4 B.10 C.16 D.20 2、如图，以长方形ABCD的四条边为边长向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个 正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为一。 3、“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”"的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般来 表达数学规律观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：22=1+12+2； 第2个等式：32=2+22+3； 第3个等式：42=3+32+4： 第4个等式：52=4+42+5； (1)请用此方法拆分20262,20262= (2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含n(n为正整数)的等式表示，并借助运算说明这 个结论是正确的。 (3)嘉嘉尝试借助图形的面积验证(2)中的结论。思路是将边长为n的正方形进行适当分割， 请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度。 49/70 第16章整式的乘法 4、等积法是学习数学的一种重要的思想方法.用两种不同的方式表示同一个图形的面积，可 以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题，这就是等积法的思想. a bb a 图1 图2 (1)如图1由边长为a,b的正方形、长a宽b的长方形拼成大长方形，可得等式：(a+2b)(a+ b)= (2)①如图2是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的 方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 ②运用等积法解题：已知a+2b+c=11,2ab+2bc+ac=37,求代数式a2+4b2+c2的 值。 微专题一题练透完全平方公式的变形与应用 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 变形公式：①a2+b2=(a+b)2-2ab ②a2+b2=(a-b)2+2ab ③a2+b2=a+b)2-a2+b2) 2 ④ab=a+b2-(a2+b2J 在利用完全平方公式解决问题时，有时要利用题目中的隐含条件，常见的有“和差为定值”，如： (a-x)+(x-b)=a-b,(x+a)-(x+b)=a-b. 阅读理解：已知x+y=4,xy=3,求x2+y2的值. 50/70 第16章整式的乘法 解：：x+y=4,(x+y)2=16,即x2+2xy+y2=16. :xy=3,x2+y2=16-2xy=10. 参考上述过程，解答下列各题， (1)若x-y=-3,xy=-2,则x2+y2=一，(x+y)2= (2)若(x+y)2=1,(x-y)2=49,求xy的值。 (3)若x+y=7,x2+y2=25,求(x-y)2的值。 (4)若m+n-p=-10,(m-p)n=-12,求(m-p)2+n2的值。 (5)若(x-4)(x-9)=6,求(x-4)2+(x-9)2的值。 (6)如图，正方形ABCD边长为x,AE=14,CG=30,长方形EFGD面积为200，四边 形NGDH、MEDQ为正方形，PQDH为长方形，求阴影部分面积。 M Q P F 51/70第16章整式的乘法 16.1同底数幂的乘法 1、化简a4.(-a)3的结果是() A.a12 B.-a12 C.a D.-aZ 答案：D 解析：当n为正偶数时，(-a)n=a”;当n为正奇数时，(-a)n=-a”。 a4.(-a)3=a4.(-a3) =-a4.a3 =-a4+3 =-a7 2、定义关于任意正整数m,n的一种新运算：f(m+n)=f(m)·f(n)。例如，规定f(2)=3, 则f(4)=f(2+2)=3×3=9,f(6)=f(2+2+2)=3×3×3=27。若规定f(5)= k(k≠0)，则f(5n)·f(15)=() A.nk+3 B.5k+n C.5n+3 D.kn+3 答案：D 解析：因为5n是n个5相加，15是3个5相加。 f(5m)·f(15)=km.k3 =kn+3 3、若a=2,a'=16,a”=32,则下列等式成立的是() A.n=5x+y B.n=xy C.n=x+y D.n=x-y 答案：C 解析：ax=2,ay=16 ax·a'=2×16 axty =32 又an=32,ax+=a",即n=x+y。 4、若2x.22x+1=16,则x= 答案：1 解析：解题关键是统一为同底数幂进行计算。 86/142 第16章整式的乘法 2x.22x+1 =23x+1 16 24 ·.3x+1=4 3x =3 =1 5、计算： (1)-a3.(-a)2.(-a)5 解：-a3.(-a)2.(-a)5=-a3.a2.(a5)=a3+2+5=a10 (2)a·(-a)2.(-a)3-(-a6 解：a·（-a)2.(-a)3-（-a)6=a·a2.(-a3)-a6=-a6-a=-2a6 6、变式易错题：若a=x-y,将5题(2)中式子变为(x-y)·0y-x)2.y-x)3-y-x), 请计算新式子。 解：底数互为相反数变形规则：偶次幂底数可互换，奇次幂互换后添负号。 (x-y)·(y-x)2.y-x)3-y-x)6 =-0y-x)·0y-x)2.0y-x)3-(y-x)6 -(y-x)6-0y-x)6 -2(y-x)6 -2(x-y)6 补充幂运算底数变形公式 1.(-a= an(n为正偶数) (n为正奇数) 2ar{a肉江到 (m为正奇数) 87/142 第16章整式的乘法 16.2幂的乘方与积的乘方 1、若a,b是正整数，且满足2a+2a+…+2a=2b×2b×…×2b,则a与b的关系正确的是() 8个2a相加 8个2相乘 A.a+3=8b B.3a=8b C.a+3=b8 D.3a=8+b 答案：A 解析：由题意，得8×2=(2b)8,23×2=28b,2a+3=2勋，a+3=8b。 2、已知(xm·yn·y)3=xy5,则m,n的值分别为() A.3,4 B.43 C.3,5 D.9,6 答案：A 解析：根据(xm·yn·y)3=x9y15,得x3m·y3+3=xy15,故3m=9,3n+3=15,解得m=3, n=4。 3、若n为正整数，且x2m=3,则(x3m)2的值为 答案：27 解析：因为x2n=3,所以(x3m)2=x3n×2=(x2m)3=33=27(幂的乘方，交换指数，结果不变)。 4、若2x.5y=125,5x.2y=8,则x+y= 答案：3 解析：2x.5y=125=53,5x.2y=8=23, 2x.5y.5x.2y=53×23，即2x+y.5x+y=53×23, (2×5)x+y=(2×5)3,.x+y=3。 5、计算： (1)(-2x2)3+(-3x3)2+(x2)2.x2; 解：(-2x2)3+(-3x3)2+(x2)2.x2=-8x6+9x6+x6=2x6. (2)（-a3)2+(2a2)3-(-a)·(-a)2.(-a3) 解：(-a3)2+(2a2)3-(-a):(-a)2.(-a3)=a6+8a6-a6=8a6. 88/142 第16章整式的乘法 6、若am=a”(a>0且a≠1，m,n是正整数)，则m=n,利用上面的结论解决问题： (1)如果4×8x=25,求x的值。 解：4=22,8=23,25x=25,5x=5,解得x=1。 (2)如果3x×2x+1+2x×3x+1=180,求x的值。 解：3x×2x+1+2x×3+1=180, ·3x×2x×2+2x×3x×3=180,÷3x×2x×5=180, (3×2)x×5=36×5,6x×5=62×5,6x=62,x=2. 微专题一题练透利用幂的运算法则比较大小 阅读下列两则材料，解决问题。 材料一：比较322和411的大小。 解：41=(22)11=222，且3>2，·322>222，即322>411。 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小。 材料二：比较28和82的大小。 解：82=(23)2=26，且8>6，.28>26，即28>82。 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小。 7、【方法运用】 (1)比较344,433,522的大小； 解：344=(34)11=8111,433=(43)11=6411,522=(52)11=2511. :81>64>25,811>6411>2511。即344>433>522. (2)比较8131,2741,961的大小； 解：8131=(34)31=3124,2741=(33)41=3123,961=(32)61=3122. :124>123>122,3124>3123>3122,即8131>2741>91. (3)已知a2=2,b3=3,比较a,b的大小； 解：a2=2,b3=3,a6=(a2)3=8,b6=(b3)2=9. (4)比较312×510与310×512的大小。 解：312×510=(3×5)10×32,310×512=(3×5)10×52， 且32<52,312×510<310×512. 89/142 第16章整式的乘法 16.3单项式与多项式相乘 1、已知m-2=1,则2m(m+1)-m(1+2n)+3的值为() A.4 B.2 C.