第11讲正多边形和圆及圆的综合问题（知识点+题型精讲）2026年苏科版九年级数学上册暑假预习讲义

第11讲 正多边形和圆及圆的综合问题 目录 知识点1 正多边形的定义与圆的关系 2 知识点2 正多边形四大核心要素 2 知识点3 正多边形必考公式（正n边形，n≥3且为整数） 2 知识点4 正多边形对称性 3 知识点5 常见正多边形尺规作图 3 知识点6 圆综合核心基础 3 题型1 求正多边形的中心角 3 题型2 尺规作图——正多边形 6 题型3 已知正多边形的中心角求边数 13 题型4 圆内知识综合（圆的综合问题） 15 题型5 圆与三角形的综合 18 题型6 圆与四边形的综合 25 题型7 其他问题 29 1. 知识目标：掌握正多边形的定义、核心要素与性质，熟记正多边形角度、边长、面积计算公式，了解正多边形尺规作图方法，熟练掌握圆与多边形、三角形的综合考点。 2. 能力目标：能精准计算正多边形中心角、边数，掌握基础尺规作图技巧，可独立解决圆的单知识点综合、圆与三角、四边形综合题型。 3. 素养目标：建立圆与正多边形的数形结合思维，掌握圆类几何辅助线做法，提升几何计算、推理证明与综合解题能力。 知识点1 正多边形的定义与圆的关系 各边相等、各内角相等的多边形叫做正多边形。把一个圆n等分，依次连接各等分点可得到圆的内接正n边形；任意正多边形都有唯一的外接圆和内切圆，且两圆为同心圆。 知识点2 正多边形四大核心要素 1. 中心：正多边形外接圆的圆心； 2. 半径：正多边形外接圆的半径； 3. 边心距：中心到正多边形任意一边的距离（内切圆半径）； 4. 中心角：正多边形每一条边所对的外接圆圆心角。 知识点3 正多边形必考公式（正n边形，n≥3且为整数） 计算类型 核心公式 中心角 单个内角度数 单个外角度数 正多边形面积 知识点4 正多边形对称性 1. 任意正n边形都是轴对称图形，共有n条对称轴，所有对称轴均过图形中心； 2. 边数为偶数的正多边形，同时是中心对称图形，对称中心为图形中心； 3. 边数为奇数的正多边形，仅为轴对称图形，无中心对称性。 知识点5 常见正多边形尺规作图 可直接尺规作图的正多边形：正四边形（正方形）、正六边形、正八边形、正十二边形等；核心原理：利用圆的等分、垂直平分线、60°、90°特殊圆心角作图。 　 知识点6 圆综合核心基础 圆的综合题核心依托：垂径定理、圆周角定理、切线判定与性质、切线长定理、圆内接多边形性质，结合三角形、四边形边角性质、全等、相似求解。 题型1 求正多边形的中心角 解题技巧（套公式、直接速算） 1. 万能公式：正n边形中心角=，n为正多边形边数； 2. 基础速算：已知边数直接代入公式，一步算出角度； 3. 关联计算：中心角与外角大小相等，可互相转化求解； 4. 拓展应用：结合半径、弦长，利用中心角构造等腰三角形求边长。 1．下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的旋转对称性，正边形绕中心旋转的整数倍能与自身重合，分别计算各选项图形的最小旋转角进行判断即可． 【详解】解：A． 正三角形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； B． 正方形，，最小旋转角为，是的整数倍，能重合； C． 正五边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； D． 正六边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合． 2．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 3．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 4．拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为，即可求解． 【详解】解：∵ 俯视图呈正八边形， ∴ 正八边形的中心角为 ， 即 ， ∵ 是由 绕着点按逆时针方向旋转得到的， ∴ 线段 旋转后的对应线段为 ，线段旋转后的对应线段为， ∴ 旋转角为， ∴ 旋转角 ． 题型2 尺规作图——正多边形 解题技巧（定圆、等分、连线成型） 1. 通用步骤：先画外接圆→精准等分圆周→依次连接等分点，得到正多边形； 2. 正四边形作图：作圆的两条互相垂直的直径，连接四个端点； 3. 正六边形作图：以圆半径为长度，六等分圆周，顺次连接等分点； 4. 作图规范：保留作图痕迹（圆弧、垂线、等分线），不擦除辅助线。 5．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 6．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____． 【答案】． 【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可． 【详解】连接OD,OC,OE, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠COD=∠DOE==45°, ∴∠COE=45°+45°=90°, ∴∠CPE=∠COE =45°. 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键． 7．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 【详解】略 8．阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【答案】(1)（答案不唯一，合理即可） (2)． 理由如下： ∵正八边形的内角和是， ∴， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵八边形是正八边形， ∴． 在与中， ∴， ∴． 设． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 在中，， ∴， ∴． ∴． (3)如图，八边形即为所作．