第1章 第1讲 集合(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学讲义聚焦集合核心考点，依据课标要求系统梳理元素特性、集合关系及运算等知识，构建“概念-关系-运算”逻辑体系。通过考点梳理、方法指导（如素养小结、易错点提示）和真题训练（含2025年全国卷等例题），帮助学生突破难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出数学思维与数学语言培养，如通过新定义问题引导学生用逻辑推理分析集合性质，结合分层练习（基础判断、多选、综合运算）强化运算能力。设置常用结论与题型分类，助力学生在有限时间内高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第1讲　集　合 课标要求　1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．　2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．　3.理解并会求并集、交集、补集；能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算． 　 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． 2．集合间的基本关系 (1)子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，记作AB或BA. (3)集合相等：集合A，B中元素相同，记作A＝B. 点拨　(1)任何集合都是自身的子集，即A⊆A； (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 类别 表示 　 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 1．若集合A＝{x|x≥－1}，则下列四个关系中正确的是(　　) A．1∈A　　　　　　　　 B．1∉A C．{1}∈A D．1⊆A 解析：选A.由题意知，集合A＝{x|x≥－1}表示所有不小于－1的实数组成的集合，所以1是集合A中的元素，故1∈A. 2．(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 解析：选C.由题知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{2，4，6，7，8}，有5个元素． 3．(多选)已知集合A满足{2，5}⊆A{1，2，4，5，7}，则集合A的子集个数可能是(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：选ABC.由题意可知集合A中的元素个数可能是2，3，4，则集合A的子集个数可能是22＝4，23＝8，24＝16，故A，B，C正确． 4．(必修第一册P14T1改编)若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，则A∪B＝________________，A∩B＝__________________________. 解析：因为A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，借助数轴如图1，所以A∪B＝R，如图2，所以A∩B＝{x|－1<x≤1或4≤x<5}． 答案：R　{x|－1<x≤1或4≤x<5} 5．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是________． 解析： 由A∪B＝B，可得A⊆B，如图，在数轴上表示出集合A，B.所以a≤1. 答案：(－∞，1] 常用结论 1.若集合A有n(n≥1)个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2.A⊆B ⇔ A∩B＝A ⇔ A∪B＝B ⇔ ∁UA⊇∁UB. 3.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　集合的基本概念 1．已知集合A＝{x|2x－a>0}，且1∉A，2∈A，则(　　) A．a>4 B．a≤2 C．2<a≤4 D．2≤a<4 解析：选D.因为1∉A，所以2×1－a≤0，解得a≥2，又因为2∈A，所以2×2－a>0，解得a<4，所以2≤a<4. 2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈N，y∈N}，则A中元素的个数为(　　) A．9 B．8 C．6 D．5 解析：选C.由题意可得A＝{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈N，y∈N}＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(0，2)}．因此，集合A中有6个元素． 3．已知a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 025＋b2 026＝________． 解析：由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 025＋b2 026＝－1＋1＝0. 答案：0 【素养小结】　与集合中元素有关问题的求解步骤 (1)确定集合中的元素是什么，集合是数集还是点集； (2)观察这些元素满足什么限制条件； (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数． 易错点　集合是否满足元素的互异性． 题型二　集合间的基本关系 [例1] (1)已知集合M＝{x| x＝k＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋1，k∈Z}，则(　　) A．MN B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅ (2)(2025·南京、盐城模拟)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|x＋a≤0}．若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(－∞，－2) D．(－∞，－2] 【解析】　(1)M＝{x|x＝k＋，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝＋1，k∈Z}＝{x|x＝，k∈Z}，因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，而k＋2，k∈Z表示所有的整数，所以MN. (2)由x2－4≤0可得A＝[－2，2]，由x＋a≤0可得B＝(－∞，－a]，又A⊆B，所以2≤－a，即a≤－2. 【答案】　(1)A　(2)D 【素养小结】　(1)判断两集合关系的方法：列举法、化简集合法、数轴法． (2)已知两个集合间的关系求参数，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 易错点　若B⊆A，易忽略分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论． [对点训练] 1.(2026·潍坊模拟)已知集合A＝{x∈N|x3＜27}，则A的子集的个数是(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：选B.由x3＜27，解得x＜3，所以A＝{x∈N|x3＜27}＝{x∈N|x＜3}＝{0，1，2}，所以A的子集有23＝8个． 2．已知集合A＝{x|ax＝1，a∈R}，B＝{－1，1}，且A⊆B，则a的取值集合为(　　) A．{－1} B．{－1，1} C. {0，1} D．{－1，0，1} 解析：选D.当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B；当a≠0时，A＝{}，又A⊆B，所以＝1或＝－1，所以a＝1或a＝－1.故满足题意的a的所有取值组成的集合是{－1，0，1}． 题型三　集合的运算 [例2] (1)(2025·天津卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{4} (2)已知非空集合A＝{x|a－1＜x＜2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为____________________． 【解析】　(1)由题意得A∪B＝{1，2，3，5}，U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(A∪B)＝{4}． (2)因为A为非空集合，则a－1＜2a＋3，解得a＞－4.∁RB＝{x|x＜－2或x＞4}， 若A∩(∁RB)＝A，则A⊆∁RB，则2a＋3≤－2或a－1≥4， 解得a≤－或a≥5，又a＞－4， 所以实数a的取值范围为. 【答案】　(1)D (2) 【素养小结】　(1)进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算． (2)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． [对点训练] 1.(2026·烟台模拟)已知集合U＝R，集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}，B＝{x|0≤x≤2}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．(－3，0) B．(－1，0) C．(0，1) D．(2，3) 解析：选A.解不等式x2＋2x－3＜0，得－3＜x＜1，即A＝(－3，1)，由B＝[0，2]，得∁UB＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以题图阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝(－3，0). 2．已知集合A＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|a－1＜x＜a＋1}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为__________． 解析：因为A＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|a－1＜x＜a＋1}且A∪B＝R，所以解得1≤a≤2. 答案：[1，2] 题型四　集合的新定义问题 [例3] (多选)非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则∈A；②若x，y∈A，则x＋y∈A.下列判断中正确的是(　　) A．－1∉A B．∈A C．若x，y∈A，则xy∈A D．若x，y∈A，则x－y∈A 【解析】　对于A，假设－1∈A，令x＝y＝－1，则＝1∈A，令x＝－1，y＝1，则x＋y＝0∈A；令x＝1，y＝0，不存在，不符合题意，所以－1∉A，所以A正确；对于B，由题意知，1∈A，则1＋1＝2∈A，2＋1＝3∈A，…，2 024∈A，2 025∈A，2 026∈A，所以∈A，所以B正确；对于C，因为1∈A，x∈A，所以∈A，因为y∈A，∈A，所以＝xy∈A，所以C正确；对于D，令x＝1，y＝2，因为1∈A，2∈A，则x－y＝－1∉A，所以D错误． 【答案】　ABC 【素养小结】　解决有关集合新定义问题的关键 (1)准确转化：一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆． (2)方法选取：可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解． [对点训练] (2026·北京期中)定义某种运算“⊗”如下： a⊗b＝ 则集合M＝中的元素个数是________． 解析：因为a⊗b＝6，且a，b∈N*，若a，b的奇偶性相同，则a＋b＝6，满足条件的(a，b)有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)；若a，b的奇偶性不相同，则a×b＝6，满足条件的(a，b)有(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1).综上所述，集合M中的元素个数是9. 答案：9 学科网（北京）股份有限公司 $