拓展18 动点与两定点斜率关系的轨迹问题(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦解析几何中动点与两定点斜率关系的轨迹问题，整合椭圆、双曲线、圆、抛物线等核心考点，按斜率乘积、和差、比值分类梳理轨迹类型及方程推导方法，通过教材例题溯源、规律总结、典例精讲、模拟题训练四环节，帮助学生构建系统知识网络，突破轨迹方程求解难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如引导学生从具体斜率关系抽象轨迹共性，通过分类讨论不同斜率关系下的轨迹差异发展逻辑推理能力，设置“轨迹方程推导+最值综合应用”分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题策略，为教师精准把控复习进度、提升学生应考能力提供有力支持。

　动点与两定点斜率关系的轨迹问题 人教A版选择性必修第一册P108例3： 如图，设A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－(教材P121探究斜率之积是)，求点M的轨迹方程． 解：设点M的坐标为(x，y)， 因为点A的坐标是(－5，0)， 所以直线AM的斜率kAM＝(x≠－5). 同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠5). 由已知，有×＝－(x≠±5)， 化简，得点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±5). 故点M的轨迹是除去(－5，0)，(5，0)两点的椭圆． 此类问题在教材人教A版选择性必修第一册P109练习T4、P126练习T1、P139 T11、P145 T9中多次呈现，是典型的通过动点与两定点斜率关系来确定动点的轨迹问题． 一般地，A(－a，0)，B(a，0)(a>0)是两定点，直线MA与直线MB交于点M，两直线的斜率分别为k1，k2，若 (1)k1k2＝λ(λ≠0) 当λ<0，且λ≠－1时，点M的轨迹是以A，B为顶点的椭圆(去掉点A，B)， 当λ＝－1时，点M的轨迹是以A，B为直径的圆(去掉点A，B)， 当λ>0时，点M的轨迹是以A，B为顶点的双曲线(去掉点A，B). (2)k1－k2＝λ(λ≠0)，点M的轨迹是抛物线(去掉点A，B). (3)k1＋k2＝λ(λ≠0)，点M的轨迹是双曲线(去掉点A，B). (4)＝λ(λ≠0，且λ≠1)，点M的轨迹是与AB垂直(除去与x轴的交点)的直线(证明略). 【典例】 (2026·宝鸡模拟)设A，B两点的坐标分别为(－，0)，(，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－. (1)求点M的轨迹方程； (2)若P(0，1)，在M的轨迹上任取一点Q(异于点P)，求线段PQ长的最大值． 【解】　 (1)设点M(x，y)，如图所示， 直线AM的斜率kAM＝(x≠－)， 直线BM的斜率kBM＝(x≠). 由已知可得×＝－(x≠±)， 化简可得＋y2＝1(x≠±)， 即点M的轨迹方程为＋y2＝1(x≠±). (2)设Q(x0，y0)，则＋y＝1(x0≠±)， 所以|PQ|2＝x＋(y0－1)2＝5－5y＋(y0－1)2＝－4y－2y0＋6＝－4(y0＋)2＋，根据椭圆范围可得－1≤y0<1，y0≠0， 所以当y0＝－时，|PQ|2取得最大值，最大值为，所以线段PQ长的最大值为. 1．(2026·南宁模拟)已知A(－1，0)，B(1，0)，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为____________________． 解析：设动点M(x，y)(y>0)，由于A(－1，0)， B(1，0)，根据直线AM与BM的斜率之积为2，整理得·＝2，化简得x2－＝1(y>0). 答案：x2－＝1(y>0) 2．(2026·张家口模拟)已知M，N两点坐标分别为(－2，0)，(2，0)，直线KM，KN相交于点K，且它们的斜率之和是3，则点K的轨迹方程为__________________________． 解析：设点K(x，y)，则直线KM的斜率为kKM＝，直线KN的斜率为kKN＝， 由题意可知，kKM＋kKN＝＋＝3，化简得3x2－2xy－12＝0，因为直线KM，KN的斜率存在，所以x≠±2，所以点K的轨迹方程为3x2－2xy－12＝0(x≠±2). 答案：3x2－2xy－12＝0(x≠±2) 学科网（北京）股份有限公司 $