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据点，由旋转对称性作图得到，得出，即可求解． （2）根据多边形内角和定理求得，进而可得，根据四边形是正方形，得出，根据正八边形得出，证明得出，设，解直角三角形得出，则在中，根据，得出，即可证明． （3）根据正方形的性质和正八边形的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一，合理即可） ∵，且点，由旋转对称性作图得到， ∴对角线经过正方形内嵌正八边形的顶点和， ∴． （2）略 （3）略 题型3 已知正多边形的中心角求边数 解题技巧（逆用公式、整数校验） 1. 公式逆推：由，变形得边数 ； 2. 代入计算：将已知中心角度数代入，算出边数； 3. 硬性校验：正多边形边数n为≥3的正整数，非整数结果舍去； 4. 拓展延伸：可结合外角度数，同理逆求多边形边数。 9．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 10．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用正多边形中心角与边长的关系，当正多边形的边长与外接圆半径相等时，中心角对应的三角形为等边三角形，中心角为，从而边数为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设正多边形中心为，相邻顶点，（外接圆半径），（边长），且， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正多边形的边数， 故选：． 11．如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 12．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______． 【答案】10 【分析】用除以单个中心角的度数即可得到正多边形的边数． 【详解】解：根据正多边形中心角与边数的关系，得： 该正多边形的边数为：． 题型4 圆内知识综合（圆的综合问题） 解题技巧（定理串联、倒角转化、模型套用） 1. 核心串联：整合垂径定理、圆周角定理、切线性质、圆心角弧弦关系； 2. 角度解题：优先倒角，利用等弧对等角、直径出直角、切线垂直半径等性质转化角度； 3. 长度解题：遇弦作垂线，构造半径、弦心距、半弦长直角三角形，勾股求解； 4. 解题逻辑：先定模型、再用定理、最后计算证明，分步拆解复杂题干。 13．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 14．若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用正六边形的性质，可得正六边形的边长等于其外接圆的半径，再结合圆的面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵正六边形的中心角为， ∴外接圆的圆心与正六边形任意两个相邻顶点构成顶角为的等腰三角形，该三角形为等边三角形， ∴外接圆的半径等于正六边形的边长， ∵正六边形边长为， ∴， ∴外接圆的面积． 15．在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 【答案】 （答案不唯一，均正确） 【分析】要在正十二边形中顺次连接顶点构成正边形，必须是的不小于的正约数，据此解答即可． 【详解】解：要使得取出的顶点构成正多边形，顶点个数需要是的正因数且大于等于， 因为的正因数中大于等于的有，，，，所以，任取一个即可，这里取． 16．蜜蜂的蜂巢结构非常精巧，其横截面均为正六边形（如图1）．图2是由个相同的正六边形组成的一部分蜂巢巢房，每个正六边形的边长都为，正六边形的顶点为“格点”，若将图中其他格点到格点的距离记为，则当时，图中满足条件的格点数为，分别为点，当时，图中满足条件的格点共有________个． 【答案】 【分析】分别以为圆心，以不同格点到点的距离的长度为半径作圆，找到所有满足条件的格点数即可． 【详解】解：如图，当时，以为圆心，以的长度为半径作圆，满足条件的格点数为，分别为点， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（包括点）， ∵图中为个相同的正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴不满足题意， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（包括点）， ∵图中为个相同的正六边形， ∴， ∵， ∴不满足题意， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（包括点）， 过点作于点， ∵图中为个相同的正六边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，满足题意， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（包括点）， ∴， ∵， ∴满足题意， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（点）， ∵图中为个相同的正六边形， ∴， ∵， ∴，满足题意， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（点）， ∵图中为个相同的正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴，不满足题意， 综上所述，满足条件的格点有个. 题型5 圆与三角形的综合 解题技巧（圆三角结合、性质叠加、边角互求） 1. 直角三角形+圆：直径对直角、90°圆周角对直径，优先构造直角三角形； 2. 等腰三角形+圆：圆半径相等，天然构成等腰三角形，利用等边对等角倒角； 3. 内切外接：外接圆圆心为外心（垂直平分线交点），内切圆圆心为内心（角平分线交点）； 4. 综合推导：结合三角形内角和、全等、勾股定理，求解边长与角度。 17．如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．    (1)求证：A，，，四点共圆； (2)求证：为定值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出为中点，求出，证明，得出为等腰三角形，得出，求出，即可证明结论； （2）先证明，再根据，证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ， 为等腰三角形，， 又∵， ∴为中点， ∴垂直平分， ， ∴， ， 又， 为等腰三角形， ， ∴， ∴A，，，四点共圆；（若共底边的两个三角形的顶角相等，且在底边的同侧，则四点共圆） （2）证明：由（1）知：A，，，四点共圆， （同弧所对的圆周角相等） 又， 为等腰三角形 ， ∴， 又（公共角）， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了四点共圆，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质和判定，数形结合． 18．乒乓球台（如图①）的支架可近似看成圆弧，其示意图如图②，与所在的直线过弧所在圆的圆心，直线与弧所在的圆相切于点G，连接，，且，． (1)求证：； (2)若弓形的高为，，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长，交于点O，则点O是弧所在圆的圆心，连接，先证，得到，，再根据圆的基本性质和等腰三角形性质得出即可证明结果； （2）连接，设与交于点H，根据的正切值求出半径的长，从而得到的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，延长，交于点O，则点O是弧所在圆的圆心，连接， ∵直线与圆O相切于点G， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图，连接，设与交于点H， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，，弓形高， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质判定，解直角三角函数，勾股定理等知识点，正确作出辅助线确定圆心位置是解题的关键． 19．已知：内接于⊙O，弦AF平分，连接OF交BC于G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点B作于点T，BT延长线交AC于点E，若，求证：为等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，在⊙O上再取D、N两点，连接AD、BN交于点H，连接HE，若HE平分，，，求⊙O的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接OB、OC，根据角平分线的性质和圆周角定理计算即可； （2）先证明，得到，求出，得到，进而求出，即可得解； （3）作于点M，于点Q，HE平分，证明，，设，，作于K则，作直径AP，连BP则，，根据正弦定理求解即可； 【详解】（1）证明：连接OB、OC， ∵AF平分， ∴， ∵、， ∴， 又∵， ∴，即； （2）证明：∵AF平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵又， ∴是等边三角形； （3）作于点M，于点Q，HE平分， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，证， ∴， 设，，作于K则 ∴，，， ∴∴， 作直径AP，连BP则，∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，准确计算是解题的关键． 题型6 圆与四边形的综合 解题技巧（内接四边形、对角互补、模型转化） 1. 圆内接四边形：核心性质对角互补、外角等于内对角，快速倒角； 2. 特殊四边形：正多边形、矩形、正方形内接圆，利用边长、角度特殊性匹配圆性质； 3. 切线四边形：结合切线长定理，得到等长线段、等角，求解周长、角度； 4. 面积计算：分割图形，转化为三角形、扇形、四边形面积加减求解。 20．定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）4；（2）；（3）4或 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，角平分线的定义、性质与判定，四点共圆的判定，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，能结合图形做出适当的辅助线，能推出四点共圆是解题的关键； （1）过点P作于D，交延长线于点E，先确定的最小值为，再利用矩形的判定与性质，勾股定理求解； （2）先利用角平分线的定义和三角形的外角知识推出，再利用角平分线的性质和判定，推出平分，再求解即可； （3）根据为等腰三角形时，分或或讨论，利用，，推出四点共圆，再利用圆周角定理，勾股定理求解，综合可得结果； 【详解】（1）如图①，过点P作于D，交延长线于点E， 则， ， 当A与E重合，C与D重合时，有最小值； ， ， 四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， 由勾股定理得， ，解得， ， 的最小值为4． （2）平分， ， 平分， ， 又，， ， ， ， 如图2，过点P作于E，于F，交延长线于G， 平分， ， 同理可证， ， 平分， ，， ． （3）当为等腰三角形时，或或， 点O在上，， 当时，如图③， 平分，， ， 又， 四点共圆， ， ， ， ， ， ； 当时，如图④，过点A作于M， 同理可证四点共圆， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， 在中，， ， ， ， 由解得， ， 综上可知，线段的长为4或． 题型7 其他问题 解题技巧（抓核心、拆题型、稳验算） 1. 通用思路：复杂题型拆解为正多边形计算、圆的基础性质、几何图形综合三类基础问题； 2. 最值问题：依托圆上动点最值模型、垂线段最短求解； 3. 规律问题：利用正多边形等分圆的规律，推导角度、边长变化规律； 4. 解题原则：先判图形性质、再套公式定理、最后验算结果是否符合几何常识。 21．如图，在中，，点O是的三等分点，半圆O与相切，M，N分别是与半圆弧上的动点，则的最小值和最大值之和是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】设半圆O与相切于点D，连接OD，作，垂足为P，交半圆O于F，此时，垂线段OP最短，MN最小值为，点N 在AB边上时，M与B重合，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN的最大值，即可求解． 【详解】解：如图，设半圆O与相切于点D，连接OD，作，垂足为P，交半圆O于F 此时，垂线段OP最短，MN的最小值为OP-OF 又 同理可得， 点O是的三等分点 ，， ， 最小值为 如图，当点N 在AB边上时，M与B重合，MN经过圆心，经过圆心的弦最长 MN的最大值 的最小值和最大值之和为 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定及性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 22．如图，A为上一动点，D为圆外一点，AD交于点B，OD交于点C，延长DO交于点E． (1)若，B恰为AD的中点，则OD的长为________． (2)若，则的度数为________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，三角形外角和及圆内三角形的综合运用等，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边中线定理可求的长，根据半径相等求得，进而根据勾股定理即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，设未知数x表示，根据三角形外角和定理可得从而求解。 【详解】（1）解：如图①，连接OB． ，B为AD的中点， ．又． 在中，由勾股定理，得． 故答案为：． （2）如图②，连接OB． ， 和均为等腰三角形．设，则，， 解得，即． 故答案为：． 23．如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 24．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线 (2)3 【分析】（1）连接，因为，所以对应的圆周角相等，可推出与的平行关系；又因为，所以，结合是半径，根据切线判定定理即可证明； （2）设半径为，则，因为，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：设的半径为r，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 25．如图，在正方形中，，以边为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，四边形为矩形，，所以当最小时，即三点共线时，最小，利用勾股定理进行计算，即可得解． 【详解】解：连接 ∵四边形为正方形，，为圆O直径， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵ ∴当三点共线时，最小， 则：， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查圆上的动点问题．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．同时考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，是一道综合题． 26．如图，已知为四边形的内接圆，恰好与三条边相切，半径为，为四边形的外接圆，半径为，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】如图，不妨设与四边形三边分别相切于E、F、H，连接，延长交于点，连接，，证明四边形是等腰梯形，，，可得是等腰三角形．证明共线，故只需求的范围，考虑下面两种极端情况：当C、D、G重合于一点G时，当与平行时，同理可得等腰梯形是正方形，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，不妨设与四边形三边分别相切于E、F、H，连接，延长交于点，连接，， ，，，，且， ，， ∴， ∴， ∴，而不平行， ∴四边形是等腰梯形，，， ∴，， ∴是等腰三角形． ∴，而，， ∴共线， 而，， 故只需求的范围，考虑下面两种极端情况： 当C、D、G重合于一点G时， ∵，， ∴结合勾股定理可得， ∴， ∴是等边三角形， 此时； 当与平行时，同理可得等腰梯形是正方形， 此时． 又以上两种极限情况均取不到，所以． 故答案为： 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，垂径定理的应用，切线的性质，切线长定理的应用，正方形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 27．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长。 (4)试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 (3) (4) 【分析】本题考查圆与几何的综合，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线的判定，勾股定理的运用，三线合一，矩形的判定和性质，即可． （1）连接，根据角平分线的性质，则，根据等边对等角，等量代换，则，根据平行线的性质，直角三角形的性质，则，即可； （2）连接，根据题意，则，，设的半径为，得到，，根据勾股定理，则，求出，即可； （3）过点作交于点，根据矩形的判定和性质，则四边形是矩形，，根据等腰三角形三线合一，勾股定理求出，即可； （4）由（3）得，四边形是矩形，，，根据圆的性质，则为的直径，，等量代换，则，根据，即可． 【详解】（1）证明如下： 连接， ∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∵平分交边于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的切线． （2）解：连接， ∵点、的坐标分别为，， ∴，， 设的半径为， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． （3）解：过点作交于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． （4），证明如下： 由（3）得，四边形是矩形，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有． (2)如图，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“ ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． 【答案】(1)①×；②√；③√ (2)①外接型单圆； ②证明∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即和均为半圆， ∴是的直径． 【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四边形无外接圆，也无内切圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质可判断③； （2）①根据已知结合题中定义可得结论； ②根据角平分线的定义和圆周角定理证明即可证得结论； 【详解】（1）解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等； ①当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆， ∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误； ②∵内角不等于的菱形的对角不互补， ∴该菱形无外接圆， ∵菱形的四条边都相等， ∴该菱形的对边之和相等， ∴该菱形有内切圆， ∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确； ③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即； 故③正确； （2）解：①若四边形中有内切圆，则，这与矛盾， ∴四边形无内切圆， 又∵该四边形有外接圆， ∴该四边形是“外接型单圆”四边形， ②略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 正多边形和圆及圆的综合问题 目录 知识点1 正多边形的定义与圆的关系 2 知识点2 正多边形四大核心要素 2 知识点3 正多边形必考公式（正n边形，n≥3且为整数） 2 知识点4 正多边形对称性 3 知识点5 常见正多边形尺规作图 3 知识点6 圆综合核心基础 3 题型1 求正多边形的中心角 3 题型2 尺规作图——正多边形 4 题型3 已知正多边形的中心角求边数 7 题型4 圆内知识综合（圆的综合问题） 8 题型5 圆与三角形的综合 9 题型6 圆与四边形的综合 11 题型7 其他问题 11 1. 知识目标：掌握正多边形的定义、核心要素与性质，熟记正多边形角度、边长、面积计算公式，了解正多边形尺规作图方法，熟练掌握圆与多边形、三角形的综合考点。 2. 能力目标：能精准计算正多边形中心角、边数，掌握基础尺规作图技巧，可独立解决圆的单知识点综合、圆与三角、四边形综合题型。 3. 素养目标：建立圆与正多边形的数形结合思维，掌握圆类几何辅助线做法，提升几何计算、推理证明与综合解题能力。 知识点1 正多边形的定义与圆的关系 各边相等、各内角相等的多边形叫做正多边形。把一个圆n等分，依次连接各等分点可得到圆的内接正n边形；任意正多边形都有唯一的外接圆和内切圆，且两圆为同心圆。 知识点2 正多边形四大核心要素 1. 中心：正多边形外接圆的圆心； 2. 半径：正多边形外接圆的半径； 3. 边心距：中心到正多边形任意一边的距离（内切圆半径）； 4. 中心角：正多边形每一条边所对的外接圆圆心角。 知识点3 正多边形必考公式（正n边形，n≥3且为整数） 计算类型 核心公式 中心角 单个内角度数 单个外角度数 正多边形面积 知识点4 正多边形对称性 1. 任意正n边形都是轴对称图形，共有n条对称轴，所有对称轴均过图形中心； 2. 边数为偶数的正多边形，同时是中心对称图形，对称中心为图形中心； 3. 边数为奇数的正多边形，仅为轴对称图形，无中心对称性。 知识点5 常见正多边形尺规作图 可直接尺规作图的正多边形：正四边形（正方形）、正六边形、正八边形、正十二边形等；核心原理：利用圆的等分、垂直平分线、60°、90°特殊圆心角作图。 　 知识点6 圆综合核心基础 圆的综合题核心依托：垂径定理、圆周角定理、切线判定与性质、切线长定理、圆内接多边形性质，结合三角形、四边形边角性质、全等、相似求解。 题型1 求正多边形的中心角 解题技巧（套公式、直接速算） 1. 万能公式：正n边形中心角=，n为正多边形边数； 2. 基础速算：已知边数直接代入公式，一步算出角度； 3. 关联计算：中心角与外角大小相等，可互相转化求解； 4. 拓展应用：结合半径、弦长，利用中心角构造等腰三角形求边长。 1．下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 2．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 4．拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 题型2 尺规作图——正多边形 解题技巧（定圆、等分、连线成型） 1. 通用步骤：先画外接圆→精准等分圆周→依次连接等分点，得到正多边形； 2. 正四边形作图：作圆的两条互相垂直的直径，连接四个端点； 3. 正六边形作图：以圆半径为长度，六等分圆周，顺次连接等分点； 4. 作图规范：保留作图痕迹（圆弧、垂线、等分线），不擦除辅助线。 5．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____． 7．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 8．阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 题型3 已知正多边形的中心角求边数 解题技巧（逆用公式、整数校验） 1. 公式逆推：由，变形得边数 ； 2. 代入计算：将已知中心角度数代入，算出边数； 3. 硬性校验：正多边形边数n为≥3的正整数，非整数结果舍去； 4. 拓展延伸：可结合外角度数，同理逆求多边形边数。 9．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 10．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 12．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______． 题型4 圆内知识综合（圆的综合问题） 解题技巧（定理串联、倒角转化、模型套用） 1. 核心串联：整合垂径定理、圆周角定理、切线性质、圆心角弧弦关系； 2. 角度解题：优先倒角，利用等弧对等角、直径出直角、切线垂直半径等性质转化角度； 3. 长度解题：遇弦作垂线，构造半径、弦心距、半弦长直角三角形，勾股求解； 4. 解题逻辑：先定模型、再用定理、最后计算证明，分步拆解复杂题干。 13．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（     ） A． B． C． D． 15．在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 16．蜜蜂的蜂巢结构非常精巧，其横截面均为正六边形（如图1）．图2是由个相同的正六边形组成的一部分蜂巢巢房，每个正六边形的边长都为，正六边形的顶点为“格点”，若将图中其他格点到格点的距离记为，则当时，图中满足条件的格点数为，分别为点，当时，图中满足条件的格点共有________个． 题型5 圆与三角形的综合 解题技巧（圆三角结合、性质叠加、边角互求） 1. 直角三角形+圆：直径对直角、90°圆周角对直径，优先构造直角三角形； 2. 等腰三角形+圆：圆半径相等，天然构成等腰三角形，利用等边对等角倒角； 3. 内切外接：外接圆圆心为外心（垂直平分线交点），内切圆圆心为内心（角平分线交点）； 4. 综合推导：结合三角形内角和、全等、勾股定理，求解边长与角度。 17．如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．    (1)求证：A，，，四点共圆； (2)求证：为定值． 18．乒乓球台（如图①）的支架可近似看成圆弧，其示意图如图②，与所在的直线过弧所在圆的圆心，直线与弧所在的圆相切于点G，连接，，且，． (1)求证：； (2)若弓形的高为，，且，求的长． 19．已知：内接于⊙O，弦AF平分，连接OF交BC于G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点B作于点T，BT延长线交AC于点E，若，求证：为等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，在⊙O上再取D、N两点，连接AD、BN交于点H，连接HE，若HE平分，，，求⊙O的半径． 题型6 圆与四边形的综合 解题技巧（内接四边形、对角互补、模型转化） 1. 圆内接四边形：核心性质对角互补、外角等于内对角，快速倒角； 2. 特殊四边形：正多边形、矩形、正方形内接圆，利用边长、角度特殊性匹配圆性质； 3. 切线四边形：结合切线长定理，得到等长线段、等角，求解周长、角度； 4. 面积计算：分割图形，转化为三角形、扇形、四边形面积加减求解。 20．定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 题型7 其他问题 解题技巧（抓核心、拆题型、稳验算） 1. 通用思路：复杂题型拆解为正多边形计算、圆的基础性质、几何图形综合三类基础问题； 2. 最值问题：依托圆上动点最值模型、垂线段最短求解； 3. 规律问题：利用正多边形等分圆的规律，推导角度、边长变化规律； 4. 解题原则：先判图形性质、再套公式定理、最后验算结果是否符合几何常识。 21．如图，在中，，点O是的三等分点，半圆O与相切，M，N分别是与半圆弧上的动点，则的最小值和最大值之和是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 22．如图，A为上一动点，D为圆外一点，AD交于点B，OD交于点C，延长DO交于点E． (1)若，B恰为AD的中点，则OD的长为________． (2)若，则的度数为________． 23．如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 24．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 25．如图，在正方形中，，以边为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 26．如图，已知为四边形的内接圆，恰好与三条边相切，半径为，为四边形的外接圆，半径为，则的取值范围为__________． 27．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长。 (4)试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 28．对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有． (2)如图，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“ ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $