第12讲 扇形 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第12讲 扇形 目录 知识点1 弧长公式 2 知识点2 扇形面积两套公式 2 知识点3 弓形面积公式 2 知识点4 圆锥核心对应关系（重难点） 3 知识点5 圆锥计算公式 3 知识点6 旋转扫面与路径核心 3 题型1 求弧长 3 题型2 求扇形半径 4 题型3 求圆心角 5 题型4 求某点的弧形运动路径长度 6 题型5 求扇形面积 7 题型6 求图形旋转后扫过的面积 8 题型7 求弓形面积 9 题型8 求其他不规则图形的面积 10 题型9 求圆锥侧面积 11 题型10 求圆锥底面半径 12 题型11 求圆锥的高 13 题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角 14 解答题 14 1. 知识目标：熟记弧长、扇形面积全套公式，掌握扇形、弓形、不规则图形面积求法，理清圆锥侧面展开图与扇形的对应关系，牢记圆锥各类计算公式。 2. 能力目标：能灵活正用、逆用公式求解弧长、圆心角、半径，熟练处理旋转路径、扫过面积、弓形及不规则图形面积，精准求解圆锥各类参数。 3. 素养目标：建立平面与立体图形转化思维，掌握割补法、转化法求面积，规范公式运算，规避公式混用、概念混淆等易错点。 知识点1 弧长公式 在半径为的圆中，圆心角为所对的弧长： 公式涉及三个量：圆心角、半径、弧长，知二可求一。 知识点2 扇形面积两套公式 1. 角度公式（已知圆心角、半径）： 2. 弧长公式（已知弧长、半径）： 解题原则：已知圆心角优先用角度公式，已知弧长优先用弧长公式，简化计算。 知识点3 弓形面积公式 1. 劣弧弓形（弧长小于半圆）： 2. 优弧弓形（弧长大于半圆）： 知识点4 圆锥核心对应关系（重难点） 圆锥侧面展开图为扇形，一一对应关系： 1. 圆锥母线 = 展开扇形半径 2. 圆锥底面周长 = 展开扇形弧长 3. 圆锥高、底面半径、母线满足勾股： 知识点5 圆锥计算公式 1. 圆锥侧面积： 2. 圆锥底面积： 3. 圆锥全面积： 4. 侧面展开图圆心角： 知识点6 旋转扫面与路径核心 1. 点旋转路径：圆弧，半径为旋转支点到该点的距离； 2. 图形旋转扫过图形：多为扇形、圆环、扇环组合图形，用整体减空白求解面积。 题型1 求弧长 解题技巧（套公式、定两角、精准代入） 1. 找准两个关键量：弧对应的圆心角、所在圆半径； 2. 直接代入弧长公式 计算； 3. 规避易错：必须用**圆心角**，不可误用圆周角，角度单位统一为度。 1．如图，是的切线，A、B为切点，为直径，且，求的长（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，于点C，若的半径为10，，则劣弧的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 4．物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 题型2 求扇形半径 解题技巧（公式逆推、知二求一） 1. 已知弧长、圆心角：变形 求半径； 2. 已知扇形面积、圆心角：变形 求半径； 3. 已知扇形面积、弧长：变形 快速求解。 5．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 6．若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（    ） A．2 B．4 C．2π D．4π 7．一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 8．若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为，则其母线长为__________． 题型3 求圆心角 解题技巧（公式变形、逆向计算） 1. 已知弧长、半径：变形 ； 2. 已知扇形面积、半径：变形 ； 3. 结果校验：圆心角取值范围 。 9．一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 10．已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 11．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 12．已知扇形半径是，弧长为，则扇形的圆心角为________ 题型4 求某点的弧形运动路径长度 解题技巧（定圆心、定半径、定转角） 1. 找旋转三要素：旋转中心、旋转半径（动点到中心距离）、旋转角度； 2. 点运动轨迹为圆弧，代入弧长公式计算路径长； 3. 特殊转角：旋转180°为半圆弧，旋转360°为整圆，可直接速算。 13．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 14．如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 15．如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 16．如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 题型5 求扇形面积 解题技巧（择优套公式、简化运算） 1. 已知圆心角、半径：用 ； 2. 已知弧长、半径：优先用简易公式 ； 3. 规避误区：扇形周长≠弧长，面积计算无需加半径。 17．某工件形状如图所示，的度数为，，点到点的距离等于，，则工件的面积等于（     ）． A． B． C． D． 18．如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 19．如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 20．半径为，圆心角为的扇形面积为 _______________（结果保留． 题型6 求图形旋转后扫过的面积 解题技巧（定型区域、整体减空、扇环求解） 1. 线段、三角形、矩形旋转扫过区域多为扇形、扇环； 2. 同中心旋转：大扇形减小扇形，得到扇环面积； 3. 规范步骤：确定内外半径、旋转圆心角，套扇形公式作差计算。 21．如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 22．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 24．武术是中华民族传统文化之瑰宝，源远流长，博大精深，有一个招式为“白鹤亮翅”（如图），其中一个动作可简化为右手手臂绕肘关节在竖直平面内旋转，若某人小臂长，则右手小臂完成动作时扫过的面积为______． 题型7 求弓形面积 解题技巧（先扇后三角、正负取舍） 1. 劣弧弓形：扇形面积减去对应等腰三角形面积； 2. 优弧弓形：大扇形面积加上三角形面积； 3. 核心：先算扇形、再算三角形，最后做和差运算。 25．如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形的面积等于（    ） A． B． C． D． 26．如图，正方形内接于⊙，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 27．已知半径为2的扇形圆心角为，则此弓形的面积是______． 28．如图，点为半圆的圆心，直径长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是________． 题型8 求其他不规则图形的面积 解题技巧（割补平移、转化规则、和差求解） 1. 割补法：拆分、平移、拼接不规则图形，转化为扇形、三角形、圆等规则图形； 2. 加减法则：总面积减去空白面积，阴影面积直接求和； 3. 对称转化：利用圆的对称性，等量替换阴影区域简化计算。 29．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 30．我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 31．如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积是______． 32．如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 题型9 求圆锥侧面积 解题技巧（认准母线、直接套公式） 1. 核心公式：（底面半径，母线长）； 2. 避坑关键：区分母线与圆锥高，严禁混用； 3. 已知高和底面半径：先用勾股求出母线，再算侧面积。 33．某圆锥底面直径为，母线长为，则该圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 34．如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 35．若圆锥底面圆的直径和母线长均为，则它的侧面展开图的面积等于______． 36．如图，，则绕旋转一周得到的立体图形的表面积为______． 题型10 求圆锥底面半径 解题技巧（弧长等价、列方程求解） 1. 核心等量：圆锥底面周长 = 侧面扇形弧长； 2. 列等式：； 3. 化简求解：直接解出底面半径，快速出答案。 37．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 38．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 39．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 40．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 题型11 求圆锥的高 解题技巧（勾股定理、立体转平面） 1. 固定模型：母线、底面半径、圆锥高构成直角三角形； 2. 公式：； 3. 解题顺序：先求母线、底面半径，再代入求高。 41．把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 42．把一个半径为6的半圆围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的高是（   ） A．6 B． C．3 D． 43．哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 44．将一个圆心角为，半径为9的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的高为________． 题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角 解题技巧（专用公式、一步速算） 1. 秒杀公式：； 2. 推导逻辑：由底面周长等于扇形弧长变形得出； 3. 校验范围：结果在0°~360°之间，符合扇形定义。 45．一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 46．圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（   ） A． B． C． D． 47．已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 48．已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 解答题 49．用计算器计算： 在地面建立一个花坛，底部形状如图，它的外周由圆弧与正方形的三条边组成（如图的实线部分）．已知，正方形的面积为，求花坛底部的周长（结果保留三位有效数字）． 50．如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 51．如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 52．剪纸是中国民间广为流传的非遗艺术，“风车”剪纸寓意“一帆风顺、四季平安”．下图为某同学设计的“吉祥风车”剪纸图案，风车的叶片由等腰直角三角形与半圆组合而成，半圆的直径为小的等腰直角三角形的直角边，如图，点的坐标为，点的坐标为，且点、分别为大的等腰直角三角形的斜边的中点，点为风车的中心． 请回答下列问题： (1)在图中画出平面直角坐标系，并写出风车上点的坐标； (2)求风车图案中半圆的总周长； (3)记在第一象限的风车叶片为第一片叶片，请描述风车的其他三片叶片可以由第一片叶片经过怎样的图形变化得到． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 扇形 目录 知识点1 弧长公式 2 知识点2 扇形面积两套公式 2 知识点3 弓形面积公式 2 知识点4 圆锥核心对应关系（重难点） 3 知识点5 圆锥计算公式 3 知识点6 旋转扫面与路径核心 3 题型1 求弧长 3 题型2 求扇形半径 6 题型3 求圆心角 7 题型4 求某点的弧形运动路径长度 10 题型5 求扇形面积 12 题型6 求图形旋转后扫过的面积 14 题型7 求弓形面积 17 题型8 求其他不规则图形的面积 19 题型9 求圆锥侧面积 24 题型10 求圆锥底面半径 25 题型11 求圆锥的高 28 题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角 30 解答题 32 1. 知识目标：熟记弧长、扇形面积全套公式，掌握扇形、弓形、不规则图形面积求法，理清圆锥侧面展开图与扇形的对应关系，牢记圆锥各类计算公式。 2. 能力目标：能灵活正用、逆用公式求解弧长、圆心角、半径，熟练处理旋转路径、扫过面积、弓形及不规则图形面积，精准求解圆锥各类参数。 3. 素养目标：建立平面与立体图形转化思维，掌握割补法、转化法求面积，规范公式运算，规避公式混用、概念混淆等易错点。 知识点1 弧长公式 在半径为的圆中，圆心角为所对的弧长： 公式涉及三个量：圆心角、半径、弧长，知二可求一。 知识点2 扇形面积两套公式 1. 角度公式（已知圆心角、半径）： 2. 弧长公式（已知弧长、半径）： 解题原则：已知圆心角优先用角度公式，已知弧长优先用弧长公式，简化计算。 知识点3 弓形面积公式 1. 劣弧弓形（弧长小于半圆）： 2. 优弧弓形（弧长大于半圆）： 知识点4 圆锥核心对应关系（重难点） 圆锥侧面展开图为扇形，一一对应关系： 1. 圆锥母线 = 展开扇形半径 2. 圆锥底面周长 = 展开扇形弧长 3. 圆锥高、底面半径、母线满足勾股： 知识点5 圆锥计算公式 1. 圆锥侧面积： 2. 圆锥底面积： 3. 圆锥全面积： 4. 侧面展开图圆心角： 知识点6 旋转扫面与路径核心 1. 点旋转路径：圆弧，半径为旋转支点到该点的距离； 2. 图形旋转扫过图形：多为扇形、圆环、扇环组合图形，用整体减空白求解面积。 题型1 求弧长 解题技巧（套公式、定两角、精准代入） 1. 找准两个关键量：弧对应的圆心角、所在圆半径； 2. 直接代入弧长公式 计算； 3. 规避易错：必须用**圆心角**，不可误用圆周角，角度单位统一为度。 1．如图，是的切线，A、B为切点，为直径，且，求的长（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接 ，根据切线的性质可得，利用四边形内角和为求出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：连接 ， ∵、是的切线，A、B为切点， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴的长为. 2．如图，在中，于点C，若的半径为10，，则劣弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，构造圆心角，因为要求劣弧的长，所以需要先求出弧所对的圆心角的度数和已知的半径，用弧长公式计算．由垂径定理，因为，所以是的一半，可求出的长度．在中，已知是半径、的长度，用三角函数可求出的度数，进而得到圆心角的度数．代入弧长公式，其中n为圆心角度数，R为半径，计算劣弧的长度． 【详解】 连接，， ∵，， ∴． ∵半径， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴直角三角形中直角边， ∴， ∴， ∴圆心角． 弧长公式为（为圆心角度数，为半径），代入得： 劣弧的长． 选：C． 3．如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 4．物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 【答案】 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴的长为． 题型2 求扇形半径 解题技巧（公式逆推、知二求一） 1. 已知弧长、圆心角：变形 求半径； 2. 已知扇形面积、圆心角：变形 求半径； 3. 已知扇形面积、弧长：变形 快速求解。 5．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 6．若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（    ） A．2 B．4 C．2π D．4π 【答案】A 【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴扇形的半径为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式． 7．一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式列方程求解，舍去不符合题意的负根即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 根据题意，得， 则 解得或（不符合题意，舍去）， 扇形的半径是． 8．若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为，则其母线长为__________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的相关计算，核心知识点为圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，根据该关系列方程即可求解母线长． 【详解】解：圆锥底面半径为， 圆锥的底面周长为， 设圆锥的母线长为，根据题意得， 整理得， 解得． 题型3 求圆心角 解题技巧（公式变形、逆向计算） 1. 已知弧长、半径：变形 ； 2. 已知扇形面积、半径：变形 ； 3. 结果校验：圆心角取值范围 。 9．一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式得到，即可得到答案． 【详解】解：重物上升， 故， 即， 解得，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为． 10．已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 【答案】 /30度 【分析】根据扇形面积公式结合已知弧长和面积求出扇形半径，再利用弧长公式计算得到圆心角度数． 【详解】解：设扇形半径为，圆心角为， 由扇形面积公式，将，代入得：， 解得， 将，代入弧长公式得：， 解得， 即该扇形的圆心角为． 11．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 【答案】/45度 【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接，， 设， ∵的长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．已知扇形半径是，弧长为，则扇形的圆心角为________ 【答案】/135度 【分析】已知扇形的半径和弧长，直接利用弧长公式即可求出圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的圆心角为度，根据弧长公式， 将，代入， 得 解得． 题型4 求某点的弧形运动路径长度 解题技巧（定圆心、定半径、定转角） 1. 找旋转三要素：旋转中心、旋转半径（动点到中心距离）、旋转角度； 2. 点运动轨迹为圆弧，代入弧长公式计算路径长； 3. 特殊转角：旋转180°为半圆弧，旋转360°为整圆，可直接速算。 13．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质推出，再根据弧长的公式求解即可． 【详解】解：∵绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴点经过的路径长为． 14．如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将平行四边形旋转后，点D所转过的路径是以线段为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可． 【详解】解：将绕其对称中心O旋转，点D所转过的路径为以为直径的半圆， ∴其长度为． 15．如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点从开始到结束所经过的路径长． 16．如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 【详解】∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 题型5 求扇形面积 解题技巧（择优套公式、简化运算） 1. 已知圆心角、半径：用 ； 2. 已知弧长、半径：优先用简易公式 ； 3. 规避误区：扇形周长≠弧长，面积计算无需加半径。 17．某工件形状如图所示，的度数为，，点到点的距离等于，，则工件的面积等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作过点、、的圆，圆心为，连接、、，交于点，由圆周角定理推出是等边三角形，再根据垂径定理和三线合一的性质，易证，得到，进而得出工件的面积，即可得解． 【详解】解：如图，作过点、、的圆，圆心为，连接、、，交于点， ， ， ， 是等边三角形， ，， 点到点的距离等于， ， ，， ，即， ，， ， ， ， 工件的面积． 18．如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 19．如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 【答案】 【分析】重物上升，则滑轮转过的弧长也是，再由，即可求出半径转过的面积． 【详解】解：由题意得，半径转过的弧长为， 则半径转过的面积． 20．半径为，圆心角为的扇形面积为 _______________（结果保留． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式为，将已知扇形的半径和圆心角，代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解： ． 题型6 求图形旋转后扫过的面积 解题技巧（定型区域、整体减空、扇环求解） 1. 线段、三角形、矩形旋转扫过区域多为扇形、扇环； 2. 同中心旋转：大扇形减小扇形，得到扇环面积； 3. 规范步骤：确定内外半径、旋转圆心角，套扇形公式作差计算。 21．如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积的计算．首先根据钟面的特点求出时针转过的圆心角度数，再结合时针长度（即半径），利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：钟面一圈为，共有12个大格，时针每小时转过的角度为， 从点到点半，经过了30分钟，即小时， 时针转过的圆心角， 时针长，即扇形半径， 时针扫过的面积． 22．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由扫过的部分为：扇形与，再进一步求解即可. 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的部分为：扇形与， ∴扫过的面积为：. 23．如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ， 阴影部分的面积 ． 24．武术是中华民族传统文化之瑰宝，源远流长，博大精深，有一个招式为“白鹤亮翅”（如图），其中一个动作可简化为右手手臂绕肘关节在竖直平面内旋转，若某人小臂长，则右手小臂完成动作时扫过的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】根据题意可知． 所以小臂完成动作时扫过的面积是． 故答案为：． 题型7 求弓形面积 解题技巧（先扇后三角、正负取舍） 1. 劣弧弓形：扇形面积减去对应等腰三角形面积； 2. 优弧弓形：大扇形面积加上三角形面积； 3. 核心：先算扇形、再算三角形，最后做和差运算。 25．如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弓形面积等于扇形面积减去三角形面积求解即可． 【详解】由题意得，， 弓形的面积=扇形OAB的面积-的面积 故选：A． 【点睛】本题考查弓形的面积，牢记弓形的面积等于扇形面积减去三角形面积是解题的关键． 26．如图，正方形内接于⊙，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OB、OC，利用正方形的性质得出OB=BCcos45°=，根据阴影部分的面积=（S⊙O-S正方形ABCD）÷4列式计算可得． 【详解】解：连接OB、OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOC=90°，∠OBC=45°， ∴OB=BCcos45°=4×=， 所以阴影部分的面积=（S⊙O-S正方形ABCD）÷4=[π×（）2-4×4]÷4=2π-4． 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式． 27．已知半径为2的扇形圆心角为，则此弓形的面积是______． 【答案】 【分析】根据弓形的面积求解． 【详解】解：如图：过作， ， ， ， ， ，， 此弓形的面积是． 28．如图，点为半圆的圆心，直径长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，推出是等边三角形，得到，利用三角函数求出的长，根据公式求出，然后计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， 根据题意得， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 题型8 求其他不规则图形的面积 解题技巧（割补平移、转化规则、和差求解） 1. 割补法：拆分、平移、拼接不规则图形，转化为扇形、三角形、圆等规则图形； 2. 加减法则：总面积减去空白面积，阴影面积直接求和； 3. 对称转化：利用圆的对称性，等量替换阴影区域简化计算。 29．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，交于E，先确定是等边三角形，进而求出，然后根据阴影部分的面积得出答案． 【详解】解：连接，交于E， ∵沿对折O和D重合，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 30．我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 31．如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】过C作交的延长线于点F，先利用平行四边形的性质得到，，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，由阴影部分的面积为求解即可． 【详解】解：过C作交的延长线于点F，如图所示， ∵四边形是平行四边形，，， ，， ， ， ，， ， ∴阴影部分的面积为 ． 32．如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 【答案】平方米 【分析】设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接，先证明，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据计算即可． 【详解】解：如图，设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接， ∵为直径， ∴，即， ∵三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴米， ∴ 平方米． 答：阴影部分的面积为平方米． 题型9 求圆锥侧面积 解题技巧（认准母线、直接套公式） 1. 核心公式：（底面半径，母线长）； 2. 避坑关键：区分母线与圆锥高，严禁混用； 3. 已知高和底面半径：先用勾股求出母线，再算侧面积。 33．某圆锥底面直径为，母线长为，则该圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据底面直径求出底面半径，再代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：底面半径， 圆锥侧面积． 34．如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆锥的母线和底面图形的直径都是， ，， ． 35．若圆锥底面圆的直径和母线长均为，则它的侧面展开图的面积等于______． 【答案】 【分析】已知圆锥底面直径和母线长，利用圆锥侧面展开图是扇形，结合扇形面积公式计算即可. 【详解】解：∵圆锥底面圆直径为， ∴底面圆的周长为， ∵母线长为， ∴侧面展开图的面积为. 36．如图，，则绕旋转一周得到的立体图形的表面积为______． 【答案】 【分析】根据题意得到旋转后底面圆的半径为，由此得到底面圆的周长，分别算出以为半径的扇形的面积，以为半径的扇形的面积，根据立体图形的表面积等于以为半径的扇形的面积与以为半径的扇形的面积和即可求解了． 【详解】解：∵绕旋转一周得到的立体图形为两个圆锥的组合体， ∴底面圆的半径为，则周长为， ∴以为半径的扇形的面积为， 以为半径的扇形的面积为， ∴旋转后立体图形的表面积为 ． 题型10 求圆锥底面半径 解题技巧（弧长等价、列方程求解） 1. 核心等量：圆锥底面周长 = 侧面扇形弧长； 2. 列等式：； 3. 化简求解：直接解出底面半径，快速出答案。 37．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 38．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先得到，然后求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 设圆锥的底面圆的半径为，则， 解得． 39．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【分析】扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，利用该等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为， ∵用扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴代入圆心角，扇形半径， 得方程， 解得， ∴这个圆锥的底面圆的半径为． 40．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：设， ∵圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴该圆锥的底面圆的周长为， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 题型11 求圆锥的高 解题技巧（勾股定理、立体转平面） 1. 固定模型：母线、底面半径、圆锥高构成直角三角形； 2. 公式：； 3. 解题顺序：先求母线、底面半径，再代入求高。 41．把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用半圆弧长等于圆锥底面周长的关系，先求出圆锥底面半径，再结合勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：∵半圆的半径， ∴半圆的弧长为， ∴圆锥的底面周长为 设圆锥底面半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高． 42．把一个半径为6的半圆围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的高是（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意得出圆锥的底面圆的周长为，确定底面圆的半径长为3，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，得圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为r，则， ∴，即底面圆的半径长为3， ∴圆锥的高为． 43．哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 即， 解得． 在中，， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以圆锥的高为． 44．将一个圆心角为，半径为9的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的高为________． 【答案】 【分析】扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先根据弧长公式求出圆锥底面圆的半径，再结合勾股定理，利用圆锥母线长等于扇形半径，计算得到圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，扇形的半径为，圆心角为， 由扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，列出关系式：， ，， ， 解得． 圆锥母线长等于扇形半径，即母线长为，底面圆半径为， 根据勾股定理得圆锥的高为：． 题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角 解题技巧（专用公式、一步速算） 1. 秒杀公式：； 2. 推导逻辑：由底面周长等于扇形弧长变形得出； 3. 校验范围：结果在0°~360°之间，符合扇形定义。 45．一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”，结合扇形弧长公式列方程求解圆心角度数． 【详解】解：圆锥底面半径，高， 由勾股定理得圆锥母线长． ∵圆锥底面圆周长，且圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长， 设扇形圆心角度数为， 则， 解得：， 即圆心角度数为． 46．圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的底面圆周长，扇形的圆心角，先求出圆锥的底面圆周长，再根据侧面展开图的弧长等于底面圆周长列出方程即可求解，掌握侧面展开图的弧长等于底面圆周长是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的底面直径是，, ∴圆锥的底面周长为， 设侧面展开图的圆心角的大小为，则， ∴， 故选：． 47．已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 【答案】120 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n度， ∵圆锥的底面半径为， ∴圆锥的底面周长为，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 则， 解得：． 48．已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 【答案】 /90度 【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用该关系列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面周长为： 根据弧长公式，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，可得： 解得 ∴它的侧面展开图的圆心角为． 解答题 49．用计算器计算： 在地面建立一个花坛，底部形状如图，它的外周由圆弧与正方形的三条边组成（如图的实线部分）．已知，正方形的面积为，求花坛底部的周长（结果保留三位有效数字）． 【答案】45.1m 【分析】首先根据正方形面积计算出边长，然后根据的角和两条半径构成等边三角形确定圆弧半径的长度，最后结合圆弧周长计算公式（n为圆弧所对圆心角，r为半径）和正方形三条边长进行求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形边长为m． ∵， ∴弧（优弧）所对圆心角为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴圆弧的半径m， ∴圆弧的长度， ∴花坛底部的周长m， 取，， 则m． 50．如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵直线经过上的点C，， ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线． (2) 【分析】（1）连接，三线合一得到，即可得出结论； （2）用直角三角形的面积减去扇形的面积即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积. 51．如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质，推出，得到，利用等边对等角得到，进而得到，即可； （2）连接，交于点，连接，交于点，分割法求阴影部分面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点，连接，交于点， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 52．剪纸是中国民间广为流传的非遗艺术，“风车”剪纸寓意“一帆风顺、四季平安”．下图为某同学设计的“吉祥风车”剪纸图案，风车的叶片由等腰直角三角形与半圆组合而成，半圆的直径为小的等腰直角三角形的直角边，如图，点的坐标为，点的坐标为，且点、分别为大的等腰直角三角形的斜边的中点，点为风车的中心． 请回答下列问题： (1)在图中画出平面直角坐标系，并写出风车上点的坐标； (2)求风车图案中半圆的总周长； (3)记在第一象限的风车叶片为第一片叶片，请描述风车的其他三片叶片可以由第一片叶片经过怎样的图形变化得到． 【答案】(1) 点C坐标为； (2)半圆的总周长为； (3)第二象限的叶片：将第一片叶片绕原点O逆时针旋转得到； 第三象限的叶片：将第一片叶片绕原点O旋转得到； 第四象限的叶片：将第一片叶片绕原点O顺时针旋转得到． 【分析】（1）根据点A、B的坐标建立直角坐标系即可，再根据三线合一的性质求解即可； （2）根据弧长公式求解即可； （3）根据旋转的性质说明即可． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 由题意得，点D为中点，且， 又∵为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：根据题意得，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴半圆的直径，即半径， ∴半圆的总周长为 ； （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $