第7章 第1讲 基本立体图形及其表面积与体积(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本立体图形及其表面积与体积”专题，依据课标要求覆盖结构特征、表面积体积计算、直观图绘制三大核心考点，通过整合多面体与旋转体性质、公式推导及高考真题，明确结构特征判断、体积计算等高频题型占比，构建系统备考体系。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养培养”策略，如2025上海卷正四棱柱体积题用等积法转化，翻补法解决五面体体积问题，培养学生空间观念与推理意识。设易错警示与技能训练，助力学生掌握转化技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第七章　立体几何与空间向量 第1讲　基本立体图形 及其表面积与体积 课标要求 1.掌握柱体、锥体、台体、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．　2.知道球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．　3.能用斜二测画法画出简单空间几何体(球、柱体、锥体、台体及其简单组合体)的直观图． 返回导航 内 容 索 引 落实必备知识 1 1 探究核心题型 2 落实必备知识 第一部分 5 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 返回导航 名称 棱柱 棱锥 棱台 底面 互相______且______ 多边形 互相______且______ 侧棱 ____________ 相交于______，但不一定相等 延长线交于______ 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 平行 全等 平行 相似 平行且相等 一点 一点 返回导航 提醒　常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系： 返回导航 (2)旋转体的结构特征 垂直 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 返回导航 返回导航 2．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴与y′轴的夹角为___________，z′轴与x′轴和y′轴所在平面____． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别____于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度____，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的____． 一半 不变 平行 垂直 45°或135° 返回导航 2πrl πrl π(r′＋r)l 返回导航 4πR2 返回导航 提醒　几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． 返回导航 D 1．若球的表面积扩大到原来的4倍，那么该球的体积扩大到原来的(　　) A．64倍 B．32倍 C．16倍 D．8倍 返回导航 A 返回导航 ACD 3．(多选)下列说法不正确的有(　　　) A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 C．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 D．过圆锥顶点的截面中，轴截面面积最大 返回导航 解析：斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，故A不正确； 由圆锥的概念可知，B正确； 只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，故C不正确； 过圆锥顶点的截面中，是否是轴截面面积最大，取决于截面三角形的顶角是否小于90°，故D不正确． 返回导航 112 返回导航 5．已知一个圆锥的底面半径为4，用一个平行于该圆锥底面的平面截圆锥，若截得的小圆锥的底面半径为2，则截得的小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之比为________． 1∶3 返回导航 返回导航 探究核心题型 第二部分 22 题型一——基本立体图形 考向1　结构特征 [例1] (多选)下列说法正确的是(　　　) A．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 B．通过圆台侧面一点，有无数条母线 C．过圆锥顶点截圆锥所得的截面图形都是等腰三角形 D．正四棱柱都是长方体 ACD 返回导航 【解析】　对于A，因为棱锥都是由一个多边形的底面和另外多个有一个公共顶点的三角形构成，依题意平行四边形所在的面必是底面，故它一定是四棱锥，故A正确； 对于B，因为圆台可由圆锥用平行于底面的平面截得，而圆锥的母线是连接圆锥顶点与底面圆上一点的连线，所以经过圆台侧面一点，有且只有一条母线，故B错误； 对于C，因为过圆锥顶点截圆锥所得的截面图形是由两条母线和底面圆的一条弦构成的三角形，故它一定是等腰三角形，故C正确； 对于D，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故D正确． 返回导航 【素养小结】　空间几何体结构特征的判断技巧 (1)熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)通过反例对空间几何体的结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举出一个反例即可． 返回导航 B 返回导航 【素养小结】　在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． 返回导航 [对点训练] 1.(多选)下列命题中为假命题的有(　　) A．圆台的侧面展开图是一个扇形 B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱 D．五棱柱共有10个顶点，5条侧棱 AB 返回导航 解析：对于A，圆台的侧面展开图是一个扇环，A为假命题； 对于B，只有用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才为棱台，B为假命题； 对于C，由棱柱的定义知，C为真命题； 对于D，五棱柱共有10个顶点，5条侧棱，D为真命题． 返回导航 2．如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′O′＝O′B′＝1，B′C′＝1，则四边形ABCD的周长为__________． 10 返回导航 题型二——空间几何体的表面积 D 返回导航 返回导航 C 返回导航 返回导航 3．(2026·汉中模拟)如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体EABCDF，则该八面体的表面积为________． 返回导航 4．某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上、下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为1∶2，高为16 cm，母线长为20 cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料________克． 720π 返回导航 解析：作圆台的轴截面如图所示， 梯形ABCD为等腰梯形， 取上、下底面的中心分别为E，F， 再取AF中点G，连接EG， 因为DE＝AG，DE∥AG，所以四边形AGED为平行四边形，所以EG＝AD＝20 cm，EF＝16 cm，所以GF＝DE＝12 cm. 所以AF＝24 cm，所以灯罩的外表面面积为π×(12＋24)×20＝720π cm2. 所以100个灯罩的外表面面积为100×720π cm2＝7.2π m2. 又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料7.2π×100＝720π克． 返回导航 【素养小结】　几何体表面积的类型及求解方法 求多面体 的表面积 将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给不规则几何体的表面积 返回导航 题型三——空间几何体的体积 考向1　公式法 [例3] 已知某圆柱与某圆锥的母线长均为6，且圆柱的底面半径是圆锥底面 半径的2倍，若圆柱的体积为96π，则圆锥的体积为_____________． 返回导航 【素养小结】　熟悉各种简单几何体，牢记柱体、锥体、台体的体积公式是利用公式求几何体体积的关键． 返回导航 考向2　等积法 [例4] (1)(2026·永州模拟)已知三棱柱ABC­-A1B1C1的体积为1，P点为四边形BB1C1C的中心，则四面体A1­-B1PB的体积与三棱柱ABC-­A1B1C1的体积比为 ________． 返回导航 (2)已知在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱AC上一点，则点P到 平面A1C1D的距离为________． 返回导航 【素养小结】　利用三棱锥的“等积法”计算体积时，可以任取一个面作为三棱锥的底面，关键是所选取的三棱锥的顶点到底面的距离可求或易求；利用“等积法”还可以求“点到面的距离”，甚至可求“线到面的距离”“面到面的距离”，充分体现了数学的转化思想． 返回导航 C 返回导航 返回导航 返回导航 (2)如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________． 4 返回导航 返回导航 返回导航 【素养小结】　对于一些不规则几何体通过分割或补形，将原几何体分割或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积． 返回导航 A 返回导航 返回导航 2．(2026·上海期中)如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子 口径(即杯口直径)6 cm，高8 cm(不含杯脚)，已知水的高度是 4 cm，现往杯子中放入一种直径为1 cm的珍珠，该珍珠放入 水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢 出，则最多可以放入珍珠(　　) A．63颗 B．126颗 C．378颗 D．504颗 B 返回导航 返回导航 3．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为3，最小值为1，则该几何体的体积为________． 2π 返回导航 返回导航 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，______于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 ______ ____________ __________ ____ 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝______ S圆锥侧＝_____ S圆台侧＝___________ 4.柱体、锥体、台体、球的表面积和体积 名称 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝_______ 台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝_______ V＝_______ S底h πR3 常用 结论 1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系 (1)S直观图＝S原图形；(2)S原图形＝2S直观图． 2．底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理). 4 π 【解析】　如图，易知AC∥A1C1，而A1C1⊂平面A1C1D，AC⊄平面A1C1D，则AC∥平面A1C1D，则要求点P到平面A1C1D的距离即为求点A到平面A1C1D的距离，设为d，由V＝V，得××2×2×d＝××2×2×2，解得d＝，即点P到平面A1C1D的距离为. 【解析】　方法一(分割法)：因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于点H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH­ABC和一个斜三棱柱BEF­CHG.由题意知，V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝(×2×1)×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝(×2×1)×2＝2. 故所求几何体的体积为V＝2＋2＝4. 法二(补形法)：因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的.又正方体的体积V正方体ABHI-DEKG＝23＝8，故所求几何体的体积为V＝×8＝4. $