第6章 第1讲 数列的概念及简单表示法(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦数列的概念及简单表示法，覆盖数列定义、分类、函数特征及aₙ与Sₙ关系等核心考点，按概念梳理、题型突破（累加累乘法、周期性、单调性）的逻辑架构展开，通过考点精讲、方法总结、真题示例及对点训练，帮助学生系统构建知识网络，突破通项公式求解等难点。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如累加法求通项时引导学生通过递推式归纳规律，周期性问题中观察前几项总结周期，设置基础巩固与能力提升分层练习。精准对接高考命题规律，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第1讲　数列的概念及简单表示法 课标要求　1.了解数列的概念和简单的表示方法(列表、图象、通项公式).　2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．　3.能够利用an与Sn的关系求通项公式an. 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 递推公式 一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 一般地，对于数列{an}，把a1＋a2＋…＋an称为数列{an}的前n项和，记作Sn 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1>an 其中 n∈N* 递减数列 an＋1<an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列与函数的关系：数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是n，对应的函数值是f(n)，记为an＝f(n). 1．已知数列{an}的通项公式为an＝则a6－a5＝(　　) A．34 B．36 C．38 D．40 解析：选D．a6－a5＝62＋2－(－2)＝40. 2．如图是用摆放而成的图案，其中第①个图中有2个，第②个图中有5个，第③个图中有10个，第④个图中有17个，……按此规律排列下去，则第⑦个图中的个数为(　　) A．35 B．48 C．50 D．64 解析：选C．设第n个图中有an个，由题有a1＝2，a2＝5＝a1＋3，a3＝10＝a2＋5，a4＝17＝a3＋7，按此规律有an＝an－1＋2n－1(n≥2，n∈N*)，所以a5＝a4＋9＝26，a6＝a5＋11＝37，a7＝a6＋13＝50. 3．(多选)已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝－，则(　　) A．a2＝ B．{an}为递增数列 C．{an}为周期数列 D．a2 027＝2 026 解析：选AC．由题可知，a1＝－，a2＝，a3＝4，a4＝－，故A，C正确，B错误；数列{an}的周期为3，所以a2 027＝a675×3＋2＝a2＝，故D错误． 4．(选择性必修第二册P8 T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝，则an＝________________________________________________________________________. 解析：依题意，Sn＝，所以当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－， 显然a1＝2不满足an＝－， 综上，an＝ 答案： 5．已知数列是递减数列，则λ的取值范围为____________． 解析： 数列是递减数列，故＞，即2n＋2λ＞n＋1＋λ，所以λ＞1－n，且n∈N*，故λ＞0. 答案：(0，＋∞) 常用 结论 1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 2．若an＋k＝an(k∈N*)，则数列{an}为周期数列，k为{an}的一个周期． 题型一　an与Sn的关系 [例1] (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝0，an＋1＋2Sn＝n，则a5＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝5n＋3.则数列{an}的通项公式为____________． 【解析】　(1)由题意，2Sn＝－an＋1＋n，则当n≥2时，有2Sn－1＝－an＋n－1，两式相减可得2(Sn－Sn－1)＝an－an＋1＋1，即an＋an＋1＝1. 当n＝1时，2S1＝－a2＋1，因为S1＝a1＝0，所以a2＝1，所以a3＝1－a2＝0，a4＝1－a3＝1，a5＝1－a4＝0. (2)Sn＝5n＋3，当n＝1时，a1＝S1＝5＋3＝8； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝5n＋3－(5n-1＋3)＝4·5n-1，又a1＝8，不满足an＝4·5n-1， 故an＝ 【答案】　(1)B　(2)an＝ 【素养小结】　Sn与an关系问题的求解思路 (1)若已知Sn的关系式，则直接利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求an，此时需检验当n＝1时的表达式是否满足n≥2时的表达式，如不满足，则需分段表示； (2)若条件既含Sn又含an，则利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an或Sn的关系式，再转化为其他模型求解． [对点训练] 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点(n，Sn)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上．则数列{an}的通项公式为________． 解析：由题设，知Sn＝n2＋2n， 当n＝1时，a1＝S1＝3， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1， 经验证，a1＝3满足an＝2n＋1， 所以an＝2n＋1(n∈N*). 答案：an＝2n＋1 2．已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋2n-1an＝n2n，则数列{an}的通项公式为________． 解析：由题意a1＋2a2＋…＋2n-1an＝n·2n，当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n-2an－1＝(n－1)·2n-1，两式相减得， 2n-1an＝2n·2n-1－(n－1)·2n-1＝(n＋1)·2n-1，解得an＝n＋1， 在a1＋2a2＋…＋2n-1an＝n·2n中，令n＝1，可得a1＝2＝1＋1，也满足an＝n＋1，综上所述，数列{an}的通项公式为an＝n＋1. 答案：an＝n＋1. 题型二　累加、累乘法求通项公式 [例2] (1)在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋ln ，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝ln n B．an＝(n－1)ln (n＋1) C．an＝n ln n D．an＝ln n＋n－1 (2)已知Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝1，2Sn＝nan，则a25的值为________． 【解析】　(1)由已知得an＋1－an＝ln ＝ln (n＋1)－ln n， 当n≥2时，an－an－1＝ln n－ln (n－1)， an－1－an－2＝ln (n－1)－ln (n－2)， … a3－a2＝ln 3－ln 2， a2－a1＝ln 2－ln 1， 将上述n－1个等式相加， 整理得an－a1＝ln n－ln 1＝ln n. 又因为a1＝0，所以an＝ln n. 又a1＝0满足an＝ln n，所以an＝ln n. (2)当n＝1时，2S1＝a1⇒2a1＝a1⇒a1＝0，由S2＝a1＋a2＝1，得a2＝1， 由2Sn＝nan，得2Sn＋1＝(n＋1)an＋1， 两式相减得，2Sn＋1－2Sn＝(n＋1)an＋1－nan⇒2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan，当n≥2时，＝， 所以a25＝a2···…·＝1×××…×＝24. 【答案】　(1)A　(2)24 【素养小结】　 易错点　根据累加法、累乘法求出an之后，注意检验a1是否成立． [对点训练] 1.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，则a7＝(　　) A．43 B．46 C．37 D．36 解析：选C．由题知a1＝1，an＋1－an＝2n－1， 所以a7＝(a7－a6)＋(a6－a5)＋…＋(a2－a1)＋a1＝11＋9＋7＋5＋3＋1＋1＝37. 2．已知数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2，n∈N*).若an＝1 005，则n＝________． 解析：因为an＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2，n∈N*)，① 所以an＋1＝a1＋a2＋a3＋…＋·an－1＋an(n∈N*)，② 用②－①可得，an＋1－an＝an，移项得＝，n≥2，n∈N*， 于是有＝，＝，…，＝，n≥3，n∈N*， 上述n－2个式子相乘得到，＝，由已知得，a2＝a1＝1，所以an＝，n≥3，n∈N*， 由an＝＝1 005，可得n＝2 010. 答案：2 010 题型三　数列的函数特征 考向1　数列的周期性 [例3] (1)已知数列{an}满足an＋2＝－，且a1＝1，a2＝2，则a2 027＝(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－ (2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＝an＋1＋an，记Sn为数列{an}的前n项和，则S4－a6＝________，设数列{an}的各项依次被4除，所得余数形成的数列为{bn}，则数列{bn}的前985项和为________． 【解析】　(1)由题意，a1＝1，a2＝2， 则a3＝－＝－1，a4＝－＝－，a5＝－＝1，a6＝－＝2，…， 所以数列{an}为周期为4的数列，则a2 027＝a506×4＋3＝a3＝－1. (2)由题知S4－a6＝a1＋a2＋a3＋a4－a6＝a3＋a5－a6＝a3－a4＝－a2＝－4. 数列{an}依次为1，4，5，9，14，23，37，60，97，…，则数列{bn}依次为1，0，1，1，2，3，1，0，1，…， 数列{bn}是周期为6的周期数列，985＝164×6＋1，所以数列{bn}的前985项和为164×(1＋0＋1＋1＋2＋3)＋1＝1 313. 【答案】　(1)C　(2)－4　1 313 【素养小结】　根据给出的关系式求出数列的前几项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项和． 考向2　数列的单调性与最值 [例4] 已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n－16，则数列{an}的最小项是(　　) A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【解析】　方法一：数列{an}中，由an＋1＝an＋3n－16，得an＋1－an＝3n－16，由3n－16＜0，n∈N*，得n≤5，则当n≤5时，an＋1＜an；当n≥6时，an＋1＞an，即a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＜a7＜a8＜…，所以数列{an}的最小项是第6项. 方法二：设{an}的最小项为第n项， 则即 解得又n∈N*，故n＝6，所以数列{an}的最小项是第6项． 【答案】　B　 【素养小结】　(1)判断数列单调性的三种方法 ①作差比较法； ②作商比较法； ③函数法． (2)求数列的最大项与最小项的常用方法 ①利用数列的增减性，确定最大项及最小项． ②利用(n≥2)确定最大项，利用 (n≥2)确定最小项． [对点训练] 1.(2026·张家口模拟)已知数列{an}不是递增数列，且an＝则k的取值范围为________． 解析：因为{an}不是递增数列，所以k≤0或解得k≤. 所以k的取值范围为. 答案： 2．设f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，则x211＝________． x 1 2 3 4 5 6 f(x) 4 5 1 2 6 3 解析：由题可知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，即数列{xn}是以6为周期的周期数列，又211＝35×6＋1，所以x211＝x1＝5. 答案：5 学科网（北京）股份有限公司 $