1 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦集合、常用逻辑用语与不等式三大核心考点，按集合运算、逻辑判断、不等式应用的层级架构梳理知识内在联系，通过考点精析、方法归纳、真题演练的教学流程，帮助学生构建完整知识网络，突破易混易错点。 讲义以近三年高考真题为载体，突出数学思维与数学语言的培养，如通过函数单调性分析充要条件培养逻辑推理能力，借助分式不等式转化训练运算能力，设计基础应用与综合提升题组实现分层突破。助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准素材，提升备考针对性与有效性。

第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1．(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 解析：选D．由题意可得B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D． 2．(2023·上海卷)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝(　　) A．{1} B．{2} C．{1，2} D．{1，2，3} 解析：选A．因为P＝{1，2}，由x∈P，得x＝1或x＝2，又Q＝{2，3}，且x∉Q，即有x≠2且x≠3，因此x＝1，所以M＝{1}．故选A． 3．(2024·天津卷)已知a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件．故选C． 4．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝，B＝，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 解析：选B．依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B.所以a＝1，故选B． 5．(2024·天津卷)已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．由题意，若a＞6，则a2＞36，故充分性成立；若a2＞36，则a＞6或a<－6，推不出a＞6，故必要性不成立．所以“a＞6”是“a2＞36”的充分不必要条件． 6．(2025·上海卷)已知集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|x＞－1}，则(　　) A．A⊆B B．A⊆∁RB C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R 解析：选D．由题意，A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|(x－2)(x＋1)≥0}＝{x|x≥2或x≤－1}，由B＝{x|x＞－1}，所以∁RB＝{x|x≤－1}，所以A，B和A，∁RB不存在包含关系，A∩B＝{x|x≥2}，A∪B＝R. 7．(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则(　　) A．a2＋b2>2ab B．＋≥ C．a＋b> D．＋≤ 解析：选C．对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误； 对于B，D，取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6<＝8＝，＋＝2＋4＝6>＝4＝，故B，D错误； 对于C，由基本不等式可得a＋b≥2>，故C正确．故选C． 8．(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(　　) A．log2< B．log2> C．log2<x1＋x2 D．log2>x1＋x2 解析：选B．因为(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝2>0，y2＝2>0，且x1≠x2，则2≠2，所以y1＋y2＝2＋2>2＝2，所以>>0，所以log2>log2＝，故选B． 9．(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：选C．若{an}为等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋d，所以＝a1＋(n－1)·，所以－＝a1＋(n＋1－1)·－[a1＋(n－1)·]＝，为常数，所以为等差数列，即甲⇒乙；若为等差数列，设其公差为t，则＝＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t]＝2t，为常数，所以{an}为等差数列，即甲⇐乙．所以甲是乙的充要条件，故选C． 10．(2025·上海卷)不等式＜0的解集为________． 解析：＜0可化为不等式(x－3)(x－1)＜0，解得1＜x＜3，则所求不等式的解集为{x|1＜x＜3}． 答案：{x|1＜x＜3} 11．(2025·上海卷)设a，b>0，a＋＝1，则b＋的最小值为________． 解析：因为a，b为正数，且＋a＝1，所以＋b＝(＋b)(＋a)＝＋1＋1＋ab＝2＋(＋ab)≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当＝ab，即b＝2，a＝时取等号，则b＋的最小值为4. 答案：4 12．(2025·天津卷)设a，b∈R，对∀x∈[－2，2]，均有(2a＋b)x2＋bx－a－1≤0恒成立，则2a＋b的最小值为________． 解析：令t＝2a＋b，则b＝t－2a，所以tx2＋(t－2a)x－a－1≤0在[－2，2]上恒成立，即t(x2＋x)≤2ax＋a＋1在[－2，2]上恒成立，所以对∀x∈[－2，2]，函数y＝t(x2＋x)的图象总在直线y＝2ax＋a＋1的下方或与直线相切．函数y＝t(x2＋x)的图象过点(－1，0)和点(0，0)，直线y＝2ax＋a＋1＝a(2x＋1)＋1过定点A(－，1). 因为求t的最小值，所以只需讨论t<0时的情况． 当t＝－1时，如图1，二次函数y＝t(x2＋x)＝－(x2＋x)图象的顶点坐标为(－，)，存在a对∀x∈[－2，2]，使得t(x2＋x)≤2ax＋a＋1恒成立． 当t∈(－1，0)时，随着t逐渐增大，总存在a对∀x∈[－2，2]，使得t(x2＋x)≤2ax＋a＋1恒成立． 当t∈(－∞，－1)时，若t逐渐减小，如图2，取临界位置，即二次函数图象与直线相切时，二次函数y＝t(x2＋x)的图象过点A(－，1)，此时t＝－4，存在a对∀x∈[－2，2]，使得t(x2＋x)≤2ax＋a＋1恒成立；若t继续减小，如图3，则定点A(－，1)在二次函数图象开口的内部，则不存在a对∀x∈[－2，2]，使得t(x2＋x)≤2ax＋a＋1恒成立． 综上，tmin＝(2a＋b)min＝－4. 答案：－4 学科网（北京）股份有限公司 $