第8章 第2讲 两直线的位置关系(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦两直线位置关系高考专题，涵盖平行垂直判定、交点坐标求解、三种距离公式等核心考点，以斜截式与一般式对比表格系统梳理知识，通过易错点辨析、改编题训练、考点例题精讲等环节，帮助学生构建知识网络，突破斜率讨论等难点。 讲义注重数学思维与符号表达能力培养，如用直线系方程高效求解过交点直线问题，设置基础判断、综合应用分层练习，配合即时方法总结，确保学生快速掌握核心题型解法，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第2讲　两直线的位置关系 课标要求　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．　2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．　3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 1．两条直线的位置关系 (1)两条直线的位置关系 类别 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2，且b1≠b2 或 重合 k1＝k2，且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0 提醒　在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了两条直线或一条直线斜率不存在的情形． (2)两条直线的交点坐标 已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解． 2．三种距离 点 点 距 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ 点 线 距 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 线 线 距 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　) (2)若两直线的解析式组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　) (3)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(选择性必修第一册P77T2改编)原点到直线y＝－x＋的距离为(　　) A．1 B． C．2 D．3 解析：选B.直线y＝－x＋，即x＋2y－5＝0，故原点到直线y＝－x＋的距离为＝. 3．若直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，则实数a的值为(　　) A．3 B．0 C．－3 D．0或－3 解析：选D.因为直线l1与直线l2垂直，所以2a＋a(a＋1)＝0，整理得a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－3. 4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于一点，则m的值为________． 解析：由得所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m·1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9. 答案：－9 5．已知点P(2，－1)，直线l：x＋y＋2＝0，则点P关于直线l的对称点Q的坐标为________． 解析：设点Q的坐标为(x，y)，则PQ的中点坐标为(，)，又直线l的斜率为－1，所以 解得即点Q的坐标为(－1，－4). 答案：(－1，－4) 考点一　两直线的平行与垂直 　(1)(2026·河南部分学校期中)已知直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：ax＋(1－a)y＋2＝0，设甲：l1⊥l2；乙：a＝2，则甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(3，－2)，C(5，1)，D(2，3)，则四边形ABCD的形状是(　　) A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【解析】　(1)由l1⊥l2可得a(a－1)＋2(1－a)＝0，解得a＝2或a＝1，故甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要不充分条件． (2)因为kAB＝－，kBC＝， kCD＝－，kAD＝， 所以kAB＝kCD，kBC＝kAD， 所以AB∥CD，BC∥AD. 所以四边形ABCD是平行四边形， 又kAB·kAD＝－1，则AB⊥AD， 所以四边形ABCD是矩形， 又|AB|＝＝， |BC|＝＝， 即|AB|＝|BC|， 所以四边形ABCD是正方形． 【答案】　(1)B　(2)B 【感悟进阶】　解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”． 　(2026·济南模拟)若直线l1：(m－2)x＋3y＋3＝0与直线l2：2x＋(m－1)y＋2＝0平行，则m＝(　　) A．4 B．－4 C．1或－4 D．－1或4 解析：选D.由题意知，(m－2)(m－1)＝3×2＝6，整理可得m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1. 当m＝4时，直线l1：2x＋3y＋3＝0与直线l2：2x＋3y＋2＝0平行，符合题意； 当m＝－1时，直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x－y＋1＝0平行，符合题意． 综上所述，m＝4或m＝－1. 考点二　两直线的交点问题 　经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是(　　) A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0 【解析】　方法一：由 解得所以直线l1与l2的交点为(－1，1)，设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)， 所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1， 所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0. 方法二：设所求直线方程为2x－y＋3＋λ(x＋2y－1)＝0，即(λ＋2)x＋(2λ－1)y＋3－λ＝0，又该直线与3x＋2y＋7＝0平行， 故(λ＋2)×2－3×(2λ－1)＝0，解得λ＝，故所求直线方程为(＋2)x＋(－1)y＋3－＝0，即3x＋2y＋1＝0.经检验，符合题意． 【答案】　D 【感悟进阶】　常见的直线系方程 (1)与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C). (2)与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C2＝0. (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，λ∈R，但不包括直线l2. 　1.已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，交点坐标为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　) A．20 B．－4 C．0 D．24 解析：选B.已知直线l1的斜率为－，直线l2的斜率为.由两直线垂直，可知－×＝－1，解得a＝10. 将交点(1，c)的坐标代入直线l1的方程中，得c＝－2.将交点(1，－2)的坐标代入直线l2的方程中，得b＝－12.所以a＋b＋c＝10－12－2＝－4. 2．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　) A．3x－19y＝0 B．19x－3y＝0 C．19x＋3y＝0 D．3x＋19y＝0 解析：选D.设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0， 代入原点坐标，得4＋5λ＝0，解得λ＝－， 故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0. 考点三　距离问题 　(1)已知经过点P(2，2)的直线l与直线ax－y＋1＝0垂直．若点M(1，0)到直线l的距离等于，则a的值是(　　) A．－ B．1 C．2 D． (2)已知直线l1，l2，分别过点M(1，4)，N(3，1)，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是(　　) A．5 B．4 C． D．3 【解析】　(1)依题意，设直线l的方程为x＋ay＋c＝0. 因为点P(2，2)在l上，且点M(1，0)到直线l的距离等于，所以，消去c，得a＝2. (2)连接MN(图略)，当直线l1，l2都与线段MN垂直时，它们之间的距离取得最大值，则dmax＝|MN|＝＝. 【答案】　(1)C　(2)C 【感悟进阶】　利用距离公式应注意的点 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|. (2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 　1.已知直线l1：3x＋y－3＝0和直线l2：6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A．4 B． C． D． 解析：选D.由两直线平行可得3m－6＝0，解得m＝2，因此直线l2的方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋＝0，则所求距离是＝. 2．若A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)，则△ABC的面积为(　　) A．28 B．14 C．56 D．20 解析：选A.根据两点间的距离公式得|AB|＝＝5，AB所在直线方程为y－8＝(x－7)，即4x＋3y－52＝0，则点C到直线AB的距离 d＝＝，所以S△ABC＝×5×＝28. 学科网（北京）股份有限公司 $