第8章 第4讲 直线、圆的几何性质(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦直线与圆的几何性质，紧扣课标要求的切线、弦长、最值及轨迹问题，通过考向梳理（切线问题、弦长计算、几何性质求最值、阿氏圆应用）对接高考评价体系，结合2025天津卷、2026邯郸模拟等真题案例，归纳四大常考题型，明确考点权重分布，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于“真题解析+素养提炼+方法总结”的复习策略，如通过几何法求切线长最小值、相关点代入法推导轨迹方程，培养学生数学思维与数学语言表达能力。包含易错点警示（如忽略斜率不存在情况）和答题模板（弦长公式、切线方程速算），助力学生掌握解题技巧，教师可据此系统规划复习，提升高考冲刺效率。

第4讲　直线、圆的几何性质 课标要求 1.能解决与圆有关的切线、弦长、最值问题．　2.通过求与圆有关的轨迹问题，体会求轨迹方程的一般方法． 返回首页 　 题型一——圆的切线与弦长问题 [例1] (1)（多选）（2026·邯郸模拟）已知直线l过点(2，1)，且直线l与圆C：x2＋y2－2x＋2y－2＝0相切，则直线l的方程可能是(　　) A．y＝1 B．x＝2 C．4x＋3y－11＝0 D．3x－4y－2＝0 AC 【解析】　圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4的圆心C(1，－1)，半径r＝2， 当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝2，点C到直线x＝2的距离为1，不符合题意． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0， 考向1　切线问题 返回首页 (2)设P是直线l：x＋y＋2＝0上的动点，过点P作圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝9的切线，则切线长的最小值为_____________Ｗ． 【解析】设切点为A，则|PA|2＝|PC|2－9，而|PC|的最小值为点C到直线l的距离， 3 返回首页 【素养小结】　求过某点的圆的切线的方法 (1)确定点与圆的位置关系，再求切线方程． (2)若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条．求圆的切线问题主要是利用圆心到切点的距离等于半径以及圆心与切点的连线垂直于切线，建立函数关系加以解决． 提醒　(1)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)·(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 易错点　设切线方程时，易忽略斜率不存在的情况． 返回首页 【解析】　由题知l：(m－2)x＋y－4m＋5＝0，即l：(x－4)m＋y－2x＋5＝0， D 返回首页 圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9， 所以(4－3)2＋(3－2)2＝2＜9，即定点(4，3)在圆C内，且圆心C(3，2)，半径为3， 返回首页 (2)（2025·天津卷）已知直线l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2交于C，D两点．若|AB|＝3|CD|，则r＝_____________Ｗ． 2 【解析】 返回首页 【素养小结】　弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长l＝2. 返回首页 [对点训练] 1.（2026·石家庄模拟）若圆M：(x－1)2＋(y－m)2＝25被直线3x－4y－7＝0所截得的弦长为10，过点P(－7，5)作圆M的切线，其中一个切点为A，则|PA|的值为_____________Ｗ． 解析：由弦长为10，圆M的直径为2×5＝10， 得直线3x－4y－7＝0 过圆心M(1，m)，代入得3－4m－7＝0， 解得m＝－1，所以M(1，－1)， 返回首页 2.如图，圆O：x2＋y2＝1，A为直线l：x＋y＝2上一动点，过点A向圆O引两条切线AP，AQ，切点分别为P，Q，则线段PQ长度的最小值为_____________Ｗ． 返回首页 返回首页 题型二——与圆有关的最值问题 考向1　借助几何性质求最值 返回首页 (2)求y－x的最大值和最小值； 【解】设y－x＝z，如图2所示，z即为过点M的直线y－x＝z在y轴上的截距，当该直线与圆C相切时截距取得最值． 返回首页 (3)求x2＋10x＋y2的最小值． 返回首页 返回首页 考向2　建立函数关系求最值 [例4] 过圆C：(x－3)2＋y2＝4外一动点P(t2，2t)作该圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为_____________Ｗ． 4 返回首页 【素养小结】　根据题目条件列出关于所求目标的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用二次函数或基本不等式等方法求解．　 返回首页 [对点训练] 1.长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线3x－4y－10＝0距离的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 所以线段AB的中点到直线3x－4y－10＝0距离的最大值为2＋1＝3. C 返回首页 A 返回首页 题型三——与圆有关的轨迹问题 [例5] 已知线段AB的端点B的坐标是(2，1)，端点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程； 【解】　设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)， 返回首页 因为点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动，所以(x0－4)2＋(y0－3)2＝4，② 把①代入②，得(2x－2－4)2＋(2y－1－3)2＝4，整理得(x－3)2＋(y－2)2＝1， 所以点P的轨迹C2的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1. 返回首页 (2)在(1)的条件下，设圆C1与曲线C2的交点为M，N，求线段MN的长． 【解】将圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝1的方程相减，得 2x＋2y－9＝0， 返回首页 【素养小结】　求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件列方程． (2)定义法：根据圆的定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 返回首页 [对点训练] (1)求C2的方程； 则|C1P|＝2|AC1|＝2，所以点P在以C1为圆心，半径为2的圆上．所以C2的方程为x2＋y2＝4. 返回首页 (2)设点M为直线y＝x－3上的一点．过点M作轨迹C2的两条切线，切点为Q，R. 证明：直线QR过定点． 证明：由(1)知C2(0，0)，设点M(x1，x1－3).以C2M为直径的圆的方程为(x－x1)x＋[y－(x1－3)]y＝0， 即x2－x1x＋y2－x1y＋3y＝0. 以C2M为直径的圆与圆C2的方程相减，即为直线QR的方程，即QR：x1x＋x1y－3y＝4，整理得x1(x＋y)－(3y＋4)＝0. 返回首页 阿氏圆 返回首页 证明：由|PA|＝λ|PB|及两点间距离公式，可得(x＋a)2＋y2＝λ2[(x－a)2＋y2]， 化简可得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋2(1＋λ2)ax＋(1－λ2)a2＝0①， 返回首页 返回首页 ABD 返回首页 返回首页 【素养小结】　此类问题中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化发现圆（或圆的方程），从而最终利用圆的知识来求解． 返回首页 [尝试训练] A 返回首页 所以(x＋1)2＋y2＝2[(x－2)2＋(y－1)2]，化简可得(x－5)2＋(y－2)2＝20，所以点P的轨迹方程为(x－5)2＋(y－2)2＝20， 因为点P的轨迹关于直线mx＋ny－2＝0(m＞0，n＞0)对称，所以圆心(5，2)在该直线上，所以5m＋2n＝2. 5m＋2n＝2 返回首页 如图，设圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的圆心为E，则点E(－1，3)到直线AB的距离d＝＝. $