-4 D.-2 答案：B 解析：m-2n=1,原式=-1+3=2。 2、如图，边长分别为α，b的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为() 1 B吃Q2 C.(a+b) D.(a+b)2 答案：A 如图，图中阴影部分的面积为(a+bb号b2司a,(a+)b 1 解析： a b 1 2 3、某同学在计算一个多项式乘3x2时，因抄错运算符号，算成了加上-3x2,得到的结果是 x2-4x+1,那么正确的计算结果是 答案：-12x4+12x3-3x2 解析：根据题意，得这个多项式是(x2-4x+1)-（-3x2)=4x2-4x+1, 所以正确的计算结果是(4x2-4x+1)·(-3x2)=-12x+12x2-3x2. 4、对于任意实数a,b,定义运算：a△b=ab+1,a☆b=am+bn,其中m,n为有理数。 若a△(b☆c)与(a△b)☆(a△c)相等，求m,n之间的数量关系。 解：：a△(b☆c)=(a△b)☆(a△c),abm+acm+1=mab+nac+m+n 对应项系数相等，得m+n=1。 90/142 第16章整式的乘法 5、阅读下列文字，并解决问题。 已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值。 解：2xy(x5y2-3x3y-4x) =2x6y3-6x4y2-8x2y =2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y =2×33-6×32-8×3 =-24. 我们称这样的方法为“整体代入法”。请你用上述方法解决问题： 已知ab=3,求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值 解：(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b =-4a3b3+6a2b2-8ab =-4(ab)3+6(ab)2-8ab =-4×33+6×32-8×3 =-108+54-24 =-78. 6、已知kx+2y-3x+6的值与x的取值无关，求k的值。 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项例如将本题中的代数式合并同类项，得到(k一 3)x+2y+6,因为代数 式的值与x的取值无关，所以k一3=0，得到k=3. 根据上述方法，解决下列问题： 图1 图2 (1)若代数式m(3x+1)一6x的值与x的取值无关，求m的值。 解：m(3x+1)-6x=3mx+m-6x=(3m-6)x+m. 91/142 第16章整式的乘法 :代数式m(3x+1)一6x的值与x的取值无关， 3m-6=0,解得m=2, (2)已知A=2x2+(1-3)x,B=2m(x2-x+1),且A-B的值与x的取值无关，求m, n的值。 解：解：A-B=2x2+(1-3n)x-[2m(x2-x+1)] =2x2+(1-3n)x-(2mx2-2mx+2m) =2x2+x-3nx-2mx2+2mx-2m =(2-2m)x2+(1-3n+2m)x-2m. 1-B的值与x的取值无关，小(22m00 由2-2m=0得m=1,把m=1代入1-3m+2m=0:1-3m+2=0,3n=3,n=1。 答案：m=1,n=1 (3)现有7张长为α，宽为b的小长方形纸片，按图示放置在大长方形ABCD中（纸片间 无重叠、无间隙)，大长方形未被覆盖区域为S1、S2。若AD长度变化时，S1一S2始终为定 值，求a与b的数量关系。 解：设AD的长为x, S1-S2=3b(x-a)-a(x-4b)=3bx-3ab-ax+4ab=(3b-a)x+ab :AD长度变化，S1-S2恒为定值，x的系数为0，即3b-a=0,·a=3b。 答案：a=3b 92/142 第16章整式的乘法 16.4多项式与多项式相乘 1、观察下面两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律解决问题。若(x+α)(x+b)= x2-9x+14,a,b的值可能分别是() A.-2,-7 B.-2,7 C.2,-7 D.2,7 (x+2)(x+⑤)=x27x+10 (x2(x+=x2+3x10 答案：A 解析：根据题意，得a+b=-9,ab=14,a,b的值可能分别是-2，-7。 2、设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长 方形纸片若干张，要拼一个边长为α+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片 和2张C类纸片。若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的长方形，则需要C类纸片的 张数为() A.6 B.7 C.8 D.9 答案：C 解题思路：计算出长为3a+b、宽为2a+2b的长方形的面积，再分别得出A,B,C类纸片的面 积，即可看出应当需要各类纸片的张数.长为3a+b、宽为2a+2b的长方形的面积为 (3a+b)(2a+2b)=6a2+2b2+8ab,故需要6张A类纸片、2张B类纸片和8张C类纸片. 3、现有一长方形地块，长比宽多20米。若将长增加10米，宽缩短5米，得到的长方形 地块与原长方形地块的面积相等，则原长方形地块的长为米。 答案：50 解析：设原长方形地块的长为x米，则宽为(x-20)米，变化后长为(x+10)米，宽为(x 25)米。故原长方形地块的长为50米。 93/142 第16章整式的乘法 4、已知(2x2+mx-n)(x-1)展开的结果中，不含x2项和x项(m,n为常数) (1)求m,n的值； 解：(2x2+mx-n)(x-1) =2x3-2x2+mx2-mx-nx +n =2x3+(m-2)x2-(m+n)x+n. (2x2+mx-n)(x-1)展开的结果中，不含x2项和x项， m-2=0,-(m+n)=0(x2项和x项的系数为0)， m=2,n=-2. (2)在(1)的条件下，先化简(m-n)(m2+mn+n),再求值。 (m-n)(m2 mn n2)=m3 +m2n +mn2-m2n-mn2-n3 =m3 -n3 当m=2,n=-2时，原式=23-(-2)3=8-（-8)=16. 5、在计算(2x+Q)(x+b)时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x-24; 乙错把a看成了-a,得到的结果是2x2+14x+20 (1)求出a,b的值； 答案：a=-4,b=5 解：因为甲错把b看成了6，所以 (2x+a)(x+6)=2x2+12x+ax+6a=2x2+(12+a)x+6a=2x2+8x-24, 所以12+a=8,6a=-24,解得a=-4. 因为乙错把a看成了-a,所以 (2x-a)x+b)=2x2+2bx-ax-ab=2x2+(2b-a)x-ab=2x2+14x+20, 所以2b-a=14,-ab=20,把a=-4代入，得b=5. (2)在(1)的条件下，计算(2x+a)(x+b)的结果。 解：当a=-4,b=5时，(2x+a)(x+b)=(2x-4)(x+5)=2x2+10x-4x-20=2x2+ 6x-20. 94/142 第16章整式的乘法 6、甲、乙两个长方形的两邻边长分别为：甲长m+7、宽m+1;乙长m+4、宽m+2 (m为正整数)，面积分别为S1,S2 m+7 m+4 m+1 m+2 甲 乙 (1)填空：S1-S2=（用含m的代数式表示)。 答案：2m-1 解析：S1-S2=(m+7)(m+1)-(m+4)(m+2)=(m2+m+7m+7)-(m2+2m+ 4m+8)=m2+m+7m+7-m2-2m-4m-8=2m-1. (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和。 ①设该正方形的边长为x,求x的值（用含m的代数式表示）。 答案：x=2m+7 解：根据题意，得4x=2(m+7+m+1)+2(m+4+m+2),解得x=2m+7, 所以x的值为2m+7. ②设该正方形的面积为S3,试探究：S3与2(S1+S2)的差是不是常数？若是常数，求出这 个常数；若不是常数，请说明理由。 解：S3与2(S1+S2)的差是常数，这个常数为19 因为S1+S2=(m+7)(m+1)+(m+4)(m+2) =(m2+m+7m+7)+(m2+2m+4m+8) =m2+m+7m+7+m2+2m+4m+8 =2m2+14m+15, 所以S3-2(S1+S2)=(2m+7)(2m+7)-2(2m2+14m+15) =4m2+28m+49-4m2-28m-30=19, 所以S3与2(S1+S2)的差是常数，这个常数为19. 95/142 第16章整式的乘法 16.5整式的除法 1、若多项式A与- 山的积为-4a6+3a262-b,则多项式A为() 1 3.1 A.-8a2b2+6ab-1 B.-2a2b2+2b+4 D.2a2b2_ 3 C.8a2b2-6ab+1 ab+1 答案：C 解析：由题意可得： A-(4aw+3a262-2w）-(2） -(4ww·(2）t3a2+(2叫）2h*(2） =8a2b2-6ab+1 2、已知A=3x2,B=-2xy2,C=8x2y2,计算：A·B2÷C 解：A.B2÷C=(3x2)·(-2xy2)2÷(8x2y2) =(3x2).(4x2y4)÷(8x2y2) =12xy4÷(8x2y2) 3 3、已知A,B均为整式，A=(xy+1)(xy-2)-2x2y2+2,小马在计算A÷B时，误把“÷” 抄成了“_”，这样他计算的结果为一x2y2。 (1)化简整式A; (2)求整式B; (3)求A÷B的正确结果。 答案： (1)解：A=(xy+1)xy-2)-2x2y2+2 =x2y2-2xy+xy-2-2x2y2+2 =-x2y2-xy 96/142 第16章整式的乘法 (2)解：由题意得A-B=-x2y2, 由(1)得A=-x2y2-xy,代入得： -x2y2-xy-B=-x2y2 -B=-x2y2+x2y2+xy -B=xy B=-xy (3)解：由(1)知A=-x2y2-xy,由(2)知B=-xy, A÷B=(-x2y2-xy)÷(-xy) -x2y2 -xy -xy-xy =xy+1 故A÷B的正确结果是xy+1。 4、张老师给同学们出了一道题：当x=2025,y=2026时，求[2x2y(x-y)+x2y(2y- x)]÷(x2y)的值。小明说：“老师给的条件y=2026是多余的。”小兵说：“不多余，不给这 个条件，就不能求出结果。”你认为他们谁说的有道理？请说明你的理由。 解：小明说的有道理，理由如下： [2x2y(x-y)+x2y(2y-x)]÷(x2y)=(2x3y-2x2y2+2x2y2-x3y)÷x2y=x3y÷x2y=x 化简后的结果只含字母x,不含字母y,代数式的值与y的取值无关，因此条件y=2026多 余，小明说得有道理。 5、我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？ 多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低 于除式的次数时为止。 被除式=除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除。 97/142 第16章整式的乘法 例如：计算(6x4-7x3-x2-1)÷(2x+1),可用竖式计算， 3x3-5x2+2x-1 2x+16x4-7x3-x2+0x-1 商式为3x3-5x2+2x-1,余式为0。 6x4+3x3 -10x3-x2 例如：计算(6x4-7x3-x2-1)÷(2x+1),可用竖式计算，如图， -10x3-5x2 4x2+0x 所以6x4-7x3-x2-1除以2x+1,商式为3x3-5x2+2x-1, 4x2+2x 余式为0， -2x-1 -2x-1 0 根据材料，请回答下列问题： (1)(x2+2x-3)÷(x-1)=; (2)计算：(x3-x2-4)÷(x-2) (3)若x3+ax2+bx-2能被x2+2x+2整除，求a,b的值。 答案：（1)解：(x2+2x-3)÷(x-1)=x+3 x+3 X-1)x2+2x-3 x2-x 3x-3 3x-3 0 (2)解：(x3-x2-4)÷(x-2)=x2+x+2 x2+x+2 x-2)x3-x2+0x-4 x3-2x2 x2+0x x2-2x 2x-4 2x-4 0 (3)解：设商式为x+m 则x3+ax2+bx-2=(x+m)(x2+2x+2)=x3+(2+m)x2+(2+2m)x+2m, a=2+m,b=2+2m,2m=-2,由2m=-2,解得m=-1, 将m=-1代入：a=2+(-1)=1,b=2+2×(-1)=0 ÷a=1,b=0 98/142 第16章整式的乘法 16.6平方差公式 1、若x2-y2=4,则(x-y)2(x+y)2的值为() A.4 B.16 C.24 D.32 答案：B 2、如图，在边长为a的正方形纸片正中间剪去一个边长为b(a>b)的小正方形，把剩下的 部分按照图中的虚线分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形ABCD,则 AB边上的高为() A.a B.b C.a-b D.a+b D b B 答案：C 解析：方法1：设AB边上的高为h,由面积相等得a2-b2=(a+b)h。 :(a+b)(a-b)=a2-b2,h=a-b。 3、若(a2+b2+1)(a2+b2-1)=35,则a2+b2的值为() A.3 B.6 C.±3 D.±6 答案：B 解析：a2+b2≥0，a2+b2=6。 4、如图，点D,C,H,G分别在长方形ABJI的边上，点E,F在CD上。若正方形ABCD 的面积是15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积是 D H 答案：3 解析：设正方形ABCD、正方形EFGH的边长分别为a,b。阴影为两个三角形，底均为a+b, 99/142 第16章整式的乘法 高之和DE+FC=a-b,结合面积关系推导得正方形EFGH面积为3。 5、如果一个正整数能表示为两个连续非负偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。例 如，4=22-02,12=42-22。 (1)请你将68表示为两个连续偶数的平方差的形式。 答案：68=182-162 (2)试说明“神秘数”能被4整除。 解：设两个连续的非负偶数分别为2k,2k+2,k为非负整数， 则2k+2)2-(2k)2 =(2k+2+2k)(2k+2-2k) =2(4k+2) =4(2k+1), 因为2k+1为整数，所以“神秘数”能被4整除 (3)两个连续正奇数的平方差是“神秘数”吗？试说明理由。 解：两个连续正奇数的平方差不是“神秘数”理由如下： 设两个连续的正奇数分别为2m-1,2m+1,m为正整数， 则(2m+1)2-(2m-1)2 =(2m+1+2m-1)(2m+1-2m+1) =4m×2 =8m. 因为8m是4的偶数倍，由（2)知“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，所 以两个连续正奇数的平方差不是“神秘数” 6、先阅读材料，再解决问题。 小明遇到下面一个问题：计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1). 经过观察，小明发现将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可 以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) 100/142 第16章整式的乘法 =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =(28-1)(28+1) =216-1. 请你根据小明解决问题的方法，解决以下问题： (1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)= 解析：结合题中信息，得 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(216-1)(216+1)=232-1. (2)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)= 解析：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1) -3-8+1g2+130+1D(e+D036+)-321 2 (3)化简：(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16) 解：当m≠n时， (m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16) (m-n)(m+(m)(m)(() m- m32-n32 m-n· 当m=n时，(m+n)(m2+n2)(m4+n)(m8+n)(m16+n16) =2m.2m2.2m4.2m8.2m16 =32m31. 101/142 第16章整式的乘法 16.7完全平方公式 1、已知(a2+b2+3)(a2+b2-3)=7,ab=3,则(a+b)2=() A.4 B.10 C.16 D.20 答案：B 解析：(a2+b2+3)(a2+b2-3)=7,(a2+b2)2-9=7, (a2+b2)2=16.a2+b2≥0，a2+b2=4.ab=3, (a+b)2=a2+b2+2ab=4+2×3=4+6=10. 2、如图，以长方形ABCD的四条边为边长向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个 正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为一。 答案：6 解析：设AB=a,AD=b。 四个正方形周长和：8a+8b=40,化简得a+b=5; 四个正方形面积和：2a2+2b2=26,化简得a2+b2=13。 长方形面积为ab=6。 3、“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般来 表达数学规律观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：22=1+12+2； 第2个等式：32=2+22+3； 第3个等式：42=3+32+4； 第4个等式：52=4+42+5； … (1)请用此方法拆分20262,20262= 答案：2025+20252+2026 102/142 第16章整式的乘法 (2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含n(n为正整数)的等式表示，并借助运算说明这 个结论是正确的。 解：第1个等式：22=1+12+2； 第2个等式：32=2+22+3； 第3个等式：4=3+32+4； 第4个等式：52=4+42+5； 则第n-1个等式是n2=(n-1)+(n-1)2+n.理由如下： :右边=n-1+n2-2n+1+n=n2,左边=n2, ·左边=右边， n2=(n-1)+(n-1)2+n成立. (3)嘉嘉尝试借助图形的面积验证(2)中的结论。思路是将边长为的正方形进行适当分割， 请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度。 n-】 解：如图所示 几- 4、等积法是学习数学的一种重要的思想方法.用两种不同的方式表示同一个图形的面积，可 以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题，这就是等积法的思想 图1 图2 103/142 第16章整式的乘法 (1)如图1由边长为a,b的正方形、长a宽b的长方形拼成大长方形，可得等式：(a+2b)(a+ b)= 答案：a2+3ab+2b2 (2)①如图2是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为+b+c的大正方形，用不同的 方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 答案：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 解析：整体面积：(a+b+c)2;拆分面积：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,故等式成立。 ②运用等积法解题：已知a+2b+c=11,2ab+2bc+ac=37,求代数式a2+4b2+c2的 值。 解：因为a+2b+c=11,2ab+2bc+ac=37, 所以(a+2b+c)2=a2+4b2+c2+4ab+4bc+2ac 所以112=a2+4b2+c2+2×37, 所以a2+4b2+c2=47. 微专题一题练透完全平方公式的变形与应用 完全平方公式：(a±b)2=a2+2ab+b2 变形公式： ①a2+b2=(a+b)2-2ab ②a2+b2=(a-b)2+2ab ③2+b2=a+b)2-(a2+b) 2 ④ab=2[a+b2-(a2+b2] 在利用完全平方公式解决问题时，有时要利用题目中的隐含条件，常见的有“和差为定值”，如： (a-x)+(x-b)=a-b,(x+a)-(x+b)=a-b. 阅读理解：已知x+y=4,xy=3,求x2+y2的值. 解：rx+y=4, (x+y)2=16,即x2+2xy+y2=16. :xy=3,x2+y2=16-2xy=10. 104/142 第16章整式的乘法 参考上述过程，解答下列各题 (1)若x-y=-3,xy=-2,则x2+y2=一，(x+y)2= 答案：5；1 (2)若(x+y)2=1,(x-y)2=49,求xy的值。 解：(x+y)2=x2+2xy+y2=1,① (x-y)2=x2-2xy+y2=49,② ①-②，得4xy=-48, 解得xy=-12. (3)若x+y=7,x2+y2=25,求(x-y)2的值。 解：：x+y=7,∴(x+y)2=x2+2xy+y2=49. :x2+y2=25,xy=12, (x-y)2=x2+y2-2xy=25-2×12=1. (4)若m+n-p=-10,(m-p)n=-12,求(m-p)2+n2的值。 解：：m+n-p=-10, .(m-p+n)2=100,即(m-p)2+2(m-p)n+n2=100. :(m-p)n=-12, .(m-p)2+n2=100-2(m-p)n=100-2×(-12)=124. (5)若(x-4)(x-9)=6,求(x-4)2+(x-9)2的值。 解：设x-4=a,x-9=b,则a-b=(x-4)-(x-9)=5. (x-4)(x-9)=6,÷ab=6, (x-4)2+(x-9)2=a2+b2=(a-b)2+2ab=52+2×6=37, (6)如图，正方形ABCD边长为x,AE=14,CG=30,长方形EFGD面积为200，四边 形NGDH、MEDQ为正方形，PQDH为长方形，求阴影部分面积。 105/142 第16章整式的乘法 M Q P AE GN B 解：长方形EFGD的面积为DE·DG=(x-14)(x-30)=200. DE=x-14=a,DG=x-30=b, 则ab=(x-14)(x-30)=200,a-b=(x-14)-(x-30)=16. :四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，·ME=DE=a,NG=DG=b. 又FG=DE=a,EF=DG=b,MF=FN=a+b,同理可得MP=PN=a十b, ·题图中阴影部分是正方形， 题图中阴影部分的面积为(a+b)2=(a-b)2+4ab=162+4×200=1056. 106/142