第3章 第4讲 培优课——导数中的函数构造 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 以构造函数法为核心，系统训练利用导数研究函数性质解决不等式、比较大小等问题，体现数学思维的推理能力与数学眼光的抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |构造函数法应用|14题|通过构造辅助函数（如f(x)/x、x sin x、f(x)/e^x等），利用导数研究单调性、奇偶性转化问题|函数性质（奇偶性、单调性）与导数应用结合，从概念生成到构造技巧再到问题解决的逻辑链条|

多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课后检测，能力达标 「A基础达标 1.已知是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf)一)>0，且一2)=0， 则不等式>0的解集是) A.(-2,0)U(0,2) B.(-∞，-2)U(2,+∞) C.(-2,0)U(2,+∞) D.(-∞，-2)U(0,2) 解析：选C.令gx)=,0,因为x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，g (x)=>0,所以g(x)=在(0，十∞)上单调递增，且(x=是奇函数，由题意知 -2)=2)=0,所以=0，=0，所以不等式>0的解集是(-2,0)U(2,十∞) 2.已知a,B∈[-，]，且asin a一Bsin>0,则下列结论一定正确的是() A.心B B.a-B C.o<3 D.a+B-0 解析：选B.构造函数fw)=x sin x,x∈[-，]，则f(w)=sinx十x cosx, x∈[一，1.当x∈(0，]时，fx)>0,x)单调递增；当x∈[-，O)时，fx)0,x) 单调递减.由asin a-Bsin B0,得csin>Bsin B,即尺c)>B,又易知x)为 偶函数，所以a)>BD,可得>B 3.已知x)为定义在R上的可导函数，且f>x,对任意正实数a,下列式 子一定成立的是() A.a)<e0) B.Aa)>e0) C.fa) D.> 解析：选B.令g)=, 则g(x)=>0. 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以g(x)在R上为增函数， 又a>0,所以g(ad>g(0), 即>，故a)>ef0) 4.已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则() A.a>0>b B.a>b>0 C.b-a-0 D.b>0>a 解析：选A.由10=9m>9,得m>1.设fx)=xm-x-1,x>1,则当m>1时， fx)=xm1-1>x11-1=0,所以)在(1，+o∞)上单调递增，所以10)>9) =0>8),即a>0>b 5.己知定义在(0，)内的函数x)的导函数为fx),fx)cosx一x)sinx>0,则下 列结论正确的是() A.0) B.0>) C.)>) D.)) 解析：选A.令Fx)=x)cosx,x∈(0，），则F(x=f(x)cosx-)sinx0, 即函数Fx)在(0，)上单调递增.因为0<<<<，所以F)<F)<F),即)Cos ≤)cos≤)cos,因比可得)<)，故A正确，C错误；))，故B错误； )),故D错误. 6.(2026·长春质量监测)已知定义在(0，+∞)上的函数x),f(是)的导函数， 满足xf()一2x<0,且2)=4，则不等式2一4>0的解集是() A.0,1) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(-∞，1) 解析：选D.令gw)=,x∈(0，十∞)，则g)=,因为fw)-2)<0(x>0), 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以g(x)=<0(x>0),则gx)=在(0，十∞)上单调递减.因为2)=4，所以 g(2)==1.由2-4>0，得29>4，即=>1，即g(2)>g(2).又gx)=在(0， 十∞)上单调递减，所以2<2，解得x<1 7.已知x,y为正实数，nx十lny=一x,则() A.xy B.x≤y C.x+y>1 D.x+y1 解析：选C.由lnx十lny=一x,得lnx+x=一ny十=十，构造函数x) =nx+x(xO),则f(x)=+1>0,即x)=nx+x在(0，+o)上单调递增，由 1nx十x=n+,得x=,即xy=1.由基本不等式可知，x+y≥2=2，当且仅当x =y=1时等号成立，所以x十y>1. 8.(多选)已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中错误的是() A.n2> B.1n3< C.lnπ> D.< 解析：选ACD.令gx)=x>0),则g(x)=,当O<Ke时，g(x)>0,当x>e时， g(x)<0,所以gx)在(0，e)上单调递增，在(e,十∞)上单调递减.对于A,因为 2<e,所以(2)g(©)，即<=，所以n2<,故A错误，对于B,C,D,因为 e<3<π，所以g(e)>g(3)>g),即=>>，所以n3<,nπ<，>，故B正确，C, D错误 9.(多选)已知定义在(0，+∞)上的函数x)满足(x)一1>0，则下列结论正确 的是() A.2)-1n2>1) B.4)-2)>1n2 C.2)+n2>e)+1 D.e)-e)>1 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：选ABD.构造函数g(x)=x)-nx,x>0,则g(x)=f(x)一=， 因为xfx)-1>0,所以g(x)>0,故gx)在(0，+∞)上是增函数，由g(2)>g(1) 得，2)-1n2>1)-n1,即2)-n2>1),故A正确；由g(4>g(2)得， 4)-ln4>2)-2,即术4)-2)>ln4-n2=ln2,故B正确；由g(e)>g(2) 得，e)-e>2)-n2,即e)+ln2>2)+1,又n2<1,所以fe)>2),所 以e)+1>2)+n2,故C错误；由ge)>g(e)得，e)-ne2>e)-lne,即 e)-2>e)-1,即e)-e)>1,故D正确. 10.已知函数fx)的定义域是(0，+∞)，其导函数为f(w,且满足fx)nx十 )>0,则e)0.(填“>x<”或“=”) 解析：令g(x)=x)nx(x>0),可得g'(x)=f(x)nx+x)>0,则g(x)在(0，+o∞) 上是增函数，所以g(e)>g(1),又g(1)=0,所以e)ne0,即e)>0. 答案：> 11.己知定义在R上的可导函数x)满足：)十f)>0,)=,则孔x)>的解 集为 解析：记gx)=ex)x∈R),则gw)=e[x)+fw],因为x)+fx)>0,所以 g(x)>0,gx)在R上单调递增，又)=，所以g)=e)=1,所以x)>等价于 x)>1,即(w>g0,所以x>,所以不等式)>的解集，+o∞) 答案：(，十∞) 12.若x)是R上可导的奇函数，当x≥0时，f(x)一cos0,则不等式)<sinm x的解集为 解析：令gx)=x)-snx,则g(x)=f(x)一cos0在[0，十∞)上恒成立， 故g(x)在[0，十∞)上单调递减 又x为R上的奇函数， 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以g(x)为R上的奇函数， 所以gx)在(-∞，0]上单调递减， 故g(x)在R上单调递减且g(O)=0, 不等式x)<sinx可化为x)-sinx0, 即gx)大0，即(x)<g(O),所以x>0,所以原不等式的解集为(0，+∞). 答案：(0，+∞) 〔B综合运用 13.已知a<5,且ae3=5e,b<4且be4=4e°，c<3且ce3=3e,则() A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c 解析：选D.三个等式可变形为=，=，=.因为ae5=5e,所以0<K5. 同理0<b<4,0<c3.构造函数x)=,x>0,则f(x)=x>0) 当0<x<1时，f(x)<0,x)单调递减； 当x>1时，f(x)>0,x)单调递增. 因为5)=，故0<a<1. 同理，0<b<1,0<c<1,4)=b),3)=c).因为5)>4)>3)，所以) >b)>c),即0<a<b<c<1. 14.若对于任意正数x,y,不等式x(1十1nx)≥x1my一y恒成立，则实数a的 取值范围是() A.(0,] B.[,] C.[,+o) D.[,十∞) 解析：选C.由题知y≥xlny-x-xnx,即a≥lny--nx=n-,令t =,t∈(0，+∞)，则a≥-=.设gx=(>0),则g(x)==(x>0),令g'(x)<0, 得x>e2,令g(x)0,得0<x<e2,所以gw在(e,十∞)上单调递减，在(0，e)上 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 单调递增，当x=e时，gx)有最大值，g(x)mx=g(e)=,所以a≥. ·独家授权侵权必究·