第8章 第3讲 圆的方程及位置关系(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学讲义聚焦圆的方程及位置关系高考核心考点，涵盖圆的定义、标准与一般方程，直线与圆、圆与圆位置关系判定，按“定义-方程-位置关系”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导（如待定系数法、几何法）、真题训练（含模拟题与改编题），帮助学生系统突破难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用结论总结（如圆系方程）与多法解题（例2几何法、代数法对比），设计“题型讲解+素养小结+分层训练”教学活动，如用圆系方程模型快速求过交点的圆方程，培养模型观念与推理能力。分层练习覆盖基础到综合，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第3讲　圆的方程及位置关系 课标要求　1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．　2.能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． 1．圆的定义及方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心C(－，－) 半径r＝ 提醒　当D2＋E2－4F>0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0时，此方程表示一个点(－，－)；当D2＋E2－4F<0时，它不表示任何图形． 2．直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 3.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d＞r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| (r1≠r2) 内含 0≤d＜|r1－r2| (r1≠r2) (2)代数法：通过两圆方程组成的方程组的公共解的个数进行判断． 提醒　两圆相切应注意是内切还是外切． 1.圆心为(－1，2)且与x轴相切的圆的方程是(　　) A.(x－1)2＋(y＋2)2＝2 B.(x＋1)2＋(y－2)2＝2 C.(x－1)2＋(y＋2)2＝4 D.(x＋1)2＋(y－2)2＝4 解析：选D.因为圆心为(－1，2)且与x轴相切，所以半径r＝2， 则圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4. 2.（选择性必修第一册P98练习T1改编）圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0的位置关系是(　　) A.内切 B．相交 C.外切 D．相离 解析：选C.圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，即C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，圆心C2(3，4)，半径r2＝4，则|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，所以两圆外切． 3.（多选）直线3x－4y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m的值是(　　) A.6 B．－6 C.4 D．－4 解析：选AD.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，半径r＝1，又直线3x－4y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心(1，1)到直线3x－4y＋m＝0的距离d＝＝1，解得m＝－4或m＝6. 4.（选择性必修第一册P102 T7改编）若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是　　　　　　Ｗ． 解析：方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，它表示圆，需满足1－a＞0，故a＜1. 答案：(－∞，1) 5.过直线2x－y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－15＝0的交点且过原点的圆的方程是 　　　　　　Ｗ． 解析：设所求圆的方程为x2＋y2－2x－15＋λ(2x－y＋1)＝0， 因为该圆过原点，所以可得－15＋λ＝0，解得λ＝15，将λ＝15代入所设方程并化简可得所求圆的方程为x2＋y2＋28x－15y＝0. 答案：x2＋y2＋28x－15y＝0 常用结论 1.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2.过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R). 3.过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0（λ≠－1，此圆系不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0）.特别地．当λ＝－1时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦所在的直线方程；两圆相切时，表示公切线所在的直线方程． 题型一　圆的方程 [例1] (1)圆C的圆心在y轴上，且过A(3，1)，B(－3，5)两点，则圆C的方程为(　　) A．x2＋(y－1)2＝17 B．x2＋(y－3)2＝17 C．x2＋(y＋1)2＝13 D．x2＋(y－3)2＝13 (2)经过点P(1，1)以及圆x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0交点的圆的方程为　　　　　　　　　Ｗ． 【解析】　(1)方法一：依题意，设圆心为C(0，b)，由|CA|＝|CB|可得＝，解得b＝3， 所以圆心为C(0，3)，圆的半径为|CA|＝＝， 故所求圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝13. 方法二：因为圆C的圆心在y轴上，设圆心为C(0，b)，半径为r，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2，因为点A，B在圆C上， 所以有 整理得解得 所以圆C的方程为x2＋(y－3)2＝13. 方法三：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为， 则有 解得则圆C的方程为x2＋y2－6y－4＝0，即x2＋(y－3)2＝13. (2)方法一：联立 整理得y＝x＋2，代入x2＋y2－4＝0， 得x2＋2x＝0，解得x＝0或x＝－2， 则圆x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0的交点坐标为(0，2)，(－2，0)， 设经过点P(1，1)以及(0，2)，(－2，0)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得满足D2＋E2－4F>0，故经过点P(1，1)以及圆x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0交点的圆的方程为x2＋y2＋x－y－2＝0. 方法二：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋4y－12＋λ(x2＋y2－4)＝0， 因为所求圆经过P(1，1)，代入该点得－10－2λ＝0，即λ＝－5， 故所求圆的方程为x2＋y2－4x＋4y－12－5(x2＋y2－4)＝0，即x2＋y2＋x－y－2＝0. 【答案】　(1)D　(2)x2＋y2＋x－y－2＝0 【素养小结】　求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r 的方程组，从而求出a，b，r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F 的方程组，进而求出D，E，F 的值． 注意　解答与圆有关的问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． [对点训练] 1.已知直线l：kx－y＋4k＋1＝0恒过点P，则以点P为圆心，为半径的圆的方程为(　　) A．(x＋4)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋4)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－4)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋4)2＋(y＋1)2＝ 解析：选A.将直线方程kx－y＋4k＋1＝0变形为k(x＋4)＋(1－y)＝0. 令解得所以点P的坐标为(－4，1).故圆心为P(－4，1)，半径为的圆的方程为(x＋4)2＋(y－1)2＝2. 2.已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，1)，B(4，2)，C(3，0)，则△ABC外接圆的方程是　　　　　　　　　　Ｗ． 解析：方法一：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.由题意得 解得满足D2＋E2－4F>0， 所以△ABC外接圆的方程为x2＋y2－5x－3y＋6＝0. 方法二：依题意，直线AC的斜率kAC＝＝－，直线BC的斜率kBC＝＝2， 则kAC·kBC＝－1，即AC⊥BC.因此△ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆． 线段AB的中点为（，）， 半径r＝|AB|＝， 所以△ABC外接圆的方程是 （x－）2＋（y－）2＝. 答案：x2＋y2－5x－3y＋6＝0（或（x－）2＋（y－）2＝） 题型二　直线与圆的位置关系 [例2] (1)（2026·武汉模拟）已知直线l：ax＋by＝r2，圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)，则“点P(a，b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 (2)（2025·全国一卷）已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，3) C．(3，＋∞) D．(0，＋∞) 【解析】　(1)由点P(a，b)在圆C外，得a2＋b2＞r2，则圆心C到直线l的距离d＝＜r， 因此直线l与圆C相交，即“点P(a，b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充分条件； 由直线l与圆C相交，得圆心C到直线l的距离d＝＜r，则a2＋b2＞r2， 因此点P(a，b)在圆C外，即“点P(a，b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的必要条件， 所以“点P(a，b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充要条件． (2)方法一：由题易知圆心(0，－2)到直线y＝x＋2的距离d＝＝2，因为圆上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，所以|d－r|＜1，即|2－r|＜1，所以1＜r＜3，故选B. 方法二：设与直线y＝x＋2距离为1的平行直线的方程为y＝x＋c(c≠2)，由＝1得c＝0或c＝4，记l1：y＝x，l2：y＝x＋4，则圆与l1，l2共有两个交点，由于圆心(0，－2)位于直线l1下方，所以圆只能与l1相交且与l2相离，所以＜r＜，即1＜r＜3.故选B. 快解（特殊值法）：圆心(0，－2)到直线y＝x＋2的距离d＝＝2，当r＝1时，圆上有一个点到直线y＝x＋2的距离为1，当r＝3时，圆上有三个点到直线y＝x＋2的距离为1，所以要使圆上有且仅有两个点到直线y＝x＋2的距离为1，则1＜r＜3.故选B. 【答案】　(1)C　(2)B 本例(2)源于人教A版选择性必修第一册P99T13，已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b.b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？ 相似度　首先，教材习题是定圆与动直线，求解直线方程中的参数；真题是定直线与动圆，求解圆的方程中的参数．其次，两题考查的满足距离条件的点的个数不同． 变式点　真题还可以从研究满足条件的点的个数或改变参数意义，进行如下变式． [变式1]　已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点P到直线3x－4y＋11＝0的距离为1，则满足条件的点P的个数为(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 解析：选C. (x－1)2＋(y－1)2＝9的圆心为(1，1)，半径为r＝3，圆心(1，1)到直线3x－4y＋11＝0的距离为＝2，如图，故到直线3x－4y＋11＝0的距离为1的点P共有3个． [变式2]　在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，a)，B(3，a＋4)，若圆x2＋y2＝4上有且仅有四个不同的点C，使得△ABC的面积为，则实数a的取值范围是 　　　　　　Ｗ． 解析：由已知可得，直线AB的斜率 k＝＝2， |AB|＝＝2. 又△ABC的面积为，所以点C到直线AB的距离d＝＝1. 直线AB的方程为y－a＝2(x－1)，即2x－y＋a－2＝0. 则圆心O到直线2x－y＋a－2＝0的距离d1＝＝. 如图，过点O作OD⊥AB，垂足为E，交圆O于点D. 因为圆x2＋y2＝4上有且仅有四个不同的点C，使得△ABC的面积为. 又点C到直线AB的距离d＝1， 则应有|DE|＞1，所以|OE|＝|OD|－|DE|＝2－|DE|＜1，即d1＝＜1， 解得2－＜a＜2＋. 答案：（2－，2＋） 【素养小结】　判定直线与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：求出圆心到直线的距离d，利用d与半径r的大小关系判定． (2)代数法：联立方程后利用解的情况判定． 题型三　圆与圆的位置关系 [例3] 已知A(0，0)，B(8，－6)，圆C1是以线段AB为直径的圆，圆C2：x2＋(y＋2)2＝4. (1)求圆C1的标准方程； (2)求C1与C2的公切线条数，并探究C1与C2是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，请说明理由． 【解】　(1)因为A(0，0)，B(8，－6)，所以AB的中点为(4，－3)， 且|AB|＝＝10， 因为圆C1是以线段AB为直径的圆，即圆心为C1(4，－3)，半径r1＝|AB|＝5，所以圆C1的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25. (2)圆C2：x2＋(y＋2)2＝4的圆心C2(0，－2)，半径r2＝2， 又|C1C2|＝＝， 所以|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2，故两圆相交，其公切线条数为2，此时有公共弦， 则两圆方程作差得到公共弦的一般式方程为4x－y＝0. 【素养小结】　圆与圆的位置关系的求解策略 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2项和y2项得到． [对点训练] 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0. (1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系； (2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)当m＝1时，圆C1的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，则C1(1，－2)，半径r1＝3，圆C2的标准方 程为(x＋1)2＋y2＝1，则C2(－1，0)，半径r2＝1，可得两圆的圆心距d＝＝2， 且r1＋r2＝4，r1－r2＝2，则r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交． (2)不存在，理由如下： 圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，则C1(m，－2)，半径r1＝3. 由(1)可知，C2(－1，0)，半径r2＝1. 假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含， 则圆心距d＝＜3－1，整理得(m＋1)2＜0，此不等式无解． 故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含． 学科网（北京）股份有限公司 $