第8章 第5讲 椭 圆 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦椭圆核心素养，以题载法构建"概念-性质-应用"三阶训练体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题|定义法求基本量|离心率公式→a,b,c关系推导→短轴/焦距计算| |几何性质|4题|焦点三角形勾股定理/面积公式|椭圆定义→焦点距离关系→最值问题转化| |综合应用|7题|轨迹法/光学性质/余弦定理|实际情境建模→代数运算→几何性质综合应用|

1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为(　　) A． B．2 C．4 D．6 解析：选B.由题意，得 解得所以b＝＝，所以该椭圆的短轴长为2b＝2. 2．(2026·鄂州模拟)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)经过(，0)和(0，2)两点，则椭圆Γ的焦距为(　　) A．2 B．4 C． D．2 解析：选D.由题意得，a＝，b＝2，所以c＝＝，故椭圆Γ的焦距为2. 3．(2026·温州测试)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1||PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 解析：选B.方法一：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4，则c＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，由|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16＋2|PF1||PF2|＝20，所以|PF1||PF2|＝2. 方法二：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而S△F1PF2＝b2tan 45°＝1＝·|PF1||PF2|，所以|PF1||PF2|＝2. 4．(2026·西安模拟)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝4，则该椭圆的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选A.因为|BF2|＝|F1F2|＝4，由椭圆的几何性质，可得a＝2c＝4， 所以a＝4，c＝2，则b2＝a2－c2＝12，所以椭圆的方程为＋＝1. 5． (2026·泰州期中)首届江苏省城市足球联赛(“苏超”)总决赛已圆满落幕，泰州队以“黑马”之姿成功夺冠．决赛场地南京奥体中心体育场给人们留下了深刻的印象．在手工课上，陈老师带领同学们一起制作了一个近似奥体中心体育场的金属模型，其俯视图可近似看成是一个椭圆紧紧套着一个以椭圆中心为圆心的圆，若椭圆上存在点P，使得过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由题意可设圆的方程为x2＋y2＝b2，椭圆方程为＋＝1，其中a>b>0， 设圆的切线为PA，PB，因为PA⊥PB，则四边形AOBP为正方形，则|OP|＝b， 则点P的轨迹是以O为圆心，b为半径的圆． 因为椭圆上存在点P，使得过点P所作的圆的两条切线相互垂直， 则点P的轨迹与椭圆有交点，则b≤a，则0<≤， 则离心率e＝＝＝＝∈. 6．(多选)(2026·成都月考)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为6，F，F′分别是椭圆的左、右焦点，A(1，1)是一个定点，P是椭圆E上的动点，则下列说法正确的是(　　) A．|PF|＋|PF′|＝6 B．椭圆E的标准方程为＋＝1 C．|AF′|＝2 D．|PA|＋|PF|的最大值为6＋ 解析：选ABD.由题意可知，解得所以|PF|＋|PF′|＝2a＝6，故A正确； b2＝a2－c2＝5，所以椭圆E：＋＝1，故B正确；因为F′(2，0)，所以|AF′|＝＝，故C错误；|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|≤2a＋|AF′|＝6＋，当且仅当F′，A，P三点共线且F′在A，P之间时等号成立，故D正确． 7．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：________．　 ①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为. 解析：只要椭圆方程形如＋＝1(m＞0)或＋＝1(m＞0)即可． 答案：＋＝1(答案不唯一) 8．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为C上一点，则＋的最小值为________． 解析：由题意得，a＝4，因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，＋＝＝≥＝，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时，取等号，所以＋的最小值为. 答案： 9．(13分) 如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(6分) (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．(7分) 解：(1)因为|AF1|＝|AF2|＝a，且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，所以2a2＝4c2，所以a＝c，所以e＝＝. (2)由题知c＝1，A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由＝2，解得x＝，y＝－，代入椭圆＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3，所以b2＝a2－c2＝2.所以椭圆的方程为＋＝1. 10．(2026·南宁模拟)已知A，B分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线x＝(c为椭圆E的半焦距)上存在点C，使得△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且△ABC的面积为4，则椭圆E的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选B.设直线x＝与x轴交于点M， 如图，由题意知，∠ABC＝120°，|AB|＝|BC|， 故∠MBC＝60°. 因为|BM|＝－a， 所以|BC|＝2|BM|＝2(－a)，又|AB|＝2a， 所以2(－a)＝2a，解得2c＝a， 由S△ABC＝·(2a)2sin 120°＝4，得a＝2， 则c＝1，故b＝＝，故椭圆E的方程为＋＝1. 11．(2026·福建适应性练习)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，中心为O.C是E上的动点，P是以CF为直径的圆上的动点，且|OP|的最大值为4，则E的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B. 如图，取CF的中点Q，连接OQ，记椭圆的左焦点为F′，连接CF′，易知椭圆E的半焦距c＝1.因为点Q为CF的中点，点O为FF′的中点，所以|OQ|＝|CF′|.因为|OP|≤|OQ|＋|CF|，所以|OP|≤(|CF′|＋|CF|)＝×2a＝a，所以a＝4，所以e＝＝. 12．(多选)(2026·昆明质检)已知O为坐标原点，设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，点P在E上，且PF⊥OA，当E的离心率变化时，下列三角形可能为等腰三角形的是(　　) A．△BFO B．△PAO C．△PBO D．△PAF 解析：选ABC.对于A，当b＝c，即e＝时，|OB|＝|OF|，即△BFO为等腰三角形，故A正确； 对于B，当a－c＝c，即e＝时，PF⊥AO，且|AF|＝|FO|，所以|PA|＝|PO|，即△PAO为等腰三角形，故B正确； 对于C，当＝b，即a＝2b，e＝时，过点P向y轴作垂线，垂足为C，则C为线段OB的中点，所以|OP|＝|PB|，即△PBO为等腰三角形，故C正确； 对于D，假设△PAF为等腰三角形，因为PF⊥AO，所以必有|PF|＝|AF|，即＝a－c，可得a＝c，与a>c矛盾，故D错误． 13．(13分)已知圆M：(x＋3)2＋y2＝64的圆心为M，定点N(3，0)，动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P. (1)求动点P的轨迹C的方程；(6分) (2)若点Q是曲线C上一点，且∠QMN＝60°，求△QMN的面积．(7分) 解：(1)由已知|PN|＝|PA|， 故|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM| ＝8>|MN|＝6， 所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆， 设点P的轨迹方程为＋＝1(a>b>0)， 则2a＝8，2c＝6，即a＝4，c＝3， 所以b2＝a2－c2＝7， 所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1. (2)不妨设|MQ|＝m， 由椭圆定义可得|QN|＝2a－m＝8－m， 又|MN|＝2c＝6， 则在△MNQ中，由余弦定理的推论可得 cos ∠QMN＝＝， 解得m＝. 故△QMN的面积为S＝m·2c sin ∠QMN＝××6×＝. 14．已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一个焦点．设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的两光线分别经椭圆上的点A，B反射后，满足AB⊥AD，cos ∠ABC＝，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.延长AD，BC交于F1，如图， 则cos ∠ABF1＝＝， sin ∠ABF1＝＝＝， 即|AB|∶|AF1|∶|BF1|＝4∶3∶5， 设|AB|＝4k，|AF1|＝3k，|BF1|＝5k，k>0，　 由|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，得4k＋3k＋5k＝4a，即3k＝a，所以|AF2|＝2a－|AF1|＝3k， 在Rt△AF1F2中， |F1F2|＝＝3k＝2c，则该椭圆的离心率e＝＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $