第7章 [微拓展] 立体几何中的动态问题(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义聚焦立体几何动态问题这一高考核心考点，整合动态点线面元素与解三角形、面积计算等知识模块，按“问题情境-方法提炼-真题应用”逻辑架构，通过考点梳理、技法指导（几何法、定义法等）、真题精讲、分层练习环节，帮助学生突破空间想象难点，构建系统复习路径。 资料突出数学眼光与思维培养，如用空间坐标系转化轨迹问题发展几何直观，通过几何法与坐标法对比强化推理能力。设置基础到综合分层练习，配合即时反馈，保障复习效率，提升学生动态问题分析能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学指引。

　立体几何中的动态问题 　　“动态”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化，加强了对学生空间想象能力的考查． 　(1)在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为(　　) (2)(2026·黑龙江模拟)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1的中点，点P在面对角线BC1上运动(P点异于B，C1点)，以下说法错误的是(　　) A．BD1∥平面AEC B．A1P⊥B1D C．直线B1E与平面CDD1C1所成角的余弦值为 D．三棱锥P-ACD1的体积为 【解析】　(1) 以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴、y轴，平面PAD内过点D且垂直于AD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设M(x，y，0)，正方形ABCD的边长为a， 则P(，0，a)，C(0，a，0)， 则MC＝， MP＝. 由MP＝MC得x＝2y， 所以M在正方形ABCD内的轨迹为一条线段y＝x(0≤x≤a). (2) 对于A，连接BD交AC于点O，连接OE，如图1所示， 因为四边形ABCD为正方形，所以O是BD中点， 又E为棱DD1的中点，所以OE∥BD1， 又OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC， 所以BD1∥平面AEC，故A正确； 对于B，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示， 设BP＝λBC1(0<λ<1)， 则A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D(0，0，0)，P(1－λ，1，λ)， 所以＝(－1，－1，－1)，＝(－λ，1，λ－1)， ·＝(－1)×(－λ)＋(－1)×1＋(－1)×(λ－1)＝0， 所以A1P⊥B1D，故B正确； 对于C，由上可知，A(1，0，0)，E(0，0，)，所以＝(－1，－1，－)， 因为DA⊥平面CDD1C1，所以平面CDD1C1的一个法向量为＝(1，0，0)， 设直线B1E与平面CDD1C1所成的角为θ，θ∈(0，]，则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝，所以cos θ＝＝，故C错误； 对于D，因为P(1－λ，1，λ)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，所以＝(－λ，1，λ)，＝(－1，1，0)，1＝(0，－1，1)， 设平面ACD1的法向量为 m＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，则y＝1，z＝1，所以m＝(1，1，1). 因为AC＝AD1＝CD1＝，所以S△ACD1＝×××＝， 点P到平面ACD1的距离为＝＝， 所以三棱锥P­ACD1的体积为××＝，故D正确． 【答案】　(1)A　(2)C 【技法点拨】　解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法 (1)几何法：根据平面的性质进行判定． (2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算． (3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除． 　1.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为3，P是侧面CDD1C1上的动点(含边界)，且满足S△PDA＝2S△PBC，则P点的轨迹长度为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由题易知AD⊥DP，BC⊥CP，因为S△PDA＝2S△PBC， 所以AD·DP＝2×BC·CP， 所以DP＝2CP. 如图建系，D(0，0)，C(3，0)，设P(x，y)， 所以＝2， 即(x－4)2＋y2＝4，则点P的轨迹为以M(4，0)为圆心，半径为2的圆的一部分． 因为当x＝3时，y＝，所以sin ∠P1MP2＝，所以∠P1MP2＝， 则P点的轨迹长度为×2＝. 2．已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，将△CBD沿BD折起至△C′BD.当直线C′B与AD所成的角最大时，三棱锥C′­ABD的体积为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.因为异面直线所成的角最大为90°，所以当C′B⊥AD时，C′B与AD所成的角最大．因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥AB，又C′B⊥AD，AB∩C′B＝B，AB，C′B⊂平面ABC′，所以AD⊥平面ABC′.又因为AC′⊂平面ABC′，所以AD⊥AC′.在Rt△AC′D中，AD＝2，C′D＝3，所以AC′＝＝＝.又C′B＝2，AB＝3，所以AB2＝C′B2＋AC′2，所以C′B⊥AC′，所以V三棱锥C′­ABD＝V三棱锥D­ABC′＝S△ABC′·AD＝××2××2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $