第8章 第4讲 直线、圆的几何性质(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与圆的几何性质，覆盖切线、弦长、最值及轨迹问题等核心考点，按题型分考向系统梳理知识，通过考点解析、方法总结（如切线求法、弦长公式）、真题训练（含邯郸模拟、天津卷等实例）帮助学生构建解题框架，突破重点难点。 讲义突出几何直观与代数运算结合的教学策略，如利用圆心距与半径关系求切线长、通过函数建模解决最值问题，培养学生数学思维与模型意识。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第4讲　直线、圆的几何性质 课标要求　1.能解决与圆有关的切线、弦长、最值问题．　2.通过求与圆有关的轨迹问题，体会求轨迹方程的一般方法． 题型一　圆的切线与弦长问题 考向1　切线问题 [例1] (1)（多选）（2026·邯郸模拟）已知直线l过点(2，1)，且直线l与圆C：x2＋y2－2x＋2y－2＝0相切，则直线l的方程可能是(　　) A．y＝1 B．x＝2 C．4x＋3y－11＝0 D．3x－4y－2＝0 (2)设P是直线l：x＋y＋2＝0上的动点，过点P作圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝9的切线，则切线长的最小值为　　　　Ｗ． 【解析】　(1)圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4的圆心C(1，－1)，半径r＝2， 当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝2，点C到直线x＝2的距离为1，不符合题意． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0， 由直线l与圆C相切得＝2，解得k＝0或k＝－，所以直线l的方程为y＝1或4x＋3y－11＝0. (2)设切点为A，则|PA|2＝|PC|2－9，而|PC|的最小值为点C到直线l的距离，即＝3，则|PA|的最小值为＝3，故切线长的最小值为3. 【答案】　(1)AC　(2)3 【素养小结】　求过某点的圆的切线的方法 (1)确定点与圆的位置关系，再求切线方程． (2)若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条．求圆的切线问题主要是利用圆心到切点的距离等于半径以及圆心与切点的连线垂直于切线，建立函数关系加以解决． 提醒　(1)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)·(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 易错点　设切线方程时，易忽略斜率不存在的情况． 考向2　弦长问题 [例2] (1)已知直线l：(m－2)x＋y－4m＋5＝0，圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长|MN|的最小值为(　　) A．2 B． C． D．2 (2)（2025·天津卷）已知直线l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2交于C，D两点．若|AB|＝3|CD|，则r＝　　　　Ｗ． 【解析】　(1)由题知l：(m－2)x＋y－4m＋5＝0，即l：(x－4)m＋y－2x＋5＝0， 令得所以直线l过定点(4，3)， 圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9， 所以(4－3)2＋(3－2)2＝2＜9，即定点(4，3)在圆C内，且圆心C(3，2)，半径为3， 所以定点(4，3)与圆心(3，2)的距离d＝， 要使|MN|最小，即定点与圆心所在直线与l垂直，此时|MN|＝2×＝2. (2) 如图，设圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的圆心为E，则点E(－1，3)到直线AB的距离d＝＝. 易知|AB|＝6，又|AB|＝3|CD|， 则|CD|＝2， 所以r2＝d2＋（）2＝2＋2＝4， 解得r＝2（负值已舍去）. 【答案】　(1)D　(2)2 【素养小结】　弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长l＝2. [对点训练] 1.（2026·石家庄模拟）若圆M：(x－1)2＋(y－m)2＝25被直线3x－4y－7＝0所截得的弦长为10，过点P(－7，5)作圆M的切线，其中一个切点为A，则|PA|的值为　　　　Ｗ． 解析：由弦长为10，圆M的直径为2×5＝10，得直线3x－4y－7＝0过圆心M(1，m)，代入得3－4m－7＝0，解得m＝－1，所以M(1，－1)，又点P(－7，5)，可得|PM|＝＝10，所以|PA|＝＝＝5. 答案：5 2.如图，圆O：x2＋y2＝1，A为直线l：x＋y＝2上一动点，过点A向圆O引两条切线AP，AQ，切点分别为P，Q，则线段PQ长度的最小值为　　　　Ｗ． 解析：由切线长定理可得|AP|＝|AQ|，又因为|OP|＝|OQ|，|OA|＝|OA|， 则△OAP≌△OAQ，所以∠OAP＝∠OAQ，所以OA⊥PQ， 则四边形OPAQ的面积为S＝2×|OP|×|AP|＝|OA|×|PQ|， 所以|PQ|＝. 在Rt△OPA中，|AP|＝， 代入整理得|PQ|＝＝2， 要使线段PQ的长度最小，只需使线段OA的长度最小，故当且仅当OA⊥l时，即|OA|为圆心O到直线l：x＋y＝2的距离时，|PQ|最小，此时|OA|min＝＝， 则|PQ|min＝2＝. 答案： 题型二　与圆有关的最值问题 考向1　借助几何性质求最值 [例3] 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3). (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋10x＋y2的最小值． 【解】　(1) 圆C化为标准方程为(x－2)2＋(y－7)2＝8，圆心为C(2，7)，半径r＝2. 易知＝kMQ，由图形知当MQ与圆C相切时取得最值，如图1所示． 可设lMQ：y＝k(x＋2)＋3，则圆心C(2，7)到直线MQ的距离为＝2，解得k＝2±，故的最大值为2＋，最小值为2－. (2)设y－x＝z，如图2所示，z即为过点M的直线y－x＝z在y轴上的截距，当该直线与圆C相切时截距取得最值．圆心C(2，7)到该直线的距离为＝2，解得z＝1或z＝9，故y－x的最大值为9，最小值为1. (3) x2＋10x＋y2＝(x＋5)2＋y2－25. 设d＝，则d可以看作圆C上的动点M(x，y)到定点N(－5，0)的距离，由图3可知 dmin＝|NC|－r ＝－2＝5， 所以d＝50，d－25＝25， 即x2＋10x＋y2的最小值为25. 【素养小结】　把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见： (1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题． 考向2　建立函数关系求最值 [例4] 过圆C：(x－3)2＋y2＝4外一动点P(t2，2t)作该圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为　　　　Ｗ． 【解析】　由题意知圆C：(x－3)2＋y2＝4的圆心为C(3，0)，半径为2， 如图，PA⊥AC，PB⊥BC，则S四边形PACB＝2×|PA|·|AC|＝2|PA|， 而|PA|＝＝ ，当|PC|最小时，|PA|最小，则S四边形PACB最小． 动点P(t2，2t)在圆外，所以(t2－3)2＋(2t)2＞4，整理得(t2－1)2＋4＞0恒成立， 则|PC|＝ ＝＝， 当t2＝1时，(t2－1)2＋8取最小值8，即|PC|取到最小值2， 则|PA|＝的最小值为2，故S四边形PACB＝2|PA|的最小值为4. 【答案】　4 【素养小结】　根据题目条件列出关于所求目标的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用二次函数或基本不等式等方法求解． [对点训练] 1.长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线3x－4y－10＝0距离的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.设A(m，0)，B(0，n)，由题意可得，m2＋n2＝4，设AB中点的坐标为(x，y)，则即 所以(2x)2＋(2y)2＝4，即x2＋y2＝1，即线段AB的中点的轨迹是以(0，0)为圆心，1为半径的圆，圆心到直线3x－4y－10＝0的距离为＝2，所以线段AB的中点到直线3x－4y－10＝0距离的最大值为2＋1＝3. 2.（2026·聊城模拟）已知M是直线l：x＋y－8＝0上一点，过点M作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为P，Q，则△OPQ面积的最大值为(　　) A． B．2 C．1 D．2 解析：选A.因为圆心O到直线l：x＋y－8＝0的距离d＝＝4，所以|OM|≥4， 设∠MOQ＝θ，cos θ＝＝≤，所以≤θ＜，≤2θ＜π，所以sin 2θ≤，则S△OPQ＝|OP|×|OQ|×sin 2θ≤×2×2×＝. 题型三　与圆有关的轨迹问题 [例5] 已知线段AB的端点B的坐标是(2，1)，端点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程； (2)在(1)的条件下，设圆C1与曲线C2的交点为M，N，求线段MN的长． 【解】　(1)设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)， 由于点B的坐标为(2，1)，且点P是线段AB的中点，所以x＝，y＝， 于是有① 因为点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动，所以(x0－4)2＋(y0－3)2＝4，② 把①代入②，得(2x－2－4)2＋(2y－1－3)2＝4，整理得(x－3)2＋(y－2)2＝1， 所以点P的轨迹C2的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1. (2)将圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝1的方程相减，得 2x＋2y－9＝0， 由圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C2(3，2)，半径为1，且点C2(3，2)到直线2x＋2y－9＝0的距离d＝＝， 则|MN|＝2＝. 【素养小结】　求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件列方程． (2)定义法：根据圆的定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． [对点训练] 已知圆C1：x2＋y2＝1，P为圆C1外的动点．过点P作圆C1的切线，切点为A，B，满足∠APB＝.记动点P的轨迹为C2. (1)求C2的方程； (2)设点M为直线y＝x－3上的一点．过点M作轨迹C2的两条切线，切点为Q，R. 证明：直线QR过定点． 解：(1)连接AC1，C1P（图略），则△AC1P为直角三角形，且∠APC1＝. 则|C1P|＝2|AC1|＝2，所以点P在以C1为圆心，半径为2的圆上．所以C2的方程为x2＋y2＝4. (2)证明：由(1)知C2(0，0)，设点M(x1，x1－3).以C2M为直径的圆的方程为(x－x1)x＋[y－(x1－3)]y＝0， 即x2－x1x＋y2－x1y＋3y＝0. 以C2M为直径的圆与圆C2的方程相减，即为直线QR的方程，即QR：x1x＋x1y－3y＝4，整理得x1(x＋y)－(3y＋4)＝0. 令解得 所以直线QR过定点. 1.阿波罗尼斯圆的定义 在平面上给定两点A，B，设点P与A，B在同一平面上且满足＝λ，当λ＞0且λ≠1时，点P的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（λ＝1时，点P的轨迹是线段AB的中垂线） 2.阿波罗尼斯圆的证明 设P(x，y)，A(－a，0)，B(a，0).若＝λ（λ＞0且λ≠1），则点P的轨迹方程是＋y2＝，其轨迹是以为圆心，半径为r＝的圆． 证明：由|PA|＝λ|PB|及两点间距离公式，可得(x＋a)2＋y2＝λ2[(x－a)2＋y2]， 化简可得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋2(1＋λ2)ax＋(1－λ2)a2＝0①， 当λ＝1时，得x＝0，此时动点P的轨迹是线段AB的垂直平分线； 当λ≠1时，方程①两边都除以1－λ2得x2＋y2＋＋a2＝0， 化为标准形式即为＋y2＝，所以点P的轨迹方程是以为圆心，半径为r＝的圆． [典例] （多选）在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足＝.设点P的轨迹为曲线C，则下列说法正确的是(　　) A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16 B．当A，B，P三点不共线时，△PAB面积的最大值是12 C．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA| D．若D(2，2)，则|PB|＋2|PD|的最小值为4 【解析】　对于A，设P(x，y)，由＝，得＝，化简得(x＋4)2＋y2＝16，故A正确； 对于B，当点P到x轴距离最大时，△PAB的面积最大，所以△PAB面积的最大值是S＝×6×4＝12，故B正确； 对于C，设M(x1，y1)，则＝2，化简得＋y＝，因为＝＜4－，所以C上不存在点M，使得|MO|＝2|MA|，故C错误； 对于D，因为＝，所以|PB|＝2|PA|，所以|PB|＋2|PD|＝2|PA|＋2|PD|≥2|AD|＝4，当且仅当P为线段AD与曲线C的交点时，等号成立，故D正确． 【答案】　ABD 【素养小结】　此类问题中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化发现圆（或圆的方程），从而最终利用圆的知识来求解． [尝试训练] 1.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满足＝2，则动点P的轨迹与圆(x－2)2＋y2＝2的位置关系是(　　) A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 解析：选A.由条件可知，＝2，化简为(x＋1)2＋y2＝4，动点P的轨迹是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆，圆(x－2)2＋y2＝2是以(2，0)为圆心，为半径的圆，两圆圆心间的距离d＝3.因为|2－|＜d＜2＋，所以两圆相交． 2.已知平面内有两点A(－1，0)和B(2，1)，且该平面内的点P满足|PA|＝|PB|，若点P的轨迹关于直线mx＋ny－2＝0(m＞0，n＞0)对称，则m与n之间的关系式为　　　　Ｗ． 解析：设P(x，y)，因为A(－1，0)和B(2，1)，且该平面内的点P满足|PA|＝|PB|， 所以|PA|2＝2|PB|2， 所以(x＋1)2＋y2＝2[(x－2)2＋(y－1)2]，化简可得(x－5)2＋(y－2)2＝20，所以点P的轨迹方程为(x－5)2＋(y－2)2＝20， 因为点P的轨迹关于直线mx＋ny－2＝0(m＞0，n＞0)对称，所以圆心(5，2)在该直线上，所以5m＋2n＝2. 答案：5m＋2n＝2 学科网（北京）股份有限公司 $