4.4.2对数函数的图象和性质（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.4对数函数 4.4.2对数函数的图象和性质 学 习 目 标 1 2 3 掌握对数函数的图象画法，理解对数函数的图象特征与性质，能利用图象和性质比较对数大小、解决简单问题. 通经历画图象、观察归纳性质的过程，体会数形结合、分类讨论思想，提升观察概括与类比推理能力. 感受指数函数与对数函数的内在联系，体会函数图象的对称美，养成严谨的思维习惯. 新课引入 新课引入 思考1：要研究一个函数的性质，我们已经有了哪些经验？  学习函数的一般模式(方法)： 解析式（定义） 图象 性质 应用 数形结合 分类讨论 探究一：对数函数的图象 新知探究 问题1：你能使用描点法画出y=log2x的图像吗？ 列表： 描点： 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 连线： ... 1 2 4 ... ... ... -2 -1 0 1 2 y=log2x 图象特征 代数表述 定义域 （0,+∞） 值 域 : R 在(0,+∞)上递增 图象位于轴右方 图象向上、向下 无限延伸 自左向右看图象 逐渐上升 探究一：对数函数的图象 问题2：在同一坐标系中作出函数的图象.你有什么发现？ 新知探究 列表： ... 1 2 4 ... ... ... 2 1 0 - 1 -2 描点： 连线： 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 y=lox y=log2x = = -log2x log2 x -1 探究一：对数函数的图象 新知探究 思考2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称,那么，对于底数互为倒数的两个对数函数，比如y=log2x 和，它们的图象是否也具有对称关系呢？ 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称 (x, y) (x, -y) 观察发现，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称 探究二：对数函数的性质 新知探究 问题3：为了得到对数函数（且）的性质，我们还需要更多具体的对数函数的图象进行观察。你能画出 的图象吗？ 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 探究二：对数函数的性质 新知探究 思考3：在同一坐标系中观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数的值域和性质吗？ 对数函数的图象特征 对数函数的相关性质 a＞1 0＜a＜1 a＞1 0＜a＜1 函数定义域为(0,+∞) 非奇非偶函数 函数的值域为，渐近线为轴 loga1=0过定点 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0 增函数 减函数 探究三：反函数 新知探究 思考4：对数函数 y = loga x 和指数函数 y=ax 的图象有何联系？ o y=ax o y= logax y= ax y=x 探究三：反函数 新知探究 动态演示 y=ax x=logay 探究三：反函数 新知探究 问题4：如何由指数函数得到对数函数y = loga x的表达式呢？ 【结论】对数函数y = loga x和指数函数y=ax图象关于直线y=x对称． x, y 位置互换 y=logax 互为反函数 探究三：反函数 新知探究 一般地，指数函数，(且)与对数函数，(且)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线对称. 典例精讲 例3：比较下列各题中两个值的大小： (1) (2)，； (3). 解：(1)∵在定义域上单调递增，而，∴. (2)∵在定义域上单调递减， 而，∴. (3)∵ ∴当时，在定义域上单调递增 而,∴ 当时，在定义域上单调递减 而,∴ 比较对数大小问题的求解方法 技巧点拨 (1)当底数相同、真数不相同时,直接利用对数函数的单调性进行比较. (2)当底数不同,真数相同时,可根据图象与底数的关系所反映出的规律比较,并借助图形进行比较. (3)当底数和真数都不相同时,可考虑引入第三个数(常用“0”或“1”)分别与之比较,然后通过第三个数的传递进行比较. 即时训练 题型1 比较大小 1、比较下列各题中两个值的大小： (1) (2) (3) 解：(1)对数函数在上单调递增， 而∴. (2)由于，，又对数函数在上单调递增，且 ∴即.(或者“底大图低”也可以直接判断) (3)(中间值法)∵ ∴. 即时训练 题型1 与对数函数有关的图象问题 2、已知 ，则（ ）. 【答案】： 分析：∵ 且即 ∴. 故选. 即时训练 题型2 解对数不等式 1、解下列不等式： (1) (2) 解：(1)据题意得：解得即不等式的解集为 (2)当时，，解得此时，无解. 当时，，解得此时，. 即不等式的解集为 即时训练 题型2 解对数不等式 1、解下列不等式：(3) 解：(3)当时，解得即不等式的解集为 当时，，解得即不等式的解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为 对数不等式的三种考查类型及求解方法 技巧点拨 (1)形如的不等式:借助的单调性求解,如果的取值不确定,需分与两种情况进行讨论; (2)形如的不等式:应将化为以为底数的对数式的形式(),再借助的单调性求解; (3)形如(,且不等于1,)的不等式:可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解. 即时训练 题型2 解对数不等式 2、不等式的解集为____________. 【答案】： 3、若求的取值范围. 解：据题意得， ①当时，是增函数，解得，所以； ②当时，是减函数，解得，所以； 综上所述，或. 即时训练 题型3 函数图象有关问题 1、在同一直角坐标系中，函数，的图象 可能是( ). 【答案】： 即时训练 题型2 解对数不等式 2、如图，若，分别为函数和的图象，则( ). 【答案】： 3、画出函数 的图象，并写出函数的值域和单调区间. 其值域为 单调递增区间为， 单调递减区间为. 课堂小结 感谢聆听